Системы массового обслуживания с неограниченной очередью

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Майкопский государственный технологический университет»

 

Пояснительная записка к курсовой работе

по дисциплине «Математические методы и модели в экономике»

 

на тему: «Системы массового обслуживания с неограниченной очередью»

 

Работа состоит из ____ стр., ____ рис., ___ табл.

 

 

 

Объектом исследования являются системы массового обслуживания с неограниченной очередью.

Цель работы состоит в исследовании систем массового обслуживания с неограниченной очередью, процессов, протекающих в них, классификации систем, показателей их эффективности, а также параметров, описывающих эти процессы.

К полученным результатам относятся  построение математической модели одноканальной системы массового обслуживания с неограниченным ожиданием (неограниченной очередью) и количественная оценка ее показателей эффективности.

 

 

 

 

 

 

 

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Майкопский государственный технологический университет»

Инженерно-экономический факультет

Кафедра высшей математики и системного анализа

 

"Утверждаю"

Зав. кафедрой

________________________________

(уч. звание, уч. степень)

_____________________________________________

(подпись)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАНИЕ

ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ

Студенту ………… группы ЭГ-31

1. Тема работы «Системы массового обслуживания с неограниченной очередью»

2. Срок сдачи работы ________________________________________

3. Исходные данные работе рекомендуемые теоретические источники и статистические данные для построения математической модели одноканальной системы массового обслуживания с неограниченным ожиданием.

4. Содержание расчетно-пояснительной  записки (перечень подлежащих разработке  вопросов)

1) в работе должны быть рассмотрены системы массового обслуживания с неограниченной очередью, процессы, протекающие в них, показатели их эффективности, а также параметры, описывающие эти процессы;

2) построить и проанализировать модель одноканальной системы массового обслуживания с ожиданием  по заданным исходным данным.

 

5. Консультанты по работе:

кафедра _______________________________________________________

(уч. звание, уч. степ., должность)

_____________________________________________________________

(по разделу)

______________________________________________________________

(фамилия, имя, отчество)

кафедра_______________________________________________________

(уч. звание, уч. степ., должность)

_____________________________________________________________

(фамилия, имя, отчество)

_____________________________________________________________

(по разделу)

_______________________________________________________________

(фамилия, имя, отчество)

7. Дата выдачи задания ___________________________________________

Руководитель работы_____________________________________________

(подпись)

8. Задание получил ____________ студент ___________________________

(подпись)

9. Дополнительные указания (по усмотрению руководителя)

10. График индивидуальных  консультаций

NN п/п	Дата консультации	Продолжительность консультации	Подпись консультанта
1
2
3
4
5

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

1. Введение 
2. Теоретическая глава. Системы массового обслуживания (СМО) 

1.1. Основные понятия теории СМО 

1.2. Классификация СМО 

1.3. Поток событий 

1.4. Понятие Марковского подхода 

1.5. Показатели эффективности СМО 

1.6. СМО с неограниченной очередью. Одноканальные СМО с неограниченной очередью 

1.7.Многоканальные СМО с неограниченной очередью 

3. Практическая часть. Задача.

Построение математической модели СМО с неограниченной очередью 

4. Заключение 
5. Список обязательной и используемой литературы 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Теория систем массового обслуживания начала развиваться в начале XX века. Основателем систем массового обслуживания считается математик Иохансен, сформулировавший в 1907 году предпосылки новой теории.

В настоящее время появилось большое количество литературы, посвященной непосредственно теории массового обслуживания, развитию ее математических аспектов, а также различных сфер ее приложения - военной, медицинской, транспортной, торговле, авиации и др.

Теория массового обслуживания опирается на теорию вероятностей и математическую статистику. Первоначальное развитие теории массового обслуживания связано с именем датского ученого А.К. Эрланга(1878-1929),с его трудами в области проектирования и эксплуатации телефонных станций.

Теория массового обслуживания — область прикладной математики, занимающаяся анализом процессов в системах производства, обслуживания, управления, в которых однородные события повторяются многократно, например, на предприятиях бытового обслуживания; в системах приема, переработки и передачи информации; автоматических линиях производства и др. Большой вклад в развитие этой теории внесли российские математики А.Я. Хинчин, Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, Е.С. Вентцель и др.

Предметом теории массового обслуживания является установление зависимостей между характером потока заявок, числом каналов обслуживания, производительностью отдельного канала и эффективным обслуживанием с целью нахождения наилучших путей управления этими процессами. Задачи теории массового обслуживания носят оптимизационный характер и в конечном итоге включают экономический аспект по определению такого, варианта системы, при котором будет обеспечен минимум суммарных затрат от ожидания обслуживания, потерь времени и ресурсов на обслуживание и от простоев каналов обслуживания.

В коммерческой деятельности применение теории массового обслуживания пока не нашло желаемого распространения.

В основном это связано с трудностью постановки задач, необходимостью глубокого понимания содержания коммерческой деятельности, а также надежного и точного инструментария, позволяющего просчитывать в коммерческой деятельности различные варианты последствий управленческих решений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II. Теоретическая глава. Системы массового обслуживания (СМО).

Одним из разделов «Теории принятия решений» является теория массового обслуживания, которая рассматривает и изучает вопросы организации и обслуживания потока требований или заявок.

Теория массового обслуживания – область прикладной математики, занимающаяся анализом процессов в системах производства, обслуживания, управления, в которых однородные события повторяются многократно, например, на предприятиях бытового обслуживания; в системах приема, переработки и передачи информации; автоматических линиях производства и др.

Математическую теорию массового обслуживания можно охарактеризовать двумя способами: указанием области практических задач, к решению которых она применяется, и указанием классов изучаемых ею случайных процессов.

Практически задачи теории массового обслуживания связаны с исследованием любых операций, состоящих из многих однородных элементарных операций, на осуществление которых влияют случайные факторы. Задачи подобного типа возникают в самых разнообразных направлениях исследований: в естествознании, в технике, в экономике, организации производства и т.д.

Системы массового обслуживания представляют собой системы специфического вида. Вообще «система» – целостное множество взаимосвязанных элементов, неделимое на независимое подмножество.

Основа системы массового обслуживания - средства, обслуживающие требования, называются обслуживающими устройствами или каналами обслуживания. Например, к ним относятся каналы телефонной связи, посадочные полосы, операторы, билетные кассиры, погрузочно-разгрузочные точки на базах и складах.

Теория массового обслуживания занимается изучением вопросов организации и обслуживание потока требований или заявок.

Заметим, что за последние годы область применения математических методов теории массового обслуживания непрерывно расширяется и все больше выходит за пределы задач, связанных с "обслуживающими организациями" в буквальном смысле слова. Как своеобразные системы массового обслуживания могут рассматриваться: электронные цифровые вычислительные машины; системы сбора и обработки информации; автоматизированные производственные цехи, поточные линии; транспортные системы; системы противовоздушной обороны и т. д.

Задачи массового обслуживания условно делят на задачи анализа и задачи синтеза - оптимизации систем массового обслуживания. Первые предполагают определение основных параметров функционирования системы массового обслуживания при неизменных, наперед заданных исходных характеристиках: структура системы, дисциплина обслуживания, потоки требований и законы распределения времени на их обслуживание. Вторые направлены на поиск оптимальных параметров систем массового обслуживания.

Функционирование любой системы массового обслуживания можно представить через все возможные состояния ее и интенсивность перехода из одного состояния в другое. Основными параметрами функционирования СМО являются вероятности ее состояния, то есть возможности наличия n требований в системе – Рn.

 

 

1.1. Основные понятия СМО

Заявкой (или требованием)  называется спрос на удовлетворение какой-либо потребности  (далее потребности предполагаются однотипными).  Выполнение заявки называется обслуживанием заявки.

Системы массового обслуживания (СМО) – это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступающие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.

Основными компонентами СМО любого вида являются:

• входной поток поступающих требований или заявок на обслуживание;
• дисциплина очереди;
• механизм обслуживания.

Требование (заявка) — запрос на обслуживание.

Входящий поток требований — совокупность требований, поступающих в СМО.

Время обслуживания — период времени, в течение которого обслуживается требование.

Математическая модель СМО — это совокупность математических выражений, описывающих входящий поток требований, процесс обслуживания и их взаимосвязь.

Поступление заявки в СМО называется событием. 

И, тем не менее, основная проблема при исследовании систем массового обслуживания заключается в том, что в реальности они могут быть исследованы с использованием классической теории массового обслуживания только в редких случаях. Потоки входящих и исходящих заявок могут оказаться не простейшими, следовательно, нахождение предельных вероятностей состояний с использованием системы дифференциальных уравнений Колмогорова невозможно, в системе могут присутствовать приоритетные классы, тогда расчет основных показателей СМО также невозможен.

Для оптимизации работы СМО была введена система из двух приоритетных классов и увеличено число обслуживающих каналов. В таком случае целесообразно применить методы имитационного моделирования, например метод Монте-Карло. Основная идея метода заключается в том, что вместо неизвестной случайной величины принимается ее математическое ожидание в достаточно большой серии испытаний. Производится разыгрывание случайной величины (в данном случае это интенсивности входящего и исходящего потоков) изначально равномерно распределенной. Затем осуществляется переход от равномерного распределения к показательному распределению, посредством формул перехода.

Функция распределения F(t) случайного интервала времени T между двумя последовательными заявками по определению равна. Но где   – вероятность того, что следующая после последней заявки поступит в СМО по истечении времени t, т.е. за время t в СМО не поступит ни одна заявка. Но вероятность этого события находится из (6) при i = 0. Таким образом:

p(T≥t)=p0(t)=e-λ*t

F(t)=1- e-λ*t

Плотность вероятности f(t) случайной величины T определяется формулой:

f(t)=F't(t)=λ* e-λ*t,t>0

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины T равны соответственно: