Решение задач теории упругости с помощью специализированных систем компьютерной математики

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение……………………………………………………………………………….2

Глава I. Основные положения теории упругости. Метод конечных элементов. Постановки задач.

1. Перемещения, напряжения и деформации……………………………………4
2. Метод конечных элементов…………………………………………………..  6

1.3 Задача Ламе о толстостенном цилиндре. Аналитическое решение…………9

1.4 Задача Ламе о полой сфере. Аналитическое решение ……………………..13

Глава II. Программное обеспечение и описание его возможностей.

2.1 ABAQUS ……………...…………………………...…………………………..18

2.2 ANSYS………………………………………. ………………………………..21

Глава III. Примеры решения задач.

3.1 Задача Ламе о толстостенном цилиндре ….……………………...…………23

3.2 Задача Ламе о полой сфере…….……………………………………………..29

3.3 Растяжение пластины с вырезами……………………………………………37

Заключение…………………………………………………………………………...49

Список использованной литературы……………………………………………….51

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Из года в год, в силу постоянного развития технологий, расчеты в современной инженерии становятся все более сложными. При этом решение подобных задач без использования ЭВМ уже долгое время не представляется возможным.

На современном  рынке программного обеспечения  для анализа и визуализации научных  и технических данных можно видеть множество продуктов, которые, по словам разработчиков успешно справляются с решением подобных задач. Но стоит отметить, что освоение подобных продуктов является не простой задачей для начинающего пользователя, что объясняется широчайшим спектром возможностей и средств этих приложений. Также начинающему пользователю будет не просто определиться с выбором какого то конкретного приложения из предложенных на рынке.

Большое распространение получили такие  крупные программные комплексы  для решения прочностных задач  и визуализации научных и технических  данных, как системы автоматического  проектирования (САПР) или, иначе говоря, Computer-Aided Design (CAD). К наиболее ярким представителям этого широкого класса систем относятся AutoCAD, ArchiCAD, SolidWorks, КОМПАС. В них имеются мощные инструменты для 3D-моделирования, средства для разработки двумерных моделей и чертежей. Они дают возможность качественно и доступно визуализировать различные объекты и составлять документацию

К коммерческим программам для анализа и визуализации научных и технических данных относятся такие крупные пакеты программ и программные системы  как ABAQUS, ANSYS, NASTRAN, IMPACT, ALGOR и некоторые другие. Все эти приложения основаны на методе конечных элементов, который также будет оговорен в этой работе. Данные приложения являются довольно популярными у специалистов в области компьютерного инжиниринга (CAE, Computer-Aided Engineering) и решения различных пространственных задач механики деформируемого твёрдого тела и механики конструкций, задач механики жидкости и газа, и многих других задач. Стоит отметить что некоторые из подобных систем, к примеру, ABAQUS, будучи коммерческими, имеют также и свободную от лицензии версию, которая предназначена для обучения студентов в высших и средних специальных учебных заведениях технической направленности. Лицензия на эти продукты является довольно дорогой и не все могут себе их позволить. Поэтому наличие подобной бесплатной версии, безусловно, является большим плюсом для тех людей, кто только обучается работе в данных приложениях. Данные бесплатные версии являются ограниченными, отсутствуют многие возможности и ограниченно максимальное число элементов при разбиении объекта для конечно-элементного анализа, что в свою очередь снижает точность подсчётов. Поэтому моделирование в рамках данной работы проводилось на полных коммерческих версиях систем. Безусловно, существуют и менее обширные приложения, которые также направлены на решение подобных задач, но они зачастую охватывают далеко не весь спектр необходимых задач или не поддерживают нужные аппаратные платформы.

Цель  работы: научиться решать определенные задачи теории упругости, используя выбранные для моделирования системы конечно-элементного анализа. Сделать выводы о точности решения данных систем, на примере типовых задач теории упругости, сравнив его с решением полученным аналитически. Рассмотреть и сравнить системы по таким критериям, как удобство моделирования и наглядность полученного решения. Сделать выводы.

Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:

1. Освоить основы теории упругости.
2. Рассмотреть типовые задачи теории упругости и изучить методы решения некоторых из них. В частности, задач Ламе для толстостенного полого цилиндра и полой сферы. Решить данные задачи.
3. Выбрать и изучить лучшие из систем конечно-элементного анализа. Уметь работать в этих системах на уровне, позволяющем решить данные задачи.

 

Глава I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ. ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ.

