Основные теоремы стереометрии Лобачевского

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ ОМСКОЙ ОБЛАСТИ

ГОУ ВПО «Омский государственный  педагогический университет»

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

 

Основные теоремы  стереометрии Лобачевского

                             

 

                            Выполнила:

                                      студентка 2 курса

                                         заочного отделения

                                                        математического факультета

                                                   Амертасова Гульден

                                  Преподаватель:

                                    Аринбеков Т. И.

 

 

2012 г.

 

Содержание

Введение………………………………………………………………………3

Глава 1.Теоремы планиметрии……….…………………………………....4-19

1.1. Доказательство  теорем планиметрии………………………….……….4-12

1.2.Основные теоремы стереометрии…………………….….……………...13-19

Глава 2.Геометрия Лобачевского………………………….…………………20-26

2.1.Модель геометрии  Евклида на орисфере пространства ......…….…….20-21

2.2.Теоремы синусов  и косинусов сферического треугольника..................22-25

2.3. Связь Евклидовой  и Лобачевской геометрии………………………….25-26

Заключение …………………………………………………………………..27

Список литературы………………………………………….…………….....28

 

 

 

 

 

 

Введение

Открытие неевклидовой геометрии, начало которому положил  Лобачевский, сыграло огромную роль в развитии новых идей и методов в математике.

Актуальность  данной темы обусловлена тем, что  геометрия  Лобачевского многими  нитями связана с  евклидовой геометрией, и её изучение дает возможность шире и разносторонне ориентироваться  в основных фактах геометрии Евклида.  Открытие неевклидовой геометрии дало решающий толчок грандиозному развитию науки, способствовало и до сегодняшнего дня способствует более глубокому пониманию окружающего нас материального мира. Теория геометрии Лобачевского помогает взглянуть по-другому на окружающий нас мир, это интересный, необычный и прогрессивный раздел современной геометрии, она дает материал для размышлений – в ней не все просто, не все ясно с первого взгляда, чтобы ее понять, нужно обладать фантазией и пространственным воображением.

Цель моего исследования – ознакомиться с некоторыми основными  теоремами геометрии Лобачевского. Для этого мне следует решить следующие задачи:

1. изучить литературу по данной  теме;
2. доказать некоторые основные теоремы стереометрии Лобачевского;
3. сформулировать и доказать ряд теорем планиметрии Лобачевского;

    4)кратко доказать  основные формулы тригонометрии  Лобачевского.

 

Глава 1. Теоремы планиметрии

1.1. Доказательство  теорем планиметрии

 

1. Основным пунктом,  откуда начинается разделение геометрии на обычную евклидову и неевклидову, является постулат о параллельных линиях.

В  основе обычной геометрии  лежит предположение, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести в плоскости, определяемой этой точкой и прямой, не более одной прямой, не пересекающей данную прямую. Тот факт, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит, по крайней мере, одна непересекающая прямая, относится к «абсолютной геометрии», т.е. может быть доказан без помощи постулата о параллельных линиях. Так, прямая ВВ'( рис.1), проходящая через точку P под прямым углом к перпендикуляру PQ, опущенному на АА', не пересекает прямой АА'; эта прямая в евклидовой геометрии называется параллельной к АА'.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В противоположность  постулату Евклида, Лобачевский принимает в основу построения теории параллельных линий следующую аксиому:

 Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести в плоскости, определяемой этой точкой и прямой, более одной прямой, не пересекающей данную прямую.

Отсюда непосредственно вытекает существование бесконечного множества прямых, проходящих через одну и ту же точку и не пересекающих данную прямую. В самом деле, пусть прямая СС'  не пересекает АА' (рис.1); тогда все прямые, проходящие внутри двух вертикальных углов <ВРС и <В'РС', также не пересекаются с прямой АА'.

2. Исследуем прежде  всего связь постулатов Евклида  и Лобачевского с вопросом  о сумме угле треугольника. Мы  покажем, что постулат Евклида  равносилен предположению, что  сумма углов треугольника равна  двум прямым, а постулат Лобачевского - что эта сумма меньше двух прямых. Прежде всего исключим предположение, что сумма углов треугольника может быть больше двух прямых.

Теорема 1. Сумма углов треугольника не может быть больше двух прямых.

Доказательство — от противного: предположим, что сумма углов треугольника АВС (рис.2) равна 2d+φ. Пусть <ВАС=α — наименьший угол этого треугольника. Проводим медиану АD противоположной стороны и откладываем отрезок DВ₁, равный этой медиане. Из равенства треугольников АВD и В₁DС выводим, что <DВ₁С=<DАВ, <DСВ₁=<DВА.

Таким образом, в треугольнике АВ₁С сумма трех углов равна также  2d+φ, сумма двух углов с вершинами в конечных точках удвоенной медианы исходного треугольника равна α, а наименьший угол α/2. Из первого выводного треугольника получаем аналогичным построением второй выводной: берем его наименьший угол, проводим медиану противолежащей стороны и т.д. В полученном таким образом втором выводном треугольнике сумма трех углов равна по-прежнему 2d+φ., сумма двух углов с вершинами в конечных точках удвоенной медианы первого выводного треугольника ≤ α/2, а наименьший угол ≤ α/2². Продолжая этот процесс далее, получим ряд выводных треугольников. Теорема доказана.

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 2. Если сумма углов треугольника равна 2d, то имеет место постулат Евклида, если же она меньше 2d, то справедлив постулат Лобачевского.

Имеет место и обратное предложение.

Доказательство. Покажем, что если сумма углов треугольника равна 2d, то через точку P (рис. 3), не лежащую  на прямой АА', можно провести прямую, образующую с прямой ВВ' сколь угодно малый угол и пересекающую АА'.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для этого построим отрезок QQ₁=PQ; тогда <B'PQ₁=d/2. Откладываем отрезок Q₁Q₂=PQ₁; <B'PQ₂=d/2². Затем продолжаем этот процесс: строим отрезки Q₂Q₃=PQ₂, Q₃Q₄=PQ₃, …, Qₓ₋₁Qₓ=PQₓ₋₁. Получаем лучи, образующие с лучом PB' углы d/2³, d/2⁴, … , d/2ⁿ. При увеличении n мы можем получить угол, меньший любого заданного.

Рассмотрим  теперь предположение, что сумма  углов треугольника меньше 2d. Покажем, что имеются прямые, отличные от ВВ', проходящие через точку Р и не пересекающие АА'.

 Соединим  некоторую точку М, лежащую  на АА', с Р (рис.4) и проведем  луч PR так, чтобы <MPR был равен <MPQ. Из предположения о сумме углов треугольника вытекает, что <MPB'> < MPQ, т.е. Луч PR пройдет внутри угла MPB';  этот луч не пересекает АА', так как в противном случае получился бы треугольник, у которого внешний угол QMP равен внутреннему, с ним не смежному.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, первая половина теоремы доказана, а из нее вытекает обратное предложение.

При помощи доказанных теорем можно показать, что при  формулировке постулатов Евклида и  Лобачевского можно ограничится  более слабыми требованиями; например, постулат Евклида можно сформулировать так: существуют прямая а и не лежащая  на ней точка Р, обладающие тем свойством, что в плоскости, определяемой ими, через точку Р проходит не более одной прямой, не пересекающей а.

3. Перейдем к  вопросу о связи постулатов  параллельности с вопросом о  существовании подобных фигур.  Покажем, что существование подобных фигур возможно только в том случае, если справедлив постулат Евклида. Докажем следующую теорему.

Теорема 3. Если существует два подобных треугольника, то справедлив постулат Евклида.

