Задачи математической статистики

Итак, статистической оценкой  неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин.

 

 

8 Несмещенные,  эффективные и состоятельные  оценки

 

Для того чтобы статистические оценки давали «хорошие» приближения оцениваемых  параметров, они должны удовлетворять определенным требованиям. Ниже указаны эти требования.

Пусть - статистическая оценка неизвестного параметра Θ теоретического распределения. Допустим, что по выборке объема п найдена оценка . Повторим опыт, т. е. извлечем из генеральной совокупности другую выборку того же объема и по ее данным найдем оценку . Повторяя опыт многократно, получим числа , , ..., , которые, вообще говоря, различны между собой. Таким образом, оценку можно рассматривать как случайную величину, а числа , , ..., - как ее возможные значения.

Представим себе, что оценка дает приближенное значение Θ с избытком; тогда каждое найденное по данным выборок число (i=1,2, ..., k) больше истинного значения Θ. Ясно, что в этом случае и математическое ожидание (среднее значение) случайной величины больше, чем Θ, т. е. М( )>Θ. Очевидно, что если дает оценку с недостатком, то М( )<Θ.

Таким образом, использование  статистической оценки, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру, привело бы к систематическим (одного знака) ошибкам. По этой причине естественно потребовать, чтобы математическое ожидание оценки было равно оцениваемому параметру. Хотя соблюдение этого требования не устранит ошибок (одни значения больше, а другие меньше Θ), однако ошибки разных знаков будут встречаться одинаково часто. Иными словами, соблюдение требований М( )=Θ гарантирует от получения систематических ошибок.

Несмещенной называют статистическую оценку , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру Θ при любом объеме выборки, т. е. М( )=Θ.

Смещенной называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

К статистической оценке предъявляется требование эффективности.

Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме выборки п) имеет наименьшую возможную дисперсию.

При рассмотрении выборок  большого объема (п великo) к статистическим оценкам предъявляется требование состоятельности.

Состоятельной называют статистическую оценку, которая при п→∞ стремится по вероятности к оцениваемому параметру. Например, если дисперсия несмещенной оценки при п→∞ стремится к нулю, то такая оценка оказывается и состоятельной.

 

 

9 Точечные оценки 

 

Точечной называют оценку, которая определяется одним числом.

 

9.1 Выборочная средняя

Пусть изучается дискретная выборочная совокупность относительно количественного признака X.

Выборочной средней х_в называют среднее арифметическое значений признака выборочной совокупности.

Если все значения x₁, х₂, ..., х_n признака выборочной совокупности объема n различны, то .

Если же значения признака x₁, х₂, ..., х_k имеют соответственно частоты n₁, n₂, ..., n_k, причем n₁+n₂+ ...+n_k=n, то , т.е. выборочная средняя есть средняя взвешенная значений признака с весами, равными соответствующим частотам.

Аналогично можно определить генеральную среднюю .

 

9.2 Групповая и общие средние

Допустим, что все значения количественного  признака X совокупности, безразлично генеральной или выборочной, разбиты на несколько групп. Рассматривая каждую группу как самостоятельную совокупность, можно найти ее среднюю арифметическую.

Групповой средней называют среднее арифметическое значений признака, принадлежащих группе.

Теперь целесообразно  ввести специальный термин для средней  всей совокупности.

Общей средней называют среднее арифметическое значений   признака,   принадлежащих  всей совокупности.

Зная групповые средние  и объемы групп, можно найти общую  среднюю: общая средняя равна средней арифметической групповых средних,  взвешенной по объемам групп.

Пример 9.1.

Найти общую среднюю  совокупности, состоящей из следующих двух групп:

группа	первая		вторая
Значение признака	1	6	1	5
Частота	10	15	20	30
Объем	10+15=25		20+30=50

Решение.

Найдем групповые средние:

= (10∙1+15∙6)/25=4;

= (20∙1+30∙5)/50=3,4.

Найдем общую среднюю  по групповым средним:

=(25∙4+50∙3,4)/(25+50)=3,6.

Замечание. Для упрощения  расчета общей средней совокупности большого объема целесообразно разбить ее на несколько групп, найти групповые средние и по ним общую среднюю.

 

9.3 Дисперсия

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние наблюдаемых значений количественного признака вокруг своего среднего значения , вводят сводную характеристику - дисперсию.

Прежде чем дать определение дисперсии дадим определение отклонения от общей средней.

Рассмотрим совокупность, безразлично генеральную или выборочную, значений количественного признака Х объема n.

Отклонением называют разность между значением признака и общей средней.

Теорема 9.1.

Сумма произведений отклонений на соответствующие частоты  равна нулю: .

Выборочной  дисперсией D_B называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения х_в.

Если все значения x₁, х₂, .. ., х_п признака выборки объема п различны, то .

Если же значения признака x₁, х₂, ..., х_k имеют соответственно частоты n₁, n₂, ..., n_k, причем n₁+n₂+ ...+n_k=n, то , т.е. выборочная  дисперсия есть средняя взвешенная квадратов отклонений с весами, равными соответствующим частотам.

Аналогично можно определить генеральную дисперсию  .

Пример 9.2.

Выборочная совокупность задана таблицей распределения

x_i        1        2       3     4

n_i     20      15      10     5

Найти выборочную дисперсию.

Решение.

Найдем выборочную среднюю: _в= =2.

Найдем выборочную дисперсию: = =1.

Кроме дисперсии для  характеристики рассеяния значений признака выборочной совокупности вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристикой - средним квадратическим отклонением.

Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартом) называют квадратный корень из выборочной дисперсии: .

Вычисление дисперсии, безразлично - выборочной или генеральной, можно упростить, используя следующую теорему.

Теорема 9.2.

Дисперсия равна среднему квадратов значений признака минус квадрат общей средней: .

Пример 9.3.

Найти дисперсию  по данному распределению

x_i        1        2       3     4

n_i     20      15      10     5

Решение.

Выборочная  средняя  =2 из примера 9.2.

Найдем среднюю квадратов значений признака: = =5.

Искомая дисперсия  =5-2²=1.

 

9.4 Групповая, внутригрупповая, межгрупповая и общая дисперсии

Допустим, что все значения количественного признака X совокупности, безразлично - генеральной или выборочной, разбиты на k групп. Рассматривая каждую группу как самостоятельную совокупность, можно найти групповую среднюю и дисперсию значений при знака, принадлежащих группе, относительно   групповой средней.

Групповой дисперсией называют дисперсию значений признака, принадлежащих группе, относительно групповой средней , где где n_i - частота значения х_i; j -номер группы; — групповая средняя группы j; N_j= - объем группы j.

Пример 9.4.

Найти групповые дисперсии  совокупности, состоящее из следующих  двух групп:

1 группа:

x_i     1     4       5    

n_i     1      7      2

2 группа:

x_i     3     8     

n_i     2    3

Решение.

Найдем групповые средние:

= =4;

= =6.

Найдем искомые групповые  дисперсии:

= =0,6;

= =6.

Зная дисперсию каждой группы, можно  найти их среднюю арифметическую.

Внутригрупповой дисперсией называют среднюю арифметическую  дисперсий,   взвешенную   по  объемам   групп: = , где N_j - объем   группы j;   n= - объем всей совокупности.

Пример 9.5.

Найти   внутригрупповую  дисперсию по данным примера 9.4.

Решение.

Искомая внутригрупповая  дисперсия равна

= = .

Зная групповые средние  и общую среднюю, можно найти  дисперсию групповых средних  относительно общей средней.

Межгрупповой   дисперсией  называют дисперсию групповых средних относительно общей средней:

где - групповая средняя группы j; N_j - объем группы j; - общая средняя; n= - объем всей совокупности.

Пример 9.6.

Найти межгрупповую дисперсию по данным примера 9.4.

Решение.

Найдем общую среднюю: = = .

Используя вычисленные выше величины ₁=4, ₂=6, найдем искомую межгрупповую дисперсию:

= = .

Теперь целесообразно  ввести специальный термин для дисперсии  всей совокупности.

Общей дисперсией называют дисперсию значений признака всей совокупности относительно общей средней: , где п_i - частота значения x_i, - общая средняя; п - объем всей совокупности.

Пример 9.7.

Найти общую дисперсию по данным примера 9.4.

Решение.

Найдем искомую общую  дисперсию, учитывая, что общая средняя  равна  :

= = .

Теорема 9.3.

Если совокупность состоит  из нескольких групп, то общая дисперсия равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий: = + .

Пример 9.8.

Найти общую дисперсию по данным примера 9.4 используя теорему.

= .

 

 

 

9.5 Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной

Пусть из генеральной совокупности в результате n независимых наблюдений над количественным признаком Х извлечена повторная выборка объема n. Требуется по данным выборки оценить (приближенно найти) неизвестную генеральную дисперсию D_г. Если в качестве оценки генеральной дисперсии принять выборочную дисперсию, то эта оценка будет приводить к систематическим ошибкам, давая заниженное значение генеральной дисперсии. Объясняется это тем, что, как можно доказать, выборочная дисперсия является смещенной оценкой D_г, другими словами, математическое ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой генеральной дисперсии, а равно .

Легко «исправить» выборочную дисперсию так, чтобы ее математическое ожидание было равно генеральной  дисперсии. Достаточно для этого  умножить D_в на дробь . Сделав это, получим исправленную дисперсию, которую обычно обозначают через :

= = = .

Исправленная дисперсия является, конечно, несмещенной оценкой генеральной дисперсии. Действительно,

.

Итак, в качестве оценки генеральной дисперсии принимают исправленную дисперсию: = .

Для оценки же среднего квадратического отклонения генеральной совокупности используют «исправленное» среднее квадратическое отклонение, которое равно квадратному корню из исправленной дисперсии: S= .

Подчеркнем, что S не является несмещенной оценкой.

Замечание:

Сравнивая формулы:  и = , видим, что они отличаются лишь знаменателями. Очевидно, при достаточно больших значениях n объема выборки выборочная и исправленная дисперсии различаются мало. На практике пользуются исправленной дисперсией, если n<30.