1.1 Перемещения, напряжения и деформации

Теория упругости — раздел механики сплошных сред, изучающий деформации упругих твёрдых тел, их поведение при статических и динамических нагрузках. Главная задача теории упругости — выяснить, каковы будут деформации тела и как они будут меняться со временем при заданных внешних воздействиях. Теория упругости содержит в себе математические уравнения, решение которых позволяет рассчитать деформации конкретного тела, к которому приложены нагрузки заданной величины, посчитать при этом напряжения в теле. Вопрос о способности или не способности (разрушение) тела выдерживать определённые нагрузки, тесно связан с теорией упругости, но, строго говоря, не входит в компетенцию этой теории.

Количество возможных задач теории упругости безгранично — от определения деформаций и напряжений в балке, лежащей на опорах и нагруженной силами, до расчета тех же величин в конструкции самолета, корабля, подводной лодки, в колесе вагона, в броне при ударе снаряда, в горном массиве при прохождении штольни, в каркасе высотного здания и т.д. Здесь следует сделать оговорку: конструкции, состоящие из тонкостенных элементов, рассчитывают по упрощенным теориям, логически основанным на теории упругости; к таким теориям относятся: теория сопротивления материалов действию нагрузок, задачей которой, в основном, является расчет стержней и балок; строительная механика — расчет стержневых систем (например, мостов); и, наконец, теория оболочек — самостоятельная и очень развитая область науки о деформациях и напряжениях, предмет исследования которой — важнейшие элементы конструкций — тонкостенные оболочки — цилиндрические, конические, сфероидальные, и имеющие более сложные формы. Поэтому в теории упругости обычно рассматриваются тела, у которых существенные размеры отличаются не слишком сильно. Таким образом, рассматривается упругое тело заданной формы, на которое действуют известные силы.

Основными понятиями теории упругости  являются напряжения, действующие на малых площадках, которые можно мысленно провести в теле через заданную точку M, деформации малой окрестности точки M и перемещения самой точки M.

Механическое напряжение — это мера внутренних сил, возникающих в деформируемом теле под влиянием внешних воздействий. Механическое напряжение в точке тела измеряется отношением силы, возникающей в теле при деформации, к площади малого элемента сечения, перпендикулярного к этой силе.

Деформация (от лат. deformatio — искажение) — изменение относительного положения частиц тела, связанное с их перемещением.

Упругая деформация — деформация, исчезающая после прекращения действий внешних сил. При этом тело принимает первоначальные размеры и форму.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2 Метод конечных элементов.

Метод конечных элементов —  численный метод решения дифференциальных уравнений с частными производными, а также интегральных уравнений, возникающих при решении задач прикладной физики. Метод широко используется для решения задач механики деформируемого твёрдого тела (сопромата), теплообмена, гидродинамики и электродинамики.

Суть метода следует из его названия. Область, в которой ищется решение  дифференциальных уравнений, разбивается  на конечное количество подобластей (элементов). В каждом из элементов произвольно  выбирается вид аппроксимирующей функции. В простейшем случае это полином первой степени. Вне своего элемента аппроксимирующая функция равна нулю. Значения функций на границах элементов (узлах) является решением задачи и заранее неизвестны. Коэффициенты аппроксимирующих функций обычно ищутся из условия равенства значения соседних функций на границах между элементами (в узлах). Затем эти коэффициенты выражаются через значения функций в узлах элементов. Составляется система линейных алгебраических уравнений. Количество уравнений равно количеству неизвестных значений в узлах, на которых ищется решение исходной системы, прямо пропорционально количеству элементов и ограничивается только возможностями ЭВМ. Так как каждый из элементов связан с ограниченным количеством соседних, система линейных алгебраических уравнений имеет разрежённый вид, что существенно упрощает её решение.

Метод конечных элементов сложнее в реализации метода конечных разностей. У МКЭ, однако, есть ряд преимуществ, проявляющихся на реальных задачах: произвольная форма обрабатываемой области; сетку можно сделать более редкой в тех местах, где особая точность не нужна.

