Програмирование в математической среде mathcad

Точно так  же можно построить и отформатировать  график в полярных координатах. Для  его построения надо дать команду  Insert • Graph • Polar Plot (Вставка • График • Полярные координаты).

Для построения простейшего трехмерного графика, необходимо задать матрицу значений. Отобразить эту матрицу можно в виде поверхности — Insert • Graph • Surface Plot (Вставка • График • Поверхность), столбчатой диаграммы — Insert • Graph • 3D Bar Plot (Вставка • График • Столбчатая диаграмма) или линий уровня — Insert • Graph • Contour Plot (Вставка • График • Линии уровня).

Для отображения  векторного поля при помощи команды  Insert • Graph • Vector Field Plot (Вставка • График • Поле векторов) значения матрицы должны быть комплексными. В этом случае в каждой точке графика отображается вектор с координатами, равными действительной и мнимой частям элемента матрицы. Во всех этих случаях после создания области графика необходимо указать вместо заполнителя имя матрицы, содержащей необходимые значения.

Для построения параметрического точечного графика  командой Insert • Graph • 3D Scatter Plot (Вставка • График • Точки в пространстве) необходимо задать три вектора с одинаковым числом элементов, которые соответствуют х-, у- и 2-координатам точек, отображаемых на графике. В области графика эти три вектора указываются внутри скобок через запятую.

Аналогичным образом можно построить поверхность, заданную параметрически. Для этого надо задать три матрицы, содержащие, соответственно, x-,у- и 2-координаты точек поверхности.

Теперь надо дать команду построения поверхности  Insert • Graph • Surface Plot (Вставка • График • Поверхность) и указать в области графика эти три матрицы в скобках и через запятую. Таким образом можно построить практически любую криволинейную поверхность (например, представленную на рис. 4), в том числе с самопересечениями.

Диалоговое  окно для форматирования трехмерных графиков также открывают двойным  щелчком на области графика.

Рис. 5. Пятикратно перекрученная

замкнутая лента, заданная параметрически

Функции в Mathcad

Функция – выражение, согласно которому проводятся некоторые вычисления с  его аргументами и определяется его числовое значение. Функции в пакете MathCAD могут быть встроенные и определенные пользователем.

В MathCAD имеется множество встроенных функций. Для их ввода используется команда меню Вставка → Функция или кнопка на панели инструментов. В диалоговом окне нужно выбрать Категорию и соответствующую функцию.

 

Рис. 8. Выбор соответствующей функции

 

Функция пользователя вначале должна быть определена, а затем к ней  может быть произведено обращение. Функция пользователя определяется следующим образом:

Имя_функции (Переменная1, Переменная2, …) := Выражение Задается имя функции, в скобках указывается список аргументов функции - это перечень используемых в выражении переменных, разделяемых запятыми. Затем записывается знак присваивания, справа от которого записывается выражение. Выражение - это любое арифметическое выражение, содержащее доступные системе операторы и функции с операндами и аргументами, указанными в списке аргументов.

Примеры задания функций одной  и двух переменных:

f(x):= 10 - exp(x)

mult(x, у) := x*y 13

Обращение к функции осуществляется по ее имени с подстановкой на место  аргументов констант, переменных, определенных до обращения к функции, и выражений. Например:

f(3), sin(1), mult(2,3).

Произвольные зависимости  между входными и выходными параметрами  задаются при помощи функций. Функции  принимают набор параметров и  возвращают значение, скалярное или  векторное (матричное). В формулах рабочего листа можно использовать стандартные  встроенные функции, а также функции, определенные пользователем.

Чтобы использовать функцию в выражении, ее следует вызвать по имени, указав в значения фактических входных  параметров в скобках после имени  функции. Имена простейших математических функций можно ввести с панели инструментов Калькулятор (Arithmetic). Информацию о других функциях можно почерпнуть в справочной системе или в приложении. Вставить в выражение стандартную функцию можно при помощи командыВставка > Функция (Insert > Function). В диалоговом окне (Рис. 6) слева выбирается категория, к которой относится функция, а справа – конкретная функция. В нижней части окна выдается информация о выбранной функции. При вводе функции через это диалоговое окно автоматически добавляются скобки и заполнители для значений параметров.

Рис. 6

Пользовательские  функции должны быть сначала определены. Определение задается при помощи оператора присваивания. В левой  части указывается имя пользовательской функции и, в скобках, формальные параметры – переменные, от которых  она зависит. Справа от знака присваивания эти переменные должны использоваться в выражении, например

Если для вычисления пользовательской функции необходимо выполнить несколько операций, то в теле функции формируют необходимое  число строк с помощью кнопки Add line панели Программирование и в появившиеся заполнители помещают формулы. Отметим, что в операторах тогда допустима операция внутреннего присваивания, задаваемая стрелкой, а все вычисленные подобным образом переменные являются локальными и за пределами функции будут не определенны. Так, на рис. 7 функция fct вычисляется за три действия, а переменные с_2k и c_3k будут видимыми только внутри функции.

Рис. 7

При применении пользовательской функции в последующих формулах ее имя вводят вручную. В диалоговом окне Вставка функции оно не отображается.

 

Аналитические вычисления

С помощью  аналитических вычислений находят  аналитические или полные решения  уравнений и систем, а также  проводят преобразования сложных выражений (например, упрощение). Иначе говоря, при таком подходе можно получить нечисловой результат. В программе Mathcad конкретные значения, присвоенные переменным, при этом игнорируются — переменные рассматриваются как неопределенные параметры. Команды для выполнения аналитических вычислений в основном сосредоточены в меню Symbolics (Аналитические вычисления).

Чтобы упростить  выражение (или часть выражения), надо выбрать его при помощи уголкового курсора и дать команду Symbolics • Simplify (Аналитические вычисления • Упростить). При этом выполняются арифметические действия, сокращаются общие множители и приводятся подобные члены, применяются тригонометрические тождества, упрощаются выражения с радикалами, а также выражения, содержащие прямую и обратную функции (типа е1пх). Некоторые действия по раскрытию скобок и упрощению сложных тригонометрических выражений требуют применения команды Symbolics • Expand (Аналитические вычисления • Раскрыть).

Команду Symbolics • Simplify (Аналитические вычисления • Упростить) применяют и в более сложных случаях. Например, с ее помощью можно:

• вычислить предел числовой последовательности, заданной общим членом;
• найти общую формулу для суммы членов числовой последовательности, за данной общим членом;
• вычислить производную данной функции;
• найти первообразную данной функции или значение определенного интеграла.

Другие возможности  меню Symbolics (Аналитические вычисления) состоят в выполнении аналитических операций, ориентированных на переменную, использованную в выражении. Для этого надо выделить в выражении переменную и выбрать команду из меню Symbolics • Variable (Аналитические вычисления • Переменная).

Команда Solve (Решить) ищет корни функции, заданной данным выражением,

например, если выделить уголковым курсором переменную х в выражении

а-х2 + Ь-х + с, то в результате применения команды Symbolics • Variable • Solve (Аналитические вычисления • Переменная • Решить), будут найдены все корни:

 

Другие возможности  использования этого меню включают:

• аналитическое дифференцирование и интегрирование: Symbolics • Variable Differentiate (Аналитические вычисления • Переменная • Дифференцировать) и Symbolics • Variable • Integrate (Аналитические вычисления • Переменная • Интегрировать);
• замена переменной: Symbolics • Variable • Substitute (Аналитические вычисления • Переменная • Подставить) — вместо переменной подставляется содержимое буфера обмена;
• разложение в ряд Тейлора: Symbolics • Variable • Expand to Series (Аналитические вычисления • Переменная • Разложить в ряд);
• представление дробно-рациональной функции в виде суммы простых дробей с линейными и квадратичными знаменателями: Symbolics • Variable • Convert to Partial Fraction (Аналитические вычисления • Переменная • Преобразовать в простые дроби).

Наконец, самым  мощным инструментом аналитических вычислений является оператор аналитического вычисления, который вводится с помощью кнопки Evaluate Symbolically (Вычислить аналитически) на панели инструментов Evaluation (Вычисление). Его можно, например, использовать для аналитического решения системы уравнений и неравенств. Блок решения задается точно так же, как при численном решении (хотя начальные значения переменных можно не задавать), а последняя формула блока должна выглядеть как find(x, у...)R, где в скобках приведен список искомых величин, а далее следует знак аналитического вычисления, отображаемый в виде стрелки, направленной вправо.

Любое аналитическое  вычисление можно применить с  помощью ключевого слова. Для этого используют кнопку Symbolic Keyword Evaluation (Вычисление с ключевым словом) на панели инструментов Evaluation (Вычисление). Ключевые слова вводятся через панель инструментов Symbolics (Аналитические вычисления). Они полностью охватывают возможности, заключенные в меню Symbolics (Аналитические вычисления), позволяя также задавать дополнительные параметры.

 

Константы и переменные

Константами называются поименованные  объекты, хранящие некоторые значения, которые не могут быть изменены.

В MathCAD применяются десятичные, восьмеричные и шестнадцатеричные числовые константы. Десятичные константы могут быть целочисленными, вещественными, заданными с фиксированной точкой, и вещественными, заданными в виде мантиссы и порядка.

В MathCAD содержится особый вид констант - размерные. Помимо своего числового значения они характеризуются еще и указанием на то, к какой физической величине они относятся. Для этого указания используется символ умножения. В системе MathCAD заданы следующие основные типы физических величин: time (время), length (длина), mass (масса) и charge (заряд). При необходимости их можно изменить на другие.

Переменные являются поименованными объектами, которым присвоено некоторое  значение, которое может изменяться по ходу выполнения программы. Тип переменной определяется ее значением; переменные могут быть числовыми, строковыми, символьными  и т. д. Имена констант, переменных и иных объектов называют идентификаторами. Имя переменной называется идентификатором. MathCAD различает в идентификаторах символы верхнего и нижнего регистров. Например: ABC и AbC имена разных переменных. Идентификаторы MathCAD должны начинаться с буквы и могут содержать следующие символы:

- латинские буквы любого регистра;

- арабские цифры от 0 до 9;

- символ подчеркивания (_), символ процент (%) и символ (.);

- буквы греческого алфавита (набираются  с использованием клавиши Ctrl или применяется палитра греческих букв).

Определение переменных

Переменные должны быть предварительно определены пользователем, т. е. им необходимо хотя бы однажды присвоить значение. В качестве оператора присваивания используется знак :=, тогда как знак = отведен для вывода значения константы или переменной. Попытка использовать неопределенную переменную ведет к выводу сообщения об ошибке.

В MathCAD различают: локальные и глобальные переменные.

Локальные переменные вводятся:

Имя_переменной : выражение

На экране:

Имя_переменной := выражение

Глобальные переменные вводятся:

Имя_переменной ~ выражение

На экране:

Имя_переменной ≡ выражение

Если переменной присваивается  начальное значение с помощью  оператора 

:=, такое присваивание называется  локальным. До этого присваивания 

переменная не определена и ее нельзя использовать. MathCAD читает рабочий

документ слева направо и  сверху вниз, поэтому определив переменную, ее

можно использовать в вычислениях  везде правее и ниже равенства, в  котором 

она определена. Однако с помощью  знака ≡ (три горизонтальные черточки)

можно обеспечить глобальное присваивание, т. е. оно может  производиться в любом месте  документа. К примеру, если переменной присвоено таким образом значение в самом конце документа, то она  будет иметь это же значение и  в начале документа. Например:

Ввод с клавиатуры    Вид на экране

local:137                       local := 137 локальное определение переменной local;

global~987.23               global ≡ 987.23 глобальное определение переменной

                                      global.10

Переменные могут использоваться в математических выражениях, быть аргументами функций или операндом  операторов.

Переменные могут быть и размерными, т. е. характеризоваться не только своим  значением, но и указанием физической величины, значение которой они хранят. Проведение расчетов с размерными величинами и переменными особенно удобно при  решении различных физических задач.

Предопределенные переменные

Предопределенные (системные) переменные – особые переменные, которым изначально системой присвоены начальные значения.

Операторы - элементы языка, с помощью  которых можно создавать математические выражения. К ним, например, относятся  символы арифметических и логических операций, знаки вычисления сумм, произведений, производной и интеграла и  т. д. Операторы, обозначающие основные арифметические действия, вводятся с  панели Calculator (Калькулятор, Арифметика). Вычислительные операторы вставляются в документы при помощи панели инструментов Calculus (Матанализ). При нажатии любой из кнопок в документе появляется символ соответствующего математического действия, снабженный несколькими местозаполнителями. Количество и расположение местозаполнителей определяется типом оператора и в точности соответствует их общепринятой математической записи. 11