Нормальная жорданова форма матрицы

 

    Пример 2. Пусть n=4 и оператор имеет два различных собственных значения (= 1) и (=  1). Тогда:

 

= .

 

Пример 3. Пусть n=4 и оператор имеет два различных собственных значения (= 2) и (=  2). Тогда:

 

= .

 

    Пример 4. Пусть n=4 и оператор имеет два различных собственных значения (= 1) и (=  2). Тогда:

 

= [1, с. 7].

 

 

  

 1.6 Первый способ построения жорданова базиса и жордановой формы   матрицы

 

  

    Пусть λ – собственное значение оператора, m и s алгебраическая и геометрическая кратности числа λ. Опишем построение линейно независимой совокупности из m собственных и присоединённых векторов, отвечающих данному λ. Этой совокупности векторов в жордановой матрице будет соответствовать жорданов блок А(( см. рис. 1.4.)

    Обозначим:

B=A- λI, =, = ker, = dim , = rang .

    Ясно, что +  = n, Для удобства считаем, что = I, так что = n, = 0.

Поскольку ранг имеем так что:

  ….

Теорема. Существует такое натуральное число q, что:

 

т.е. все ядра с номером, большим, чем q, совпадают с ядром . При этом

Построим часть жорданова  базиса, соответствующую данному  собственному значению λ, следующим образом:

1. Возводя матрицу B в последовательные натуральные степени, найдём показатель q, начиная с которого ранг степеней матрицы B перестаёт уменьшаться.
2. Рассмотрим ядра Пусть векторы , … достраивают произвольный базис пространства до базиса пространства Их количество равно Эти векторы являются присоединёнными векторами высоты q, и каждый из них порождает цепочку, состоящую из q векторов, которые войдут в состав жорданова базиса. Каждой такой цепочке будет соответствовать жорданова клетка порядка q; Таким образом, в состав жордановой формы матрицы оператора A войдёт жордановых клеток порядка q.
3. Рассмотрим ядра векторы B Их количество равно:

 

К этим векторам добавим  векторы  из пространства так, чтобы система векторов

B

дополняла произвольный базис  ядра до базиса . Векторы , … являются присоединёнными векторами высоты q-1, и каждому из них будет соответствовать, во-первых, цепочка векторов жорданова базиса, и во-вторых, жорданова клетка порядка q-1. Количество добавляемых векторов равно:

 

Таким же будет количество жордановых клеток порядка q-1.

4. Рассмотрим ядра и векторы , К этим векторам (если их не хватает) добавим векторы из пространства так, чтобы совокупность векторов

, , … ∊

дополняла произвольный базис  пространства до базиса пространства . Количество добавляемых векторов

 

Таким же будет количество жордановых клеток порядка q-2.

Процесс продолжаем аналогично. Наконец, рассмотрим ядро и векторы:

 

 

Рисунок 1.6 – Система векторов, принадлежащих

Источник: [9, с.25].

Если эта система не образует базис пространства , то добавим собственные векторы так, чтобы пополненная система являлась базисом в [9, с. 25].

    Итак, мы описали процесс построения жорданова базиса и выяснили, что количество жордановых клеток порядка k, входящих в состав жордановой формы матрицы оператора, может быть найдено по формуле:

                           .                      (1.2)

Построенную часть жорданова  базиса, состоящую из m векторов, соответствующих данному λ (m – алгебраическая кратность этого собственного значения), запишем лестницу («жорданова лестница»).

 

Рисунок 1.7 – Жорданова лестница

Источник: [8].

    Все векторы  таблицы линейно независимы, и  их число равно m (алгебраической кратности собственного значения λ). Каждому столбцу этой таблицы соответствует одна жорданова клетка, порядок которой равен высоте столбца. Количество столбцов жордановой лестницы, т.е. полное количество жордановых клеток в блоке, соответствующем собственному значению λ, равно геометрической кратности s этого собственного значения.

    Будем нумеровать  векторы построенной части базиса  по столбцам жордановой лестницы: внутри каждого столбца снизу  вверх, а сами столбцы в произвольном  порядке. 

    Например, пусть  , … ,  – векторы первого столбца жордановой лестницы. Тогда:

 

Рисунок 1.8

Источник: [10, c.223].

    Этой группе  векторов (собственный вектор  и присоединённые к нему векторы , … ,  жорданова базиса соответствуют первые q столбцов матрицы , которые имеют вид:

.

где – жорданова клетка порядка q с числом λ на главной диагонали.

    В следующих  столбцах  q столбцах матрицы , определённых векторами второго столбца жордановой лестницы, расположена жорданова клетка так, что числа λ стоят на главной диагонали матрицы , а элементы вне клетки равны нулю. Подобным образом для данного λ получаем m столбцов матрицы На этих m столбцах находится жорданов блок A(λ).  

    Для других значений эта схема повторяется, в результате чего получим жорданову матрицу и соответствующий жорданов базис [10, c. 223].

 

 

 

   1.7 Второй способ построения жорданова базиса и жордановой формы матрицы

 

 

   

    Можно строить жорданов базис, начиная с собственных векторов, решая систему

                                                                                                   (1.3)

для нахождения собственных  векторов, систему

                                                     .                                              (1.4)

для нахождения присоединённых векторов высоты 1 и т.д. Трудность  заключается в том, что система  (4) может оказаться разрешимой не при любом собственном векторе X (если собственное подпространство не одномерно), так что приходится заботиться о надлежащем выборе этого собственного вектора, что приводит к решению систем линейных уравнений с параметром. Это трудность усугубляется в случае, когда собственному вектору отвечает длинная цепочка присоединённых векторов [8, c. 21].

   1.8 Третий способ построения жордановой формы матрицы

 

 

    В некоторых случаях не требуется построения жорданова базиса, а нужно лишь определить жорданову форму матрицы. Тогда можно сократить объём вычислений. Для этого по каждому характеристическому корню матрицы А необходимо выполнить следующие действия:

1. Составить матрицу и возводить её последовательно в степени до тех пор, пока не получится равенство                             

                                         ,                                     (1.5)                           

 , n – порядок матрицы А, – кратность характеристического корня матрицы А. Наименьшее натуральное число m, при котором выполняется равенство (5), даст максимальный порядок жордановых клеток по в матрице J. 

2. По формуле

                      ,                         (1.6)

 

или по формуле 

                            ,                         (1.7)

определить число  жордановых клеток по порядка h, , i=1,2, … , s. Здесь жордановых клеток порядка h в жордановой форме матрицы А, =0, – дефект оператора с матрицей, ранг матрицы .

3. По найденным числам , для всех матрицы А составить матрицу J.[10, c. 236]

 

    Таким образом,  в данной главе мы рассмотрели  основные понятия, необходимые  для построения жорданова базиса  и жордановой формы матрицы:  алгебраическая и геометрическая  кратность собственного значения, жорданова клетка, жорданов блок, присоединённые векторы, теорема  о жордановой форме матрицы  оператора. А также описали  три способа построения жордановой  формы матрицы.

   

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

    2 Построение жорданова базиса и жордановой формы матрицы

 

  

 

  Дана матрица A линейного оператора в некотором базисе. Требуется найти жорданов базис и жорданову форму матрицы оператора в этом базисе. Рассмотрим примеры решения такой задачи методом, описанным в пункте 1.6

    Пример 1.

A = .

   

    Характеристический многочлен det имеет корень λ = 2 кратности 3, т.е. m = 3. Матрица

 

B = .

 

Легко проверить, что =  rang B = 1,

    Находим собственные  векторы, решив однородную систему  линейных уравнений  фундаментальная совокупность решений состоит из двух векторов, например:

.                                                       (2.1)

 

Количество этих векторов (т.е. геометрическая кратность собственного значения) равно двум, s = 2, так что для построения жорданова базиса требуется ещё один присоединённый вектор.

    Так как , то ядро оператора совпадает со всеми пространствами, т.е. , и при этом

    Дополним базис  ядра , т.е. набор векторов (1), до базиса ядра , например, вектором

 ∈ .

тогда

 

 ∈ .

 

Дополним вектор до базиса пространства вектором 

 

Построим жорданову лестницу:

 

 

Жорданов базис:

Соответствует жорданова  клетка порядка 2    =>  

Соответствует жорданова  клетка порядка 1    =>    

    При этом

 

т.е. – собственный вектор, , .

    В жордановом  базисе

 

 

матрица оператора  имеет вид:

 

.

 

    Пример 2.

.

 

    Характеристический многочлен det имеет корень λ = 1 кратности 3, т.е. m = 3. Матрица равна

 

.

 

и мы имеем 

    Фундаментальная совокупность решений системы состоит из одного вектора, например

∈

 

Следовательно, геометрическая кратность равна 1. Далее матрица равна:

.

 

Для неё имеем и базис ядра из двух векторов, например:

 

.

 

    Поскольку , так что , то ядро оператора совпадает со всем пространством, т.е. .

    Вектором дополним базис ядра до базиса пространства . Вектор дополняет базис ядра до базиса ядра Вектор образует базис пространства Жорданова лестница имеет вид:

 

 

Жорданов базис:

 

 

Здесь – собственный вектор,

Матрица оператора  имеет вид жордановой клетки:

 

.

 

    Теперь построим  жорданов базис и жорданову  форму матрицу способом, описанным в пункте 1.7.

    Пример 3.

.

  

 Характеристическое уравнение:

 

 

Имеет корень кратности m = 3. Система принимает вид:

.

 

Отсюда  Значит, собственные векторы имеют вид:

                                           (2.2)

 

где  – произвольные числа, не равные нулю одновременно. Линейно независимых собственных векторов два, так что геометрическая кратность данного собственного значения равна 2. Остаётся найти присоединённый вектор. Он должен удовлетворять уравнению . Подставляя в него λ = 3 и найденный X из (1), получим систему:

.                                              (2.3) 

 

    Эта система совместна, если выполнены условия теоремы Кронекера-Капелли:

rang = rang .

 

    Откуда . Достаточно найти одно из решений системы (2.3), например:

.

 

Это и будет вектор, присоединённый к собственному вектору 

 

.

 

    Выберем  Жорданов базис будет состоять из собственного вектора , присоединённого к нему вектора и ещё одного собственного вектора, линейно независимого с .

 

.

 

    В этом базисе матрица  оператора имеет  жорданову  форму:

 

.

Жорданова клетка:

.

 

соответствует собственному вектору  и присоединённому к нему вектору , жорданова клетка

.

 

соответствует собственному вектору .

    Пример 4.

.

 

    Характеристическое  уравнение имеет корни  кратности кратности Собственному значению отвечают собственные векторы

 

 

т.е. геометрическая кратность  собственного значения равна 1. Присоединённый к вектор находится из системы которая совместна при всех Например,

 

 

Удобно положить

    Корню  отвечают собственные векторы

 

 

 

Т.е. геометрическая кратность  собственного значения равна 1. Присоединённый к вектор находится из системы совместной при всех Например,