Нормальная жорданова форма матрицы

 

Удобно положить

Теперь строим жорданов базис:

 

.

 

Жорданова форма матрицы  оператора:

 

.

 

    Теперь воспользуемся  методом, описанным в пункте 1.8.  Дана матрица:

Пример 5.

 

.

 

Характеристический многочлен  равен:

 

 

 

имеет корень кратности и корень кратности При имеем:

 

 

 

 

 

 

Следовательно, наибольший порядок жордановых клеток по равен и по формуле (1.7) находим:

 

.

Поэтому в жордановой форме  матрицы  матрицы А по характеристическому числу будет всего лишь одна жорданова клетка

 

.

 

    При  имеем:

 

 

 

 

 

Поэтому в жордановой форме  по характеристическому числу  будет жордановых клеток порядка 1. Из полученных жордановых клеток составляем жорданову форму матрицы А:

 

.

 

    В данной главе мы на практике применили все три способа построения жорданова базиса и жордановой формы, смогли оценить и найти достоинства и недостатки каждого из них. Безусловно, самым надёжным является метод, описанный в подпункте 1.6, однако он требует большого количества времени и занимает большой объём. Второй способ более лаконичный, чем первый, но с помощью него не всегда можно построить жорданову форму матрицы. И наконец, третий способ, который является самым удобным и быстрым, но посредством него можно построить лишь жорданову форму матрицы, исключая построение жорданова базиса.

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    3  Приложение жордановой формы матрицы

 

 

 

 

    3.1 Прогноз численности население страны

 

 

 

 

    Разобьем население страны на четыре возрастные группы:

                                  (0,20] , (20,40], (40,60], (60, ) лет.                                (3.1)

    Пусть X(t) = (x1 (t), x2 (t), x3 (t), x4 (t))T , - количество населения в этих группах в момент времени t. Нас интересует численность населения в этих подгруппах (т.е. возрастная структура населения страны) через 20, 40, 60,.. лет (т.е. X(20), X(40), X(60)...). Мы собираемся это вычислить по координатам вектора X(0) и по величинам рождаемости и смертности, которые мы возьмем по возможности ближе к жизни, чтобы пример дал нам хотя бы приближенное представление о будущем нашей страны.

    Составляем уравнение  будущего:

За 20 лет почти все люди из 1-й группы перейдут во вторую. Почти, но не все. Часть погибнет от болезней, несчастных случаев и т.п. Пусть, к примеру, за 20 лет во вторую группу перейдет 0,95 людей из 1-й группы. Это – коэффициент влияния 1-й группы на 2-ю:

(t+20) = 0,95(t)                                              (3.2)

Но, кроме того, небольшая  часть молодежи из этой группы успеет до 20 лет вступить в брак и завести детей, что дает вклад 1-й группы в 1-ю же группу (спустя 20 лет). Пусть, например, этот вклад составляет 0,01 от численности 1-й группы. А еще в 1-ю группу дадут вклад (в виде детей) 2-я и 3-я группы. Пусть величина вклада от 2-й группы = 0,5 от ее численности (иными словами – все состоят в браке и в каждой семье - один ребенок), а от 3-й группы вклад = 0,02 от ее численности. Тогда:

(t+20) = 0,01 (t) + 0,5 (t) + 0,02 (t)                          (3.3)

Выживаемость во второй группе мы положим равной 0,8, то есть:

(t+20) = 0,8 (t)                                            (3.4) 

А в 3 и 4 группах, соответственно, 0,7 и 0,4:

                                          (t+20) = 0,7 (t) + 0,5 (t)                                    (3.5)

Заданные нами соотношения (3.2 , 3.3, 3.4, 3.5) перепишем в матричной форме:

                                                     X (t+20) = AX (t)                                             (3.6)

где матрица А коэффициентов влияния такова:

 

                                      .                                   (3.7)  

    Замечание по составлению матриц. Обращаем на то, что в подобных задачах матрицу можно составлять сразу, не выписывая явно формул вида (3.2) - (3.5). Принцип составления матрицы: номер входа = номер столбца, номер выхода = номер строки. Так, коэффициент влияния 1-ой группы на 2-ю мы должны писать в 1-й столбец, 2-ю строку. Благодаря такому правилу можно легко составлять матрицы для подобных моделей.

    Согласно формуле  (3.6), если подействовать оператором A на состав X(t) населения в момент t, то получится состав населения X (t+20) через 20 лет. Поэтому оператор A называют оператором сдвига (в этой задаче - сдвига на 20 лет). В итоге из формулы (3.6) получаем:

                                                   X (t+20n) = X (t)                                               (3.8)

    Итак, мы хотим  вычислить состав населения через  20, 40, 60,... лет (при условии, что  ни рождаемость, ни смертность не меняются), - т.е. вычислить AX(0), X(0), X(0), ... .

    Произведение X(0)=AAAA...AX(0) можно вычислять в разной последовательности. Можно так:

                                                    A (A...(AX(0)))                                              (3.9) 

А можно сначала найти , а затем воспользоваться формулой:

X(0)                                                       (3.10)

Пусть количество населения сегодня (при t = 0) таково:

(0) = 30, (0) = 40, (0) = 30, (0) = 25 (миллионов человек).

Теперь проведем вычисления для n = 2, 3...10 по формуле (3.9) в какой – либо из математических компьютерных программ, например MathCAD. В итоге мы получаем результаты (в млн. человек), которые помещаем в таблицу:

 

Таблица – 3.1 – Динамика численности населения за 200 лет

 

N	t					население
0	0	30,00	40,00	30,00	25,00	125,0
1	20	20,29	28,50	32,00	31,00	112,4
2	40	15,10	19,86	22,80	34,80	92,55
3	60	10,53	14,34	15,88	29,88	70,64
4	80	7,595	10,01	11,48	23,07	52,15
5	100	5,309	7,215	8,006	17,26	37,79
6	120	3,821	5,044	5,772	12,51	27,15
7	140	2,676	3,630	4,035	9,044	19,38
8	160	1,922	2,542	2,904	6,442	13,81
9	180	1,348	1,826	2,033	4,610	9,817
10	200	0,9672	1,281	1,461	3,267	6,976

 

Источник: [11] .

 

    Видим, что за 200 лет страна с населением, как  в современной России, сжалась  до населения Ленинградской области. Обратите внимание, как стареет население (доля стариков становится все больше). Это – обязательный спутник убывания населения. В реальности, конечно, все гораздо хуже: уменьшение населения при прежней территории затрудняет знакомства и заключение браков молодежи, уменьшает богатство страны и как следствие ухудшается медицинское обслуживание и т.д. Иными словами, уменьшение населения привело бы еще и к уменьшению чисел в матрице A. Из-за притязаний соседних стран на территорию и ресурсы такая страна исчезнет лет через 50. Можно видеть, что в начале нашей таблицы уменьшение населения идет даже медленнее – 0,63 млн. в год, и убыль населения составляет 10% за 20 лет. Но в конце таблицы убыль составляет уже около 30% за 20 лет.

    Для сравнения  по-другому зададим рождаемость во 2-й группе – на уровне 4 детей на семью. Тогда те же вычисления дают нам совершенно иной результат. За 140 лет нынешняя Россия догнала бы по населению миллиардный Китай и наполовину состояла бы из юной молодежи.

    Разумеется, если бы нас интересовал лишь такой простейший прогноз, мы могли бы ограничиться простым вычислением по формуле (3.9) и теория Жордановой формы не была бы нужна. Но нас интересует возможность управлять процессом, не допуская ни гибели страны, ни катастрофического увеличения населения. Поэтому нас интересуют (в самом простейшем случае) три вопроса:

1. Можно ли выбором величины рождаемости стабилизировать население.
2. Какой должна быть рождаемость для того, чтобы население страны стабилизировалось.
3. Какова установится структура населения (соотношение между молодежью и стариками) при стабильной его численности (это соотношение определяет, скольких пенсионеров должен кормить каждый работник, и, следовательно, оно вместе с производительностью труда определяет уровень жизни).

Согласно формуле (3.8) население страны через 20n лет равно:

                                                X (20n)= X(0),                                                  (3.11)   

где матрица A задана в (3.7). можно вычислить по следующей формуле:

= S                                                 (3.12)

где S – матрица перехода к новому базису, состоящая из постоянных чисел, а J - жорданова нормальная форма матрицы A. Любую натуральную степень матрицы J можно представить по формуле:

 

,                                        (3.13)

 

где – блок некоторой матрицы J, которая содержит 3 клетки и будет иметь вид:

.                                           (3.14)

Аналогично выглядит эта  формула и для клеток других размеров.

    Для вычисления J нам нужны собственные числа матрицы A.Матрица А даёт 4 собственных значения:

 

 

 

 

Для быстроты их нахождения мы воспользовались программой MathCAD.  Поскольку количество различных собственных чисел равно 4 и это равно порядку матрицы, это означает, что все Жордановы клетки в матрице J имеют порядок 1, то есть матрица J чисто диагональна и ее n-ая степень имеет вид:

 

.

 

Значит, для формулы (3.11) мы получим:

                                                                (3.15)

где буквами V обозначены некоторые числовые (постоянные) вектор-столбцы.

    Структура формулы  (3.15) объясняет нам поведение X при растущем n. Все слагаемые убывают из-за того, что собственные числа по модулю меньше 1, т.е. X стремится к 0- вектору. Три последних слагаемых убывают быстрее первого. При достаточно больших n первое слагаемое будет главным слагаемым в этой сумме. Второе слагаемое убывает быстрее первого, но из – за отрицательности второго собственного числа оно либо прибавляется к первому (при четных n), либо вычитается из него (при нечетных n), то есть создает затухающие колебания в поведении X. Вряд ли эти колебания соответствуют действительности, ведь цикл этих колебаний определен произвольно выбранным нами интервалом (20 лет). При разбиении населения на большее число возрастных групп отрицательные собственные числа порождали бы колебания с более коротким периодом. Поэтому мы должны смотреть на эти колебания, как на издержки математической модели.

    В случае большой рождаемости формула для X(20n) по-прежнему имеет вид (3.15), но в ней стоят другие по величине собственные числа и векторы. При большой рождаемости первое собственное число оказывается больше единицы и поэтому мы наблюдаем экспоненциальный рост населения. Отсюда легко сделать вывод: если мы хотим стабилизировать население страны, мы должны так подобрать рождаемость, чтобы первое собственное число равнялось 1, а все остальные собственные числа были бы по модулю меньше, чем 1. Это обеспечит стремление к нулю последних трех слагаемых в формуле (3.15), и тогда окажется искомым стабильным состоянием населения.

    Итак, будем подбирать рождаемость. Вернемся к матрице A, заданной в (3.7). Рождаемость детей во 2 группе (первая строка второй столбец) заменим буквой g. Как известно, собственное число матрицы A должно быть корнем ее характеристического уравнения. Поскольку нам нужно, чтобы λ = 1, вычисляем определитель  det(A – E). Получаем det = 0.584880 - 0.57006 g и из равенства det=0 находим g = 1,026. Подставляем это значение рождаемости в матрицу A (первая строка, 2-й столбец) и опять (как мы это уже дважды делали) вычисляем население страны на интервале 200 лет по формуле (3.9).