Системы массового обслуживания с неограниченной очередью

- средним числом заявок, обслуживаемых одним каналом  в единицу времени;

- дисциплиной очереди  (например,  объемом очереди m,  порядком отбора из очереди в механизм обслуживания и т.п.).

Граф состояний описывает функционирование системы обслуживания как переходы из одного состояния в другое под действием потока заявок и их обслуживания.

Для построения графа состояний СМО необходимо:

- составить перечень всех  возможных состояний СМО;

- представить перечисленные  состояния графически и отобразить  возможные переходы между ними  стрелками;

- взвесить отображенные  стрелки, т.е. приписать им числовые  значения интенсивностей переходов,  определяемые интенсивностью потока заявок и интенсивностью их обслуживания.

Системы массового обслуживания с ожиданием распространены наиболее широко. Их можно разбить на две большие группы: разомкнутые и замкнутые. Эти системы определяют так же, как системы с ограниченным и неограниченным входящим потоком. К замкнутым относятся системы, в которых поступающий поток требований ограничен. Например, мастер, задачей которого является наладка станков в цехе, должен периодически их обслуживать. Каждый налаженный станок становится в будущем потенциальным источником требований на отладку. В подобных системах общее число циркулирующих требований конечно и чаще всего постоянно. Если питающий источник обладает бесконечным числом требований, то системы называются разомкнутыми. Примерами подобных систем могут служить магазины, кассы вокзалов, портов и др. Для этих систем поступающий поток требований можно считать неограниченным. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.6. Системы массового обслуживания с неограниченной очередью. Одноканальные СМО с неограниченной очередью

Системы массового обслуживания также классифицируются, как одноканальные СМО и многоканальные СМО с неограниченной очередью.

Рассмотрим одноканальные СМО с неограниченной очередью.

В коммерческой деятельности в качестве одноканальной СМО с неограниченным ожиданием является, например, коммерческий директор, поскольку он, как правило, вынужден выполнять обслуживание заявок различной природы: документы, переговоры по телефону, встречи и беседы с подчиненными, представителями налоговой инспекции, милиции, товароведами, маркетологами, поставщиками продукции и решать задачи в товарно-финансовой сфере с высокой степенью финансовой ответственности, что связано с обязательным выполнением запросов, которые ожидают иногда нетерпеливо выполнения своих требований, а ошибки неправильного обслуживания, как правило, экономически весьма ощутимы.

В то же время товары, завезенные для продажи (обслуживания), находясь на складе, образуют очередь на обслуживание (продажу).

Длину очереди составляет количество товаров, предназначенных для продажи. В этой ситуации продавцы выступают в роли каналов, обслуживающих товары. Если количество товаров, предназначенных для продажи, велико, то в этом случае мы имеем дело с типичным случаем СМО с ожиданием.

Рассмотрим простейшую одноканальную СМО с ожиданием обслуживания, на которую поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью λ и интенсивностью обслуживания µ.

Причем заявка, поступившая в момент, когда канал занят обслуживанием, ставится в очередь и ожидает обслуживания.

Размеченный граф состояний такой системы приведен на рис. 3.5

Количество возможных состояний ее бесконечно:

- канал свободен, очереди нет, ;

- канал занят обслуживанием, очереди  нет, ;

- канал занят, одна заявка в  очереди, ;

- канал занят  , заявка в очереди.

Модели оценки вероятности состояний СМО с неограниченной очередью можно получить из формул, выделенных для СМО с неограниченной очередью, путем перехода к пределу при m→∞:

Рис. 1. Граф состояний одноканальной СМО с неограниченной очередью.

 

 

Следует заметить, что для СМО с ограниченной длиной очереди в формуле

 

 

имеет место геометрическая прогрессия с первым членом 1 и знаменателем . Такая последовательность представляет собой сумму бесконечного числа членов при . Эта сумма сходится, если прогрессия, бесконечно убывающая при , что определяет установившийся режим работы СМО, с при очередь при с течением времени может расти до бесконечности.

Поскольку в рассматриваемой СМО ограничение на длину очереди отсутствует, то любая заявка может быть обслужена, поэтому , следовательно, относительная пропускная способность , соответственно , а абсолютная пропускная способность:

.

Вероятность пребывания в очереди k заявок равна:

;

Среднее число заявок в очереди –

;

Среднее число заявок в системе –

;

Среднее время пребывания заявки в системе –

;

Среднее время пребывания заявки в системе –

.

Если в одноканальной СМО с ожиданием интенсивность поступления заявок больше интенсивности обслуживания , то очередь будет постоянно увеличиваться. В связи с этим наибольший интерес представляет анализ устойчивых СМО, работающих в стационарном режиме при .

