Задачи математической статистики

Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, по которым и находят критическую точку, удовлетворяющую этому требованию.

Поскольку вероятность события К>k_кр мала (α - малая вероятность), такое событие при справедливости нулевой гипотезы, в силу принципа практической невозможности маловероятных событий, в единичном испытании не должно наступить. Если все же оно произошло, т. е. наблюдаемое значение критерия оказалось больше k_кр, то это можно объяснить тем, что нулевая гипотеза ложна и, следовательно, должна быть отвергнута. Т.о., требование Р(К>k_кр)=α определяет такие значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается, а они и составляют правостороннюю критическую область.

Отыскание левосторонней  и двусторонней критических областей сводится (так же, как и для правосторонней) к нахождению соответствующих критических точек.

Левосторонняя критическая  область определяется неравенством К<k_кр, (k_кр<0). Критическую точку находят исходя из требования, чтобы при справедливости нулевой гипотезы вероятность того, что критерий примет значение, меньшее k_кр, была равна принятому уровню значимости: P(К<k_кр)=α.

Двусторонняя критическая  область определяется неравенствами К<k₁, К>k₂. Критические точки находят исходя из требования, чтобы при справедливости нулевой гипотезы сумма вероятностей того, что критерий примет значение, меньшее k₁ или большее k₂ была равна принятому уровню значимости: Р(К<k₁)+ Р(К>k₂)=α.

Ясно, что критические точки могут быть выбраны бесчисленным множеством способов. Если же распределение критерия симметрично относительно нуля и имеются основания выбрать симметричные относительно нуля  точки - k_кр и k_кр (k_кр >0), то Р(К<-k_кр)=Р(К>k_кр).

Учитывая Р(К<k₁)+ Р(К>k₂)=α,  получим  P(K>k_кр)=α/2.

Это соотношение и  служит для отыскания критических  точек двусторонней критической  области.

Мощностью критерия называют вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что справедлива конкурирующая гипотеза. Другими словами, мощность критерия есть вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута, если верна конкурирующая гипотеза.

 

12.2 Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей

Пусть генеральные совокупности X и Y распределены нормально. По независимым выборкам с объемами, соответственно равными n₁ и п₂, извлеченным из этих совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии и . Требуется по исправленным дисперсиям при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральные дисперсии рассматриваемых совокупностей равны между собой: H₀:D(X)=D(Y).

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы о равенстве генеральных дисперсий примем отношение большей исправленной дисперсии к меньшей, т.е. случайную величину F= / .

Критическая область строится в  зависимости от вида конкурирующей  гипотезы.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу H₀:D(Х)=D(Y) о равенстве генеральных дисперсии нормальных совокупностей при конкурирующей гипотезе Н₁:D(X)>D(Y), надо вычислить отношение большей исправленной дисперсии к меньшей, т. е. F_набл= / и по таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора, по заданному уровню значимости α и числам степеней свободы k₁ и k₂ (k₁ - число степеней свободы большей исправленной дисперсии) найти критическую точку правосторонней критической области F_кр(α; k_l,k₂).

Если F_набл<F_кр - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если F_набл>F_кр - нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. Для того чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий нормально распределенных совокупностей при конкурирующей гипотезе H₁:D(Х)≠D(Y) надо вычислить отношение большей исправленной дисперсии к меньшей, т. е. F_набл= / и по таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора по уровню значимости α/2 (вдвое меньшем заданного) и числам степеней свободы k₁ и k₂ (k₁ – число степеней свободы большей дисперсии)   найти   критическую   точку  двусторонней критической области F_кр(α/2; k_l,k₂).

Если F_набл<F_кр - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если F_набл>F_кр - нулевую гипотезу отвергают.

Пример 12.1.

По двум независимым  выборкам объемов n₁=12 и  n₂=15, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии =11,41 и =6,52. При уровне значимости 0,1 проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе Н₁:D(X)≠D(Y).

Решение:

Проверим нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий H₀:D(Х)=D(Y). Найдем наблюдаемое значение критерия: F_набл=11,41/6,52=1,75. Конкурирующая гипотеза имеет вид Н₁:D(X)≠D(Y), значит критическая область – двусторонняя. Находим критическую точку

F_кр(0,1/2=0,05; k_l =12-1=11; k₂=15-1=14)=2,56.

Так как F_набл<F_кр - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий.

 

12.3 Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности

Пусть генеральная совокупность распределена нормально, причем генеральная дисперсия хотя и известна, но имеются основания предполагать, что она равна гипотетическому (предполагаемому) значению . На практике устанавливается на основании предшествующего опыта или теоретически. Требуется установить, значимо или незначимо различаются выборочная и гипотетическая генеральная дисперсии. Т. е. необходимо проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральная дисперсия рассматриваемой совокупности равна гипотетическому значению .

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу H₀: о равенстве неизвестной генеральной дисперсии нормальной совокупности гипотетическому значению при конкурирующей гипотезе Н₁: , надо вычислить наблюдаемое значение критерия и по таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости α и числам степеней свободы k=n-1 найти критическую точку правосторонней критической области .

Если  - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если - нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу H₀: о равенстве неизвестной генеральной дисперсии нормальной совокупности гипотетическому значению при конкурирующей гипотезе Н₁: , надо вычислить наблюдаемое значение критерия , и по таблице критических точек распределения найти левую критическую точку и правую критическую точку .

Если  - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если или - нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе Н₁: , находят критическую точку .

Если  - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если - нулевую гипотезу отвергают.

Пример 12.2.

Из нормальной генеральной совокупности извлечена  выборка объема n=13 и по ней найдена исправленная выборочная =14,6. Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу H₀: , приняв в качестве конкурирующей гипотезе Н₁: .

Решение:

Проверим нулевую гипотезу H₀: .

Найдем наблюдаемое  значение критерия:

=((13-1)·14,6)/12=14,6.

Конкурирующая гипотеза имеет вид Н₁: , поэтому критическая область правосторонняя. Находим критическую точку =26,2.

Так как  - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, различие между исправленной дисперсией и гипотетической генеральной дисперсией – незначимое.

 

12.4 Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны

Пусть генеральные совокупности X и Y распределены нормально, причем их дисперсии известны. По независимым выборкам с объемами, соответственно равными n и m, извлеченным из этих совокупностей, найдены исправленные выборочные средние и . Требуется по выборочным средним при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральные средние рассматриваемых совокупностей равны между собой: H₀:М(X)=М(Y).

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу H₀:М(Х)=М(Y) о равенстве математических ожиданий двух  нормальных совокупностей с известными дисперсиями при конкурирующей гипотезе Н₁:М(X)≠М(Y), надо вычислить наблюдаемое значение критерия z_набл= , где , – выборочные средние, D(x), D(y) – дисперсии, n, m – объемы выборок, по таблице функции Лапласа найти критическую точку двусторонней критической области по равенству:

Ф(z_кр)=(1-α)/2.

Если |Z_набл|<Z_кр – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если |Z_набл|>Z_кр – нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу H₀: М(Х)=М(Y) о равенстве математических ожиданий двух  нормальных совокупностей с известными дисперсиями при конкурирующей гипотезе Н₁: М(X)>М(Y), надо вычислить наблюдаемое значение критерия z_набл= , где , – выборочные средние, D(x), D(y) – дисперсии, n, m – объемы выборок, по таблице функции Лапласа найти критическую точку правосторонней критической области по равенству: Ф(z_кр)=(1-2α)/2.

Если Z_набл<z_кр - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если Z_набл>Z_кр - нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе Н₁: М(Х)<М(Y), надо вычислить z_набл и сначала по таблице функции Лапласа найти «вспомогательную точку» z_кр по равенству Ф(z_кр)=(1-2α)/2, а затем положить =-z_кр.

Если Z_набл>-z_кр - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если

Z_набл <-z_кр - нулевую гипотезу отвергают.

Пример 12.3.

По двум независимым  выборкам, объемы которых соответственно равны n=50 и m=50, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние =142 и =150. Генеральные дисперсии известны: D(x)=28,2, D(y)=22,8. При уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу H₀: М(Х)=М(Y) при конкурирующей гипотезе Н₁: М(X)<М(Y).

Решение:

Вычислим наблюдаемое  значение критерия: Z_набл= =-8.

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид М(X)<М(Y), поэтому критическая область – левосторонняя.

Найдем «вспомогательную точку» z_кр: Ф(z_кр)=(1-2α)/2=(1-2·0,01)/2=0,49. По таблице функции Лапласа находим z_кр=2,33. Следовательно, =-z_кр=-2,33.

Так как Z_набл<-z_кр - нулевую гипотезу отвергаем. Другими словами, выборочная средняя значимо меньше выборочной средней .

 

12.5. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы

Пусть генеральные совокупности X и Y распределены нормально, причем их дисперсии неизвестны. В предположении, что генеральные дисперсии одинаковы, требуется установить, значимо или незначимо различаются выборочные средние и , найденные по независимым малым выборкам объемов n и m. Прежде чем сравнить средние, следует, пользуясь критерием Фишера-Снедекора предварительно проверить гипотезу о равенстве генеральных дисперсий.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу H₀: М(Х)=М(Y) о равенстве математических ожиданий двух  нормальных совокупностей с неизвестными, но одинаковыми дисперсиями при конкурирующей гипотезе Н₁: М(X)≠М(Y), надо вычислить наблюдаемое значение критерия Т_набл= , где , – выборочные средние, , – исправленные дисперсии, n, m – объемы выборок, по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости α  (помещенному в верхней строке таблицы) и числу степеней свободы k=n+m-2 найти критическую точку t_{двуст. кр.} (α, k) .

Если |Т_набл|<t_кр - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если |T_набл|>t_кр - нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе Н₁: М(X)>М(Y), надо вычислить наблюдаемое значение критерия Т_набл, по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости α  (помещенному в нижней строке таблицы) и числу степеней свободы k=n+m-2 найти критическую точку t_{двуст. кр.} (α, k) .

Если Т_набл<t_кр - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если T_набл>t_кр - нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе Н₁: М(X)<М(Y), надо вычислить наблюдаемое значение критерия Т_набл и сначала надо найти «вспомогательную точку» t_{правост.кр.} (в силу симметрии распределения Стьюдента относительно нуля t_{левост.кр}=-t_{правост.кр}) так, как описано в правиле 2, и полагают t_{левост.кр}=-t_{правост кр}.