Доказательство. Пусть у треугольников АВС  и А'В'С' углы попарно равны: <А=<А', <В=<В', <С=<С', но сторона АВ > А'В'. На стороне АВ отложим отрезок А₁В=А'В' и проведем прямую А₁М под углом ВА₁М=<А (рис. 5). Так как А₁М не может пересекать прямую АС, то она пересечет отрезок ВС в некоторой точке С₁. Так как ∆А₁ВС₁=∆А'В'С', то в четырехугольнике АА₁С₁С сумма углов равна 4d. Разделяя его диагональю на два треугольника, получим, что в каждом из них сумма углов равна 2d, т.е справедлив постулат Евклида.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, в геометрии  Лобачевского подобных фигур не существует, а это связано с многочисленными осложнениями, которые кажутся странными для каждого, начинающего знакомиться с неевклидовой геометрией. Из отсутствия подобия вытекает, что треугольник вполне определяется своими тремя углами, что отрезок может быть определен при помощи угла.

В геометрии Евклида  для определения отрезка необходимо задать непременно некоторый другой отрезок и указать то геометрическое построение, при помощи которого первый может быть получен из второго. В  геометрии Лобачевского дело обстоит проще: для определения отрезка не надо задавать другого отрезка, достаточно указать только геометрическое построение, при помощи которого может быть получен определяемый отрезок.

В геометрии Лобачевского мы имеем более тесную аналогию в  вопросах измерения отрезков и углов, чем в евклидовой геометрии ( для углов в обеих геометриях существуют абсолютные единицы меры, например прямой угол, получающийся при помощи геометрического построения независимо от задания тел или иных углов).

 

 Параллельные  прямые и их простейшие свойства.

 

Переходим к доказательству основных теорем о параллельных линиях. Прежде всего Лобачевский доказывает, что прямая, параллельная данной прямой в некоторой своей точке, параллельна  ей во всех своих точках.

Теорема 4. Прямая сохраняет признак параллельности во всех своих точках.

Доказательство. Пусть  прямая ВВ' параллельна в точке  Р прямой АА' (рис.6) в направлении  АА'. Рассмотрим точку Q, лежащую от точки Р в сторону параллельности, т.е. По ту же сторону от прямой PR, соединяющей Р с некоторой точкой R на АА', что и луч RA'. Возьмем какой-нибудь луч QQ', проходящий внутри угла B'QR, обращенного своим отверстием в сторону параллельности, и докажем, что он пересекает луч RA'. Для этого соединим какую-нибудь его точку Q' с Р; луч PQ' пересечет RA' в некоторой точке S. Луч QQ', пересекающий сторону PS треугольника RPS, не может пересечь отрезка PR и не проходит ни через одну из вершин этого треугольника. Поэтому он должен пересечь отрезок RS. Таким образом, теорема доказана для того случая, когда точка Q расположена от точки Р в сторону параллельности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Рассмотрим теперь  случай, когда Q лежит в обратном направлении от точки Р (рис.7). Соединим произвольную точку R прямой АА' с Р и Q и рассмотрим луч QQ', проходящий внутри угла B'QR. Этот луч пересечет отрезок PR в некоторой точке S. Продолжая луч QQ' по другую сторону точки Q, берем на этом продолжении точку Т. Прямая ТР проходит внутри угла RPB', т.е.  пересекает RA' в точке U. Итак, луч QQ' пересекает сторону RP треугольника RPU, не пересекает отрезка PU и не проходит ни через одну из его вершин, т.е.  пересекает отрезок RU. Таким образом, признак параллелизма имеется в точке Q.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

После того как доказана эта теорема, можем внести упрощение  в терминологию теории параллельных: при указании, что прямая ВВ' параллельна АА', не надо задавать той точки прямой ВВ', в которой имеется факт параллелизма.

В геометрии Евклида  две прямые, параллельные третьей, параллельны  между собой. В геометрии Лобачевского в такой формулировке теорема уже не имеет места. Но все же, если внести ограничение, требуя, чтобы две прямые были параллельны третьей в одