Решение задач теории упругости с помощью специализированных систем компьютерной математики

В конце 70-х годов существенным дополнением к системе ANSYS явился интерактивный режим работы. Это значительно упростило процедуры создания КЭ модели и оценку результатов (пре- и пост-процессорная обработка). Стало возможным использовать интерактивную графику для проверки геометрии модели, заданных свойств материала и граничных условий перед началом счёта. Графическая информация могла быть сразу же выведена на экран для интерактивного контроля результатов решения.

На данный момент, ANSYS используется на большинстве предприятий, которым в силу своей деятельности требуется система для проведения сложных инженерных расчётов и анализа.

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава III. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

3.1 Задача Ламе о толстостенном цилиндре.

Входные данные

Внутренний радиус a равен 0.3 м, внешний радиус b равен 0.4 м, модуль Юнга E равен 2*10⁸ Па, коэффициент Пуассона µ равен 0.4, внутреннее давление p_a составляет 10³ Па, внешнее давление p_b равно нулю.

p_a  

 

 

                                      p_b

 

 

 

 

рис. 3.1

Аналитическое решение

По формулам (1.9)

,

– внутреннее давление a - внутренний радиус  b – внешний радиус

r – расстояние от  точки до оси трубы

которые предназначаются  для подсчёта напряжений именно в случае когда на цилиндр действует только внутреннее давление, получим значения тангенциального напряжения в точках:

1. находящихся вблизи от поверхности цилиндра(r = 0.39)
2. находящихся вблизи от центра стенки цилиндра(r = 0.35)
3. находящихся вблизи от внутренней поверхности цилиндра (r = 0.31)

 

_{Результат}

_{Для r = 0.39:}

= 2.63821*

_{Для r = 0.35:}

= 2.96501*

_{Для r = 0.31:}

= 3.42634*

 

Теперь  решим эту задачу при помощи систем ABAQUS и ANSYS. Полученные значения напряжения сравним со значениями полученными аналитически.

 

Моделирование в системе ABAQUS

 

Смоделированный цилиндр из задачи 3.1 с нанесённой конечно-элементной сеткой из 20000 элементов

 

 

 

 

 

 

Цилиндр с  приложенным давлением из задачи 3.1.

 

 

 

 

 

Шкала напряжения цилиндра. Каждому цвету соответствует значение напряжения, от минимального(синий) до наивысшего(красный).

 

 

 

 

 

Как можно  видеть, шкала содержит в себе значение напряжение посчитанное для r = 0.35: = 2.96501*. Данное значение располагается в центре шкалы и соответствует светло-зелёному цвету в который окрашены элементы центра стенки. При этом значения = 2.63821* для r = 0.39 и = 3.42634* для r = 0.31, расположились в непосредственной близости от крайних значений шкалы, но всё же за её пределами.

Решение данной задачи в системе  ABAQUS достаточно точно. Погрешность в подсчёте значений напряжения мала. Визуально решение наглядно и удобно.

 

 

 

 

 

 

 

 

Моделирование в системе ANSYS

 

Смоделированный цилиндр из задачи 3.1 с нанесённой конечно-элементной сеткой из 20000 элементов

Цилиндр с  приложенным давлением из задачи 3.1.

 

 

 

 

Шкала напряжения цилиндра. Каждому цвету соответствует  значение напряжения, от минимального(синий) до наивысшего(красный).

 

 

 

 

 

 

 

 

 Шкала содержит в себе все подсчитанные аналитически напряжения   = 2.63821*, = 2.96501*, = 3.42634*. Соответствие цветов относительно положения точки, для которой подсчитывается значение напряжения, также выполняется, как и при моделировании в системе ABAQUS.

Система ANSYS оказалась чуть более точна в решении данной задачи. Погрешность в подсчёте напряжений фактически отсутствует. Визуализация решения ничем не уступает системе ABAQUS.

 

 

 

2. Задача Ламе о полой сфере.

Входные данные

Внутренний радиус a равен 0.3 м, внешний радиус b равен 0,4 м, модуль Юнга E равен 10¹¹ Па, коэффициент Пуассона µ равен 0.3, внутреннее давление p_a составляет 10⁶ Па, внешнее давление p_b равно нулю.

