Системы массового обслуживания с неограниченной очередью

M(T) = ; D(T) = ; σ(T) =

Каналом обслуживания называется устройство в СМО, обслуживающее заявку. СМО, содержащее один канал обслуживания, называется одноканальной, а содержащее более одного канала обслуживания – многоканальной.

 

 

 

 

1.2. Классификация СМО

Если заявка, поступающая в СМО, может получить отказ в обслуживании (в силу занятости всех каналов обслуживания) и в случае отказа вынуждена покинуть СМО, то такая СМО называется СМО с отказами.

Если в случае отказа в обслуживании заявки могут вставать в очередь, то такие СМО называются СМО с очередью (или с ожиданием). При этом различают СМО с ограниченной и неограниченной очередью. Очередь может быть ограничена как по количеству мест, так и по времени ожидания. Различают СМО открытого и замкнутого типа. В СМО открытого типа поток заявок не зависит от СМО. В СМО замкнутого типа обслуживается ограниченный круг клиентов, а число заявок может существенно зависеть от состояния СМО (например, бригада слесарей – наладчиков, обслуживающих станки на заводе).

СМО могут также различаться по дисциплине обслуживания.

Если в СМО нет приоритета, то заявки отбираются из очереди в канал по различным правилам.

• Первым пришел – первым обслужен (FCFS – First Came – First Served)

• Последним пришел – первым обслужен (LCFS – Last Came – First Served)

• Первоочередное обслуживание требований с кратчайшей длительностью обслуживания (SPT/SJE)

• Первоочередное обслуживание требований с кратчайшей длительностью дообслуживания (SRPT)

• Первоочередное обслуживание требований с кратчайшей средней длительностью обслуживания (SEPT)

• Первоочередное обслуживание требований с кратчайшей средней длительностью дообслуживания (SERPT)

Приоритеты бывают двух типов – абсолютный и относительный.

Если требование в процессе обслуживания может быть удалено из канала и возвращено в очередь (либо вовсе покидает СМО) при поступлении требования с более высоким приоритетом, то система работает с абсолютным приоритетом. Если обслуживание любого требования, находящегося в канале не может быть прервано, то СМО работает с относительным приоритетом. Существуют также приоритеты, осуществляемые с помощью конкретного правила или набора правил. Примером может служить приоритет, изменяющийся с течением времени.

Таким образом, классификацию СМО можно показать следующим образом:

СМО
одноканальные	Многоканальные
с отказами
с ожиданием при ограниченной очереди
с ожиданием при неограниченной очереди

 

Системы с отказами не имеют очередей.

Системы с ожиданием имеют очереди.

Заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты:

- покидает систему с  отказами;

- становится в очередь на обслуживание в системах с ожиданием при неограниченной очереди или на свободное место при ограниченной очереди;

- покидает систему с  ожиданием при ограниченной очереди, если в этой очереди нет свободного места.

В качестве меры эффективности экономической СМО рассматривают сумму потерь времени: 

- на ожидание в очереди;

- на простои каналов  обслуживания.

 

 

 

1.3. Поток событий

Последовательность событий, заключающихся в поступлении заявок в СМО, называется входящим потоком заявок.

Последовательность событий, заключающихся в выполнении заявок в СМО, называется выходящим потоком заявок.

Поток заявок называется простейшим,  если он удовлетворяет следующим условиям:

1)отсутствие последействия, т.е. заявки поступают независимо друг от друга;

2)стационарность,  т.е.  вероятность поступления данного  числа заявок на любом временном  отрезке  [t1,  t2]  зависит лишь от величины этого отрезка и не зависит от значения t1,  что позволяет говорить о среднем числе заявок за единицу времени λ, называемом интенсивностью потока заявок;

3)ординарность, т.е. в любой  момент времени в СМО поступает  лишь одна заявка, а поступление  одновременно двух и более  заявок пренебрежимо мало.

Замечание. Поток, в котором события происходят через равные промежутки времени, не является простейшим потоком событий!

Интенсивностью (плотностью)  потока событий называется среднее число событий, происходящих в единицу времени.

Интенсивность входящего потока обозначается λ.

Замечание. Простейший поток событий обладает постоянной интенсивностью.

Простейший поток событий близко связан с распределением Пуассона. Действительно, справедливо следующее утверждение.

Утверждение 1. Вероятность того, что на отрезке времени длины t произойдет ровно i событий из простейшего потока с интенсивностью λ , выражается формулой Пуассона:

pi(t)=, i=0,1,..

т.е.  вероятности распределены по закону Пуассона с параметром λt. По этой причине простейший поток называется также пуассоновским потоком.

Утверждение 2. Длина отрезка времени между последовательными событиями из простейшего потока событий с интенсивностью λ является случайной величиной, распределенной по показательному (экспоненциальному) закону с параметром λ.

Замечание. Плотность показательного распределения определяется по формуле:

f(t)=0, при -∞<t<0, и f(t)=λ*e-λ*t, при 0≤t<+∞.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.4. Понятие Марковского подхода

Марковский процесс — случайный процесс, эволюция которого после любого заданного значения временного параметра   не зависит от эволюции, предшествовавшей, при условии, что значение процесса в этот момент фиксировано («будущее» процесса не зависит от «прошлого» при известном «настоящем»; другая трактовка (Вентцель): «будущее» процесса зависит от «прошлого» лишь через «настоящее»).

Процесс Маркова — модель авторегрессии AR(1): xt=ψ1*xt-1+εt

Марковские случайные процессы названы по имени выдающегося русского математика А.А.Маркова (1856-1922), впервые начавшего изучение вероятностной связи случайных величин и создавшего теорию, которую можно назвать "динамикой вероятностей". В дальнейшем основы этой теории явились исходной базой общей теории случайных процессов, а также таких важных прикладных наук, как: теория диффузионных процессов, теория надежности, теория массового обслуживания и т.д. В настоящее время теория марковских процессов и ее приложения широко применяются в самых различных областях таких наук, как механика, физика, химия и др.

Благодаря сравнительной простоте и наглядности математического аппарата, высокой достоверности и точности получаемых решений, особое внимание марковские процессы приобрели у специалистов, занимающихся исследованием операций и теорией принятия оптимальных решений.

Марковские случайные процессы относятся к частным случаям случайных процессов (СП). В свою очередь, случайные процессы основаны на понятии случайной функции (СФ).

Случайной функцией называется функция, значение которой при любом значении аргумента является случайной величиной (СВ). По иному, СФ можно назвать функцию, которая при каждом испытании принимает какой-либо заранее неизвестный вид.

Такими примерами СФ являются: колебания напряжения в электрической цепи, скорость движения автомобиля на участке дороги с ограничением скорости, шероховатость поверхности детали на определенном участке и т.д.

Как правило, считают, что если аргументом СФ является время, то такой процесс называют случайным. Существует и другое, более близкое к теории принятия решений, определение СП. При этом под случайным процессом понимают процесс случайного изменения состояний какой-либо физической или технической системы по времени или какому-либо другому аргументу.

Нетрудно заметить, что если обозначить состояние Si и изобразить зависимость Si(t), то такая зависимость и будет случайной функцией.

СП классифицируются по видам состояний Si и аргумента t. При этом СП могут быть с дискретными или непрерывными состояниями или временем. Например, любой выборочный контроль продукции будет относиться к СП с дискретными состояниями (S1- годная, S2 - негодная продукция) и дискретным временем (t1 , t2 - времена проверки). С другой стороны, случай отказа любой и машины можно отнести к СП с дискретными состояниями, но непрерывным временем. Проверки термометра через определенное время будут относиться к СП с непрерывным состоянием и дискретным временем. В свою очередь, например, любая осциллограмма будет записью СП с непрерывными состояниями и временем.

Кроме указанных выше примеров классификации СП, существует еще одно важное свойство. Это свойство описывает вероятностную связь между состояниями СП. Так, например, если в СП вероятность перехода системы в каждое последующее состояние зависит только от предыдущего состояния, то такой процесс называется процессом без последействия

Зависимость Pi / i + 1 = f(Si) называют переходной вероятностью, часто говорят, что именно процесс  без последействий обладает марковским свойством, однако, строго говоря, здесь есть одна неточность. Дело в том, что можно представить себе СП, в котором вероятностная связь существует не только с предшествующими, но и более ранними - Si-1, Si+2 ... состояниями, т.е.

Pi/i+1 = f (Si, Si-1, Si-2)

Такие процессы также рассматривались А.А.Марковым, который предложил называть их в отличие от первого случая (простой цепи) - сложной цепью. В настоящее время теория таких цепей разработана слабо и обычно применяют так называемый процесс укрупнения состояний путем математических преобразований, объединяя предшествующие состояния в одно.

Это обстоятельство должно обязательно учитываться при составлении математических моделей принятия решений.

Итак, марковский процесс удобно задавать графом переходов из состояния в состояние.

Мы рассмотрим два варианта описания марковских процессов — с дискретным и непрерывным временем.

В первом случае переход из одного состояния в другое происходит в заранее известные моменты времени — такты (1, 2, 3, 4, …). Переход осуществляется на каждом такте, то есть исследователя интересует только последовательность состояний, которую проходит случайный процесс в своем развитии, и не интересует, когда конкретно происходил каждый из переходов.

Во втором случае исследователя интересует и цепочка меняющих друг друга состояний, и моменты времени, в которые происходили такие переходы.

 

 

 

1.5. Показатели эффективности СМО

СМО описываются некоторыми параметрами, которые характеризуют эффективность работы системы.

n – число каналов в  СМО;

λ – интенсивность входящего потока;

μ – интенсивность потока обслуживания;

ρ = – показатель нагрузки системы;

m – максимальное число  мест в очереди, ограничивающее  длину очереди заявок;

pотк – вероятность отказа заявке в принятии ее в систему;

робс – вероятность того, что заявка будет обслужена;

Q= робс – относительная пропускная способность системы;

При этом:

Q=pобс=1-pотк

А – среднее число заявок, обслуживаемых в СМО в единицу времени (абсолютная пропускная способность СМО)

A=λ*Q

LСМО – среднее число заявок, находящихся в СМО.

Lоч - среднее число заявок в очереди. Определяется как математическое ожидание случайной величины m – числа заявок, состоящих в очереди

Lоч=M(m)=

Здесь pn+I - вероятность нахождения в очереди i заявок;

  – среднее время пребывания заявки с СМО

  – среднее время пребывания заявки в очереди

Для открытых СМО справедливы соотношения:

= = +

=

Эти соотношения называются формулами Литтла и применяются только для стационарных потоков заявок и обслуживания.

При всем многообразии СМО они имеют общие черты, которые позволяют унифицировать их моделирование для нахождения наиболее эффективных вариантов организации таких систем.

Для моделирования СМО необходимо иметь следующие исходные данные:

- основные параметры;

- граф состояний.

Результатами моделирования СМО являются вероятности ее состояний, через которые выражаются все показатели ее эффективности.

Основные параметры для моделирования СМО включают:

- характеристики входящего  потока заявок на обслуживание;

- характеристики механизма  обслуживания.  

Рассмотрим характеристики потока заявок.

Поток заявок - последовательность заявок, поступающих на обслуживание.

Интенсивность потока заявок λ - среднее число заявок, поступающих в СМО в единицу времени.

Механизм обслуживания характеризуется:

- числом n каналов обслуживания;

- производительностью канала, или интенсивностью обслуживания  μ;