 

 

 

 

 

 

1.7. Многоканальные СМО с неограниченной очередью

Рассмотрим многоканальную СМО с ожиданием и неограниченной длиной очереди, на которую поступает поток заявок с интенсивностью и которая имеет интенсивность обслуживания каждого канала . Он имеет бесконечное число состояний:

S - все каналы свободны, k=0;

S - занят один канал, остальные свободны, k=1;

S - заняты два канала, остальные свободны, k=2;

S - заняты все n каналов, k=n, очереди нет;

S - заняты все n каналов, одна заявка в очереди, k=n+1,

S - заняты все n каналов, r заявок в очереди, k=n+r,

Вероятности состояний получим из формул для многоканальной СМО с ограниченной очередью при переходе к пределу при m . Следует заметить, что сумма геометрической прогрессии в выражении для p расходится при уровне загрузки p/n>1, очередь будет бесконечно возрастать, а при p/n<1 ряд сходится, что определяет установившийся стационарный режим работы СМО.

С неограниченной очередью, для которого и определим выражения для предельных вероятностей состояний:

  …;

 

Поскольку отказа в обслуживании в таких системах не может быть, то характеристики пропускной способности равны:

 

среднее число заявок в очереди –

среднее время ожидания в очереди –

среднее число заявок в СМО –

 

Вероятность того, что СМО находится в состоянии , когда нет заявок и не занято ни одного канала, определяется выражением:

  

Эта вероятность определяет среднюю долю времени простоя канала обслуживания. Вероятность занятости обслуживанием k заявок –

  

На этом основании можно определить вероятность, или долю времени занятости всех каналов обслуживанием:

    

Если же все каналы уже заняты обслуживанием, то вероятность состояния определяется выражением:

 

Вероятность оказаться в очереди равна вероятности застать все каналы уже занятыми обслуживанием:

 

Среднее число заявок, находящихся в очереди и ожидающих обслуживания, равно:

 

Среднее время ожидания заявки в очереди по формуле Литтла:

 и в системе :

 

среднее число занятых каналов обслуживанием:

;

среднее число свободных каналов:

;

коэффициент занятости каналов обслуживанием:

Важно заметить, что параметр характеризует степень согласования входного потока, например покупателей в магазине с интенсивностью потока обслуживания. Процесс обслуживания будет стабилен при Если же в системе будут возрастать средняя длина очереди и среднее время ожидания покупателями начала обслуживания и, следовательно, СМО будет работать неустойчиво.

В качестве показателей эффективности СМО с ожиданием, кроме уже известных показателей — абсолютной А и относительной Q пропускной способности, вероятности отказа Pотк., среднего числа занятых каналов  (для многоканальной системы) будем рассматривать также следующие: Lсист. - среднее число заявок системе; Тсист. — среднее время пребывания заявки в системе; Lоч. — среднее число заявок в очереди (длина очереди); Точ. — среднее время пребывания заявки в очереди; Рзан.. — вероятность того, что канал занят (степень загрузки канала).  

 

III. Практическая часть

Задача

Построение математической модели систем массового обслуживания с неограниченной очередью

Магазин с одним продавцом. Предполагается, что простейший поток покупателей поступает с интенсивностью λ=20 человек/ч. Время обслуживания заявки – случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ = 25 человек/ч. Определим:

1) среднее время пребывания покупателя в очереди;

2) среднюю длину очереди;

3) среднее число покупателей в магазине;

4) среднее время пребывания покупателя в магазине;

5) вероятность того, что в магазине не окажется покупателей;

6) вероятность того, что в магазине окажется ровно 4 покупателя.

Решение.

В нашей задаче магазин с одним продавцом можно рассматривать как одноканальную систему массового обслуживания с неограниченным ожиданием (то есть неограниченной очередью). Таким образом, параметры системы: число каналов n=1, число мест в очереди m→∞, где:

n – число каналов в СМО,

m – максимальное число мест в очереди.

По условию задачи нам известны: интенсивность входящего потока λ = 20 человек/час,  время обслуживания заявки – случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметрами μ = 25 человек/час. Значит, по формуле tоб = 1 / μ, найдем среднее время обработки заявки:

tоб = 1 / 25 = 0,04 (ч) или 2,4 (мин), где

tоб – среднее время обработки заявки,

μ – интенсивность потока обслуживания.

Какова загрузка системы? Найдем p (показатель нагрузки системы) по следующей формуле:

p = λ / μ,

так как μ = 1 / tоб,

то p = λ * tоб =>

p = 20 * 0,04 = 0,8.

Так как p < 1, то очередь покупателей в магазине не может бесконечно возрастать, значит, предельные вероятности существуют.

Найдем вероятность простаивания всей системы – p0, то есть вероятность того, что все каналы свободны. p0 находится по следующей формуле:

p0 = 1 – p = 1 – 0,8 = 0,2,

то есть 0,2 - вероятность того, что в магазине не окажется покупателей, а это значит, что (0,2 * 100 % = 20 %) 20 % времени продавец не занимается продажей.

Следовательно, pзан (вероятность того, что продавец занят продажей) равна 1 – p0, то есть равно 0,8 (80 % времени продавец занят работой).

По формуле Lоч = p2 / 1 – p, найдем среднюю длину очереди:

Lоч=0,82 / 1 - 0,8 = 0,64 / 0,2 = 3,2, где:

Lоч – средняя длина очереди,

p – показатель нагрузки системы.

Далее найдем среднее число покупателей в СМО, то есть в магазине по формуле:

LСМО = p / 1 – p = 0,8 / 1 - 0,8 = 0,8 / 0,2 = 4, где:

LСМО – среднее число покупателей, находящихся в магазине,

p – показатель нагрузки системы.

Получив среднее число покупателей в системе, то есть в магазине, мы можем найти среднее время пребывания одного покупателя в очереди по следующей формуле:

tоч = LСМО / λ = 4 / 20 = 0,2 (ч) или 12 (мин), где:

tоч - среднее время пребывания одного покупателя в очереди,

LСМО – среднее число покупателей, находящихся в магазине.

Отсюда мы сможем найти среднее время  пребывания покупателя в магазине по следующей формуле:

TСМО = tоч + tоб = 0,2 + 0,04 = 0,24 (ч) или 12 + 2,4 = 14,4 (мин), где:

TСМО – среднее время пребывания покупателя в магазине,

tоч - среднее время пребывания одного покупателя в очереди,

tоб – среднее время обработки заявки.

Относительная пропускная способность в данной СМО находится по формуле:

Q = p0, а значит, Q = 0,2 заявок /час.

Следовательно, абсолютная пропускная способность вычисляется по формуле:

A = Q * λ; A = 0,2 * 20 = 4 заявки / час.

Найдем вероятность того, что в магазине окажется ровно 4 покупателя:

p4 = p4 * (1 – p); p4 = 0,84 * (1 – 0,8) = 0,4096 * 0,2 = 0,082.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

IV. Заключение

 

 

 

 

 

 

V. Список обязательной литературы

1. Г.П. Фомин. Математические методы и модели в коммерческой деятельности. Учебник. – М.: «Финансы и статистика», 2001. – 544 с.
2. С.И. Шелобаев. Экономико-математические методы и модели. Юнити. Москва, 2005.
3. О.О. Замков, А.В. Толстопятенко, Ю.Н. Черемных. Математические методы в экономике. Учебник. Москва. Издательство «ДИС», 1997.
4. Исследование операций в экономике. Под редакцией профессора Н.Ш. Кремера. Москва. 2004.
5. Экономико-математические методы и прикладные модели. Под редакцией В.В. Федосеева. ЮНИТИ. Москва. 1999.
6. С.А. Минюк, Е.А. Ровба, К.К. Кузьмич. Математические методы и модели в экономике. Учебное пособие. Минск. Тетра Системс. 2002.
7. Л.С. Костевич. Математическое программирование. Информационные технологии оптимальных решений. Минск. ООО «Новое знание» 2003.
8. Г.И. Просветов. Математические методы и модели в экономике: задачи и решения. Учебно-методическое пособие. Москва. Альфа-Пресс. 2008.
9. Л.Э. Хазанова. Математические методы в экономике. Москва. Волтерс Клувер. 2005.
10. М.К. Беданоков, Г.В. Шамбалева. Математические методы и модели в экономике и управлении (типовые расчеты). Учебное пособие. Майкоп. 2007.
11. Н.А. Орехов, А.Г. Лёвин, Е.А. Горбунов. Математические методы и модели в экономике. ЮНИТИ. Москва. 2004.
12. Экономико-математические методы и модели. Под редакцией профессора А.В. Кузнецова. Минск. БГЭУ. 1999.
13. С.В. Жак. Математические модели менеджмента и маркетинга – Ростов-на-Дону: ЛаПо, 1997.
14. Ричард Томас. Количественные методы анализа хозяйственной деятельности. Издательство «Дело и Сервис». Москва. 1999.