рис. 3.2

Аналитическое решение

По формулам (2.9)

– внутреннее давление a - внутренний радиус  b – внешний радиус

R – расстояние от  точки до оси сферы

которые предназначаются  для подсчёта напряжений именно в  случае когда на сферу действует только внутреннее давление, получим значения тангенциального напряжения в точках:

1. находящихся вблизи от поверхности сферы (r = 0.39)
2. находящихся вблизи от центра стенки сферы(r =0.35)
3. находящихся вблизи от внутренней поверхности сферы(r=0.31)

 

 

 

Результат

_{Для r = 0.39:}

= 1.12338*.

_{Для r = 0.35:}

= 1.27432*.

_{Для r = 0.31:}

= 1.51351*.

 

Смоделируем задачу в системах ABAQUS и ANSYS. Полученные значения напряжения также сравним со значениями полученными аналитически.

 

Моделирование в системе ABAQUS

Смоделированная полая сфера из задачи 3.2 с нанесённой конечно-элементной сеткой из 6000 элементов(прозрачная, чтобы было видно сетку на полости).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сфера (в разрезе) с приложенным давлением из задачи 3.2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Шкала напряжения сферы. Каждому цвету соответствует значение напряжения, от минимального(синий) до наивысшего(красный).

 

 

 

Шкала содержит подсчитанные аналитически напряжения = 1.12338*, = 1.27432*, = 1.51351*. Но погрешность всё же присутствует. Только теперь, в отличие от задачи с цилиндром, шкала несколько шире полученных аналитически значений. Но, следует отметить, погрешность также очень невелика. Соответствие значений напряжения и цветов, в которые окрашены элементы сферы, выполняется.

С этой задачей ABAQUS также справляется хорошо. Хотя небольшая погрешность в подсчёте значений напряжения вновь присутствует. Возможности системы, используемые при моделировании (прозрачный объект, видны только линии конечно-элементной сетки) и визуализации(сечение по центру объекта нажатием одной клавиши), существенно облегчают решение задачи и делают результат простым для восприятия и понимания.

 

Моделирование в системе  ANSYS

 

Смоделированная полая сфера из задачи 3.2 с нанесённой конечно-элементной сеткой из 6000 элементов

 

 

 

 

Возможность сделать фигуру прозрачной и оставить лишь линии конечно-элементной сетки, как было сделано в ABAQUS, отсутствует.

Для понимания того, что фигура содержит две области, имеем лишь некий переключатель в углу рабочей области, который позволяет нам выбирать внешнюю поверхность или внутреннюю полость сферы.

 

 

Сфера с приложенным  давлением из задачи 3.2.

 

 

 

 

Также в ANSYS отсутствует возможность увидеть объект в сечении нажатием одной клавиши. Чтобы произвести подобную операцию, требуется изначально при построении объекта указать разбиение его плоскостями на части, между которыми впоследствии можно будет провести сечение.

 

 

 

Имеются указатели Min,Max. В реализации данной задачи при вращении сферы Min всегда указывает на поверхность сферы, а Max всегда расположен на объекте, указывая, что напряжение максимально внутри сферы.

 

 

Шкала напряжения сферы. Каждому цвету соответствует  значение напряжения, от минимального (синий) до наивысшего(красный).

 

 

 

 

Шкала напряжения также содержит в себе подсчитанные аналитически напряжения   = 1.12338*, = 1.27432*, = 1.51351*. Погрешность решения в сравнении с ABAQUS несколько уменьшилась на верхней границе, но увеличилась на нижней. Соответствие значений напряжения и цветов, в которые окрашены объекты сферы, также выполнено.

ANSYS при решении этой задачи не превзошёл ABAQUS в точности, но при этом на порядок уступил в удобстве процесса моделирования и в наглядности визуализации. Отсутствие возможности сделать объект прозрачным, оставив лишь линии конечно-элементной сетки, безусловно, является серьёзным минусом процесса моделирования, в сравнении с ABAQUS. Как и отсутствие такой функции как разрез объекта по центру нажатием одной клавиши. Ведь зачастую требуется простое сечение для наглядности. На примере конкретно этой задачи, без сечения невозможно увидеть палитру цветов на стенке сферы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.3 Растяжение пластины с вырезами.

Задача  о растяжении пластины с вырезами не является типовой, в отличие от задачи Ламе, поэтому подробно процесс моделирования в системах ABAQUS и ANSYS следует рассмотреть именно на примере этой задачи.

Входные данные

 

a = 30 см, b = 10 см, c = 10 cм, d = 4 см. Толщина пластины 0.5 см. Модуль Юнга E равен 2*10¹¹ Па, коэффициент Пуассона µ равен 0.3. Пластина растягивается с 2ух сторон силами равными 1* Н.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Моделирование в системе ABAQUS

Первым  шагом моделирования в ABAQUS, является построение двумерного объекта. В системе имеется множество различных инструментов для построения. Также имеется возможность построения по координатам, вводимым вручную. Объекты, которые не отличаются высокой геометрической сложностью, зачастую проще построить именно путём ввода координат.

Двумерная пластина из задачи 3.3.

 

 

 

 

 

Теперь  необходимо получить полноценный трёхмерный объект. Получаем его путём «выдавливания» вдоль оси на определённое расстояние.  В данном случае нам необходимо «выдавить» нашу пластину вдоль оси Z на 0.5 см.

 

Полученная  трёхмерная пластина из задачи 3.3.

 

Стоит сказать  о том, что полая сфера моделировалась несколько иным способом. Строились две полуокружности, одна из которых меньшего радиуса, и находится внутри первой. Концы внешней и внутренней полуокружностей соединялись линиями по оси, после чего сфера образовывалась посредством оборота получившейся конструкции на 360 градусов вокруг оси.

 

 

 

Следующим шагом задаются свойства материала  для построенного объекта, и прикладываются нагрузки. В нашем случае к боковым  рёбрам пластины прикладываются две  равные силы, растягивающие её.

 

 

 

 

Пластина  из задачи 3.3. с векторами указывающими направление и место приложения будущих нагрузок.

 

 

 

 

Теперь  на готовый объект накладывается конечно-элементная сетка. То есть, по сути, объект разбивается на множество мелких элементов для реализации конечно-элементного анализа.

Форма и  размеры элементов предлагаются системой автоматически, но во многих случаях сетка с параметрами, предложенными автоматически, накладывается некорректно. К примеру, для данной задачи автоматически предложенная сетка легла таким образом.

Пластина  из задачи 3.3 с сеткой, предложенной системой.

Проблема  здесь заключается в том, что  для разбиения были предложены прямоугольные элементы. И как можно видеть такие элементы предложенного автоматически размера не могут корректно расположиться около вырезов пластины.

 

Для корректного  наложения сетки была выбрана  треугольная форма элементов, и  незначительно уменьшен их размер.

Пластина  из задачи 3.3 с нанесённой конечно-элементной сеткой.

 

В результате, пластина была разбита на 6465 элементов. Как уже оговаривалось, свободная  от лицензии студенческая версия позволяет  разбивать объект максимум на 1000 элементов. Такая сетка состояла бы из достаточно больших элементов, и точность подсчётов заметно бы снизилась.

Теперь, когда объект смоделирован, заданы свойства материала, приложены нагрузки, и наложена конечно-элементная сетка, можно запускать процесс решения. Продолжительность решения будет напрямую зависеть от количества элементов, на которые разбит объект. К примеру, на решение данной задачи с 6465 элементами, при использовании четырёх ядерного процессора, уходит двадцать секунд. А если элементов 200000, около двадцати минут. Но такое гигантское количество элементов безусловно не требуется. При решении задачи 3.1 цилиндр состоял из 20000 элементов, сфера из задачи 3.2 из 6000. Посчитанные значения напряжения при таком количестве элементов оказались очень близки к значениям полученным аналитически. Увеличение количества элементов в сетке незначительно увеличит точность решения, но время расчёта системы вырастет более чем значительно.