Возникновение метода конечных элементов  связано с решением задач космических  исследований в 1950-х годах. Идея МКЭ была разработана в СССР ещё в 1936 году, но из-за неразвитости вычислительной техники метод не получил развития, поэтому впервые был применён на ЭВМ лишь в 1944 году Аргирисом. Этот метод возник из строительной механики и теории упругости, а уже затем было получено его математическое обоснование. Существенный толчок в своём развитии МКЭ получил в 1963 году после того, как было доказано то, что его можно рассматривать как один из вариантов распространённого в строительной механике метода Рэлея — Ритца, который путём минимизации потенциальной энергии сводит задачу к системе линейных уравнений равновесия. После того, как была установлена связь МКЭ с процедурой минимизации, он стал применяться к задачам, описываемым уравнениями Лапласа или Пуассона. Область применения МКЭ значительно расширилась, когда было установлено (в 1968 году), что уравнения, определяющие элементы в задачах, могут быть легко получены с помощью вариантов метода взвешенных невязок, таких как метод Галёркина или метод наименьших квадратов. Это сыграло важную роль в теоретическом обосновании МКЭ, так как позволило применять его при решении многих типов дифференциальных уравнений. Таким образом, метод конечных элементов превратился в общий метод численного решения дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений.

С развитием вычислительных средств  возможности метода постоянно расширяются, также расширяется и класс  решаемых задач. Практически все  современные расчёты на прочность  проводят, используя МКЭ.

Долгое время широкому распространению  МКЭ мешало отсутствие алгоритмов автоматического  разбиения области на «почти равносторонние»  треугольники (погрешность, в зависимости  от вариации метода, обратно пропорциональна  синусу или самого острого, или самого тупого угла в разбиении). Впрочем, эту  задачу удалось успешно решить (алгоритмы  основаны на триангуляции Делоне), что дало возможность создавать полностью автоматические конечно-элементные САПР.

 

 

1.3 Задача Ламе о толстостенном цилиндре. Аналитическое решение.

Рассматривается задача Ламе о напряжённо-деформированном  состоянии в бесконечно длинной  толстостенной трубе, подверженной равномерно распределённому по всей поверхности давлению. Задача относится  к классу задач, в которых распределение  напряжений симметрично относительно оси.

Если толщина стенки трубы, нагруженной  радиальной нагрузкой, превышает 0,1 радиуса  геометрической оси стенки, труба  считается толстостенной. Распределение напряжений по толщине стенки такой трубы нельзя считать равномерным; радиальные перемещения отдельных точек стенки трубы зависят от их расстояния r до оси трубы.

Рассмотрим отрезок трубы длиной, равной единице, вырезанный двумя сечениями, нормальными к оси трубы (рис. 1.1,а). Труба нагружена на внутренней и наружной поверхностях радиальной сжимающей нагрузкой; интенсивности р_В и р_Н этой нагрузки постоянны как вдоль оси трубы, так и по её окружности. Любой такой отрезок на некотором расстоянии от торцов трубы находится в плоском деформированном состоянии.

Составим уравнение равновесия элемента трубы, выделенного двумя  радиальными сечениями, составляющими  между собой угол dq, и двумя окружными сечениями, радиусы которых r и r + dr (рис. 1.1,б). По граням этого элемента действуют радиальные и окружные напряжения s_r и . Радиальное напряжение при изменении радиуса r получает приращение , а окружное напряжение в силу осевой симметрии задачи при изменении угла q не меняется.

 

Рис. 1.1

                     а                                                                              б

 

Дифференциальное уравнение равновесия для осесимметричной задачи имеет  вид:

     _(1.1)

Напряжения  выразим через относительные линейные деформации  с помощью закона Гука¹:

 

   (1.2)

а относительные деформации заменим  их выражениями через радиальное перемещение v (рис. 1.1,б), пользуясь зависимостями

 

.

Подставив эти выражения в формулу (1.2), а выражения (1.2) в формулу (1.1), получим выражения для напряжений и дифференциальное уравнение равновесия элемента трубы в перемещениях

     (1.3)

     (1.4)

 

Уравнение (1.4) может быть представлено в виде

откуда следует, что

Этому уравнению удовлетворяет  решение

      (1.5)

Заменив в формулах (1.3) перемещение v его выражением (1.5), получим для напряжений:

 

    (1.6)

 

Граничные условия для определения  постоянных А и В составляем из условий на внутренней и наружной поверхностях трубы:

 

r = R_B,     s_r = - p_B;         2)          r = R_H,    s_r = - p_H.              

 

Учет этих условий в первом уравнении (1.6) дает систему двух уравнений, содержащих А и В, решив которую, найдем

 

.

 

Подстановка найденных значений А и В в уравнения (1.6) дает следующие выражения для напряжений:

 

   (1.7)