Опционы

Рисунок 1 Внутренняя стоимость  опционов

Прямая, соединяющая точки Z, E и 200$ для опционов «колл» представляет собой внутреннюю стоимость данного опциона. Аналогично, прямая, соединяющая точки E, Z и 0 является внутренней стоимостью опциона «пут».

Опционы «пут»  и «колл» не могут стоить дешевле  их внутренней стоимости. Так как, если цена опциона будет меньше его  внутренней стоимости, инвесторы смогут быстро получить доход без всякого риска.  Допустим, курс акции на данный момент равен 150$, а опцион «колл» стоит 40$, то есть на 10$ дешевле его внутренней стоимости, то инвесторы одновременно купят опционы, исполнят их и продадут полученные от продавца опциона акции. При этом они потратят на каждый опцион 140$, а в обмен на каждую проданную акцию получат 150$. Таким образом, их чистый выигрыш безо всякого риска составить 10$ с каждого опциона. Именно поэтому, при цене акции 150$ опцион «колл» не будет стоить дешевле 50$.

 

2.3 Биноминальная модель оценки стоимости опционов

Для того чтобы  оценить стоимость опциона «колл» или «пут» можно воспользоваться  биноминальной моделью оценки стоимости  опциона. Рассмотрим эту модель на примере  европейского опциона, то есть такого опциона, который можно исполнить только в день его истечения.

Для опциона  «колл»

Допустим, цена акции определенной фирмы в данный момент (t = 0) равняется 100$, через год (t=1) эта же акция будет стоить либо 125$, либо 80$, то есть цена акции может или подняться на 25% или упасть на 20%.  Кроме того, непрерывно начисляемая ставка за год составит 8%.

Рассмотрим  опцион «колл» на акции этой фирмы  с ценно исполнения равной 100$ и датой истечения через год. Это значит, что через год стоимость опциона «колл» будет равна или 25$ (если акция стоит 125$), или 0$ (если акция стоит 80$).  Данная ситуация показана на рисунке 2 в виде «дерева цены».

 

Рисунок 2 «Дерево» цены

Так как дерево имеет только две «ветви», обозначающие цены на дату истечения, модель называют биноминальной. 

Оценка стоимости 

Для того чтобы  узнать, чему будет равна внутренняя стоимость опциона в начальный  момент времени (t = 0), можно воспользоваться биноминальной моделью оценки стоимости опциона.

Существует  три возможных способа сделать инвестиции: вложить средства в акцию, опцион, или облигацию без риска. Цены и результаты операции с акцией известны. Также известно, что 100$ инвестируются в облигацию без риска, стоимость которой возрастет примерно до 108,33 с учетом непрерывно начисляемого процента, который равен 8% годовых.  Также известен результат опционной операции в конце периода. Требуется узнать цену продажи опциона в данный момент. 

Предположим, что  в будущем существует два возможных  исхода. Курс акции может или расти, или падать. Эти два состояния будем называть «верхнее положение» и «нижнее положение» соответственно. Основные данные представлены в таблице 5. 

 

Таблица 5 Оценка стоимости опционов

Ценная бумага	Выплаты в «верхнем положении»	Выплаты в «нижнем положении»	Текущий курс
Акция	125,00$	80,00$	100$
Облигация	108,33$	108,33$	100$
Опцион «колл»	25,00$	0,00$	Надо найти

2.4 Моделирование портфелей с одинаковыми характеристиками

Характеристики  опциона «колл» на акции компании можно воспроизвести комбинацией акций компании и облигаций без риска.  В итоге, стоимость воспроизведенного портфеля составит действительную стоимость опциона.  Иначе, может возникнуть возможность совершить арбитражную операцию – инвестор сможет купить наиболее дешевый из двух альтернативных портфелей и продать более дорогой из них, получив, таким образом, гарантированный доход.

Сначала нужно  определить состав портфеля, который  должен точно повторить выплаты  по опциону «колл» на акции компании.  Рассмотрим портфель из N_s акций компании и N_b облигаций без риска.  В «верхнем положении» такой портфель принесет выплаты в размере 125$  N_s + 108,33$ N_b, в «нижнем положении» выплаты будут составлять 80$ N_s + 108,33$ N_b.  В «верхнем положении» стоимость опциона равна 25$. Значит N_s и N_b должны иметь такую стоимость, чтобы:

125$ N_s + 108,33$ N_b = 25$ (1)

В «нижнем положении» стоимость опциона равна 0$. Значит, N_s и N_b должны иметь такую стоимость, чтобы: 

80$ N_s + 108,33$ N_b = 0$ (2)

В данных уравнениях имеются два неизвестных, их легко определить. Вычтем второе уравнение из первого:

(125$ - 80$) N_s = 25$ (3)

откуда N_s равно 0,5556. Подставим это значение в первое или во второе уравнение, получим значение N_b = - 0,4103.

Это значит, что  инвестор вправе воспроизвести платежи  по опциону «колл», осуществив продажу облигации за 41,03$ и купив 0,5556 акций компании. Выплаты по опциону представлены в таблице 6.

Таблица 6 Выплаты по опциону «колл»

Состав портфеля	Выплаты в «верхнем положении»	Выплаты в «нижнем  положении»
Инвестиции  в акции	0,5556 x 125,00$ = 69,45	0,5556$x 80,00$ =  44,45
Выплата займа	- 41,03$ x 1,0833= - 4,45	- 41,03$ x 1,0833 = - 44,45
Чистая выплата	25,00$	0,00$

 

Так как воспроизведенный портфель обеспечивает такие же выплаты, что и опцион «колл», то для определения действительной стоимости опциона можно определить стоимость портфеля.  Чтобы сформировать портфель, необходимо затратить 55,56$ на покупку 0,5556 акций фирмы (в расчете 100$ за акцию). От продажи облигации получается 41,03$. Это значит, что требуется только 14,53$ (55,56$ - 41,03$) собственных денег инвестора. Таким образом, 14,53$ и будет являться действительной стоимостью опциона «колл».

Представим  стоимость опциона «колл» в общем  виде:

V₀=N_sxP_s+N_bxP_b,

где V₀ - стоимость опциона; P_s — цена акции; P_b — цена облигации без риска; N_s. и N_b – количество акций и облигаций, позволяющих воспроизвести выплаты по опциону.

Переоценка стоимости опциона

Цена опциона  равна 14,53$, посмотрим, что случится, если опцион «колл» будет продаваться по более высокой или более низкой цене. Предположим, опцион «колл» продается за 20$, то есть он переоценен. В таком случае инвестор выпишет опцион, купив 0,5556 акций и заняв 41,03$.   Полученная сумма в таком случае (при t = 0) составит 5,47$ [20$ - (0,5556 x 100$) + 41,03$], что показывает чистый приток средств для инвестора. Выплаты по опциону «колл» при переоцененной стоимости представлены в таблице 7.

Таблица 7 Выплаты по опциону «колл»

Состав портфеля	Выплата в «верхнем положении»	Выплата в «нижнем положении»
Продажа опциона	- 25,00$	0,00
Инвестиции  в акции	0,5556 x 125$ = 69,45$	0,5556 x 80$ = 44,45$
Возврат займа	-41,03$ x 1,0833 = -44,45$	-$41,03 x 1,0833=-44,45$
Чистые выплаты	0,00$	0,00$

 

Независимо  от окончательной цены акции общая  стоимость будет равна нулю, значит, при осуществлении данной стратегии  риск для инвестора отсутствует.  Это означает, что инвестор будет  получать свободнее средства до тех пор, пока опцион «колл» стоит 20$, так как инвестиционная стратегия не требует от инвестора никаких затрат. Такая ситуация не может считаться равновесной, так как любое лицо может без риска получать свободные деньги подобным образом.

Недооценка стоимости опциона

Представим, что  опцион «колл» продается за 10$, а не за 20$, то есть он недооценен. Инвестор решает купить опцион «колл», получив средства от продажи 0,5556 акций, и инвестировать 41,03$. Чистая денежная сумма в таком случае (при t = 0) составит 4,53$ [-10$ + (0,5556 x 100$) – 41,03$]. Получается, что инвестор получит чистый приток денежных средств. Выплаты по опциону «колл» при недооцененной стоимости приведены в таблице 8.

 

Таблица 8 Выплаты по опциону «колл»

Состав портфеля	Выплата в «верхнем положении»	Выплата в «нижнем  положении»
Инвестиции  в опцион «колл»	25,00$	0,00$
Возврат средств  по продаже акций	-0,5556 x 125$= -69,45$	-0,5556 x 80$ = -44,45$
Безрисковое инвестирование	41,03$ x 1,0833 = 44,45$	41,03$ x 1,0833 =  44,45$
Чистые выплаты	0,00$	0,00$

 

Опять же независимо от итогового курса акции общая  стоимость портфеля будет равна  нулю. Получается, что осуществляя  данную стратегию инвестор избегает всякий риск потерь. Значит, инвестор будет  получать свободные деньги до тех  пор, пока опцион «колл» стоит 10$. Такая ситуация не может быть равновесной.

2.5 Коэффициент хеджирования

Допустим, что  мы займем 41,03$ и купим 0,5556 акций компании и таким образом, воспроизведем опцион «колл» на эти акции. Теперь рассмотрим то влияние, которое окажет на стоимость воспроизведенного портфеля изменение курса акций завтра. Так как в портфель входит 0,5556 акций, то стоимость портфеля изменится на 0,5556$ при изменении курса акций на 1$. Но так как опцион «колл» и портфель должны продаваться по одной цене, то цена опциона «колл» также должна измениться на 0,5556$ при изменении курса акции на 1$. Данная взаимосвязь называется коэффициентом хеджирования опциона. Он равен числу N_s которое было определено в уравнении выше.

Для опциона  «колл» на акции компании коэффициент хеджирования составлял 0,5556, что равно (25$ - 0$)/(125$ - 80$).

 В общем  виде в биноминальной модели:

h = (P_ou-P_od)/(P_so-P_sd)

где P- это цена в конце периода, а индексы  обозначают инструмент (о - опцион, s -акция) и положение (u - «верхнее», d - «нижнее»).

Чтобы воспроизвести  опцион «колл» в условиях биноминальной  модели, необходимо купить h акций. Одновременно необходимо получить под ставку без  риска средства путем «короткой» продажи облигации. Эта сумма  равна:

B=PV(hP_sd - P_od)

где PV- дисконтированная стоимость суммы, указанной в скобках (стоимости облигации в конце периода). В итоге стоимость опциона «колл» равна:

V₀=hP_s-B

где h и В - это  коэффициент хеджирования и текущая  стоимость «короткой» позиции по облигации в портфеле, который воспроизводит выплаты по опциону «колл».

Мы рассмотрели ситуацию, когда курс акции компании может принимать в конце года только одно из двух значений. В действительности курс акции может принять в конце года любое из множества значений. Разделим год на два периода по шесть месяцев. Предположим, что за первый период курс акции компании может подняться до 111,80$ (вырасти на 11,80%) или снизиться до 89,44$ (упасть на 10,56%). За следующие шесть месяцев курс акции может вновь либо возрасти на 11,80%, либо уменьшиться на 10,56%. Таким образом, курс акции будет изменяться в соответствии с одним из направлений «дерева цены» на рис. 2(б). Теперь акция  может в конце года иметь один из следующих курсов: 125$, 100$ или 80$. Соответствующая стоимость опциона для каждого значения курса акции приводится на рисунке 3.

 

 

Рисунок 3 «Дерево» цены

Для опционов «пут»

Можно ли использовать биноминальную модель для оценки стоимости опционов «пут»? Так как формулы охватывают любой набор выплат, то их можно использовать для этой цели. Рассмотрим акции определенной компании в случае годичного периода, при этом цена исполнения опциона «пут» - $100, дата истечения - один год. «Дерево цены» представлено на рисунке.

                      

                 

                    Р₀ = 0

                        

Рисунок 4 «Дерево  цены»

 

Коэффициент хеджирования для опциона «пут» будет равен -0,4444 [(0$-20$) /(125$ - 80$)]. Отрицательная величина означает, что повышение курса акции приведет к уменьшению цены опциона.

B будет равно -51,28$. Это - дисконтированная стоимость величины, которая в конце года составляет -55,55$. Так как это отрицательные величины, то они означают сумму, которую надо заплатить за облигации.

Чтобы воспроизвести  опцион «пут», следует осуществить  «короткую» продажу 0,4444 акций и инвестировать в облигацию 51,28$. Так как «короткая» продажа принесет 44,44$, а за облигацию будет уплачено 51,28$, то чистая стоимость воспроизведения портфеля составит 6,84$ [(51,28$ – (-44,44$))]. Таким образом, это и есть действительная цена опциона «пут».

Таким образом, полученные выше уравнения для опциона  «колл» можно использовать применительно  к опционам «пут».

 

2.6 Модель Блэка - Шоулза

В 1973г. была опубликована формула для оценки опционов, разработанная  Фишером Блэком и Мертоном Шоулзом, эта формула позволила отойти от неточных оценок при определении цены опционов и подвести под него теоретическую базу.