Задачи математической статистики

Если Т_набл>-t_{правост.кр} - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если Т_набл<-t_{правост.кр} - нулевую гипотезу отвергают.

Пример 12.4.

По двум независимым  малым выборкам, объемы которых соответственно равны n=5 и m=6, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние =3,3 и =2,48 и исправленные дисперсии =0,25 и =0,108. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу H₀: М(Х)=М(Y) при конкурирующей гипотезе Н₁:М(X)≠М(Y).

Решение:

Так как выборочные дисперсии  различны, проверим предварительно гипотезу о равенстве генеральных дисперсий, пользуясь критерием Фишера-Снедекора.

Найдем наблюдаемое значение критерия: F_набл=0,25/0,108=2,31. Дисперсия значительно больше дисперсии , поэтому в качестве  конкурирующей гипотезы примем гипотезу Н₁:D(X)>D(Y), значит критическая область – правосторонняя. Находим критическую точку

F_кр(0,05; k_l=4; k₂=5)=2,31.

Так как F_набл<F_кр - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий.

Поскольку предположение  о равенстве генеральных дисперсий  выполняется, сравним средние.

Вычислим наблюдаемое значение критерия: Т_набл= =3,27.

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид М(X)≠М(Y), поэтому критическая область – двусторонняя.

Найдем критическую точку t_{двуст. кр.} (0,05; 9)=2,26.

Так как T_набл>t_кр - нулевую гипотезу отвергают. Другими словами, выборочные средние различаются значимо.

 

12.6. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности дисперсия известна

Пусть генеральная совокупность распределена нормально, причем генеральная средняя а хотя и известна, но имеются основания предполагать, что она равна гипотетическому (предполагаемому) значению а₀. Пусть из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема n и по ней найдена выборочная средняя , причем генеральная дисперсия известна. Требуется по выборочной средней устанавливать, значимо или незначимо различаются и а₀. Т. е. необходимо проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральная средняя рассматриваемой совокупности равна гипотетическому значению а₀.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу H₀: а=а₀ о равенстве генеральной средней а нормальной совокупности с известной дисперсией σ² гипотетическому значению а₀ при конкурирующей гипотезе Н₁: а≠а₀, надо вычислить наблюдаемое значение критерия U_набл=( -a₀) /σ и по таблице функции Лапласа найти критическую точку двусторонней критической области по равенству: Ф(u_кр)=(1-α)/2.

Если |U_набл|<u_кр - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если |U_набл|>u_кр - нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе Н₁: а>а₀ критическую точку правосторонней критической области по равенству: Ф(u_кр)=(1-2α)/2.

Если U_набл<u_кр - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если U_набл>u_кр - нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе Н₁: а<а₀ сначала находят критическую точку u_кр по правилу 2, а затем полагают границу левосторонней критической области =-u_кр.

Если U_набл>-u_кр - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если U_набл<-u_кр - нулевую гипотезу отвергают.

Пример 12.5.

Из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением σ=0,36 извлечена выборка объема n=36 и по ней найдена выборочная средняя =21,6. Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу H₀: , приняв в качестве конкурирующей гипотезе Н₁: .

Решение:

Найдем наблюдаемое  значение критерия:

=((21,6-21)· )/0,36=10.

Конкурирующая гипотеза имеет вид Н₁: , поэтому критическая область двусторонняя. Находим критическую точку Ф(u_кр)=(1-0,5)/2=0,475. По таблице функции Лапласа находим u_кр=1,96.

Так как U_набл>u_кр - нулевую гипотезу отвергают. Другими словами, выборочная и гипотетическая генеральная средние различаются значимо.

 

12.7. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности дисперсии неизвестны

Пусть из нормальной генеральной  совокупности извлечена выборка  объема n и по ней найдена выборочная средняя , причем генеральная дисперсия неизвестна (например, в случае малой выборки). Требуется по выборочной средней устанавливать, значимо или незначимо различаются и а₀. Т. е. необходимо проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральная средняя рассматриваемой совокупности равна гипотетическому значению а₀.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу H₀: а=а₀ о равенстве генеральной средней а нормальной совокупности с неизвестной дисперсией гипотетическому значению а₀ при конкурирующей гипотезе Н₁: а≠а₀, надо вычислить наблюдаемое значение критерия Т_набл=( -a₀) /s и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости α  (помещенному в верхней строке таблицы) и числу степеней свободы k=n-1 найти критическую точку t_{двуст. кр.} (α, k).

Если |Т_набл|<t_кр - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если |T_набл|>t_кр – нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе Н₁: а>а₀, по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости α  (помещенному в нижней строке таблицы) и числу степеней свободы k=n-1 находим критическую точку t_{правост. кр.} (α, k) правосторонней критической области.

Если Т_набл<t_кр - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если T_набл>t_кр – нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе Н₁: а<а₀, сначала находят «вспомогательную точку» t_{правост.кр.}( , k) и полагают границу левосторонней критической области t_{левост. кр}=-t_{правост. кр}.

Если Т_набл>-t_{правост. кр} - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если Т_набл<-t_{правост. кр} - нулевую гипотезу отвергают.

Пример 12.6.

По выборке  объема n=20,  извлеченной из нормальной генеральной совокупности, найдены выборочная средняя =16 и исправленное среднее квадратическое отклонение S=4,5. Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу H₀: , при конкурирующей гипотезе Н₁: .

Решение:

Найдем наблюдаемое  значение критерия:

=((16-15)· )/4,5=0,99.

Конкурирующая гипотеза имеет вид Н₁: , поэтому критическая область двусторонняя. Находим критическую точку по таблице критических точек распределения Стьюдента по уровню значимости 0,05, помещенному в верхней строке таблицы t_{двуст. кр.}(0,05; 19)=2,09.

Так как |Т_набл|<t_кр - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, выборочная и гипотетическая генеральная средние различаются незначимо.

 

13 Критерий согласия Пирсона

 

Ранее мы рассматривали  случаи, когда закон распределения  генеральной совокупности известен.

Если закон распределения  неизвестен, но есть основания предполагать, что он имеет определенный вид (назовем  его А), то проверяют нулевую гипотезу: генеральная совокупность распределена по закону А.

Проверка гипотезы о  предполагаемом законе неизвестного распределения  производится так же, как и проверка гипотезы о параметрах распределения, т.е. при помощи специально подобранной случайной величины – критерия согласия.

Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Имеется несколько критериев  согласия: К. Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др. Ограничимся описанием применения критерия Пирсона к проверке гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. С этой целью будем сравнивать эмпирические (наблюдаемые)  и теоретические (вычисленные в предположении нормального распределения) частоты.

 

13.1 Вычисление  теоретических частот нормального  распределения

Один из способов вычисления теоретических частот состоит в  следующем:

1) по данным выборочной  совокупности находят выборочную  среднюю  _в и выборочное среднее квадратическое отклонение известными способами;

2) находят отклонения  от выборочной средней  ;

3) находят точку  ;

4) по таблице находят  значение функции Гаусса в  точке u_i, т.е. ;

5) находят теоретические  частоты:  , где n – объем выборки, h – разность между двумя соседними вариантами.

Пример 13.1.

Вычислить теоретические  частоты нормального распределения:

xi	48	54	60	66	72
ni	14	36	34	12	3

 

Решение:

Найдем:

Выборочную среднюю:

= =(48∙14+54∙36+60∙34+66∙12+72∙3)/100=57,3.

Выборочное среднее квадратическое отклонение s= ;

выборочная дисперсия: D= .

s²=((48-57,3)²∙14+(54-57,3)²∙36+(60-57,3)²∙34+(66-57,3)²∙13+(72-57,3)²∙3)/100=

=34,83

Тогда s = ≈5,9.

Для нахождения теоретических  частот составим расчетную таблицу:

xi	ni
48 54 60 66 72	14 36 34 13 3	-9,3 -3,3 2,7 8,7 14,7	-1,5763 -0,5593 0,4576 1,4746 2,4915	0,1145 0,341 0,3589 0,1354 0,018	12 35 37 14 2
сумма	100				100

= = .

 

13.2 Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности

Обычно эмпирические и теоретические частоты различаются. Случайно ли расхождение частот? Возможно, что расхождение случайно (незначимо) и объясняется либо малым числом наблюдений, либо способом их группировки, либо другими причинами. Возможно, что расхождение неслучайно (значимо) и объясняется тем, что теоретические частоты вычислены исходя из неверной гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности.

Критерий Пирсона отвечает на поставленный выше вопрос. Как и любой другой критерий, он не доказывает справедливость гипотезы, а лишь устанавливает на принятом уровне значимости ее согласие или несогласие с данными наблюдений.

Правило:

Для того, чтобы при  заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу Н₀: генеральная совокупность распределена нормально, надо сначала вычислить теоретические частоты, а затем наблюдаемое значение критерия: и по таблице критических точек , по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы (s – число вариант (частичных интервалов)) найти критическую точку .

Если  < - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если >   - нулевую гипотезу отвергают.

Пример 13.2.

При уровне значимости α=0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по данным примера 13.1.

 

Решение:

Для нахождения наблюдаемого значения критерия составим расчетную  таблицу:

xi	ni
48 54 60 66 72	14 36 34 13 3	12 35 37 14 2	0,3333 0,0286 0,2432 0,0714 0,5
сумма	100	100	1,1765

=1,1765.

По таблице критических  точек распределения  , по уровню значимости  0,05 и числу степеней свободы k=m-3=5-3=2 находим критическую точку (0,05;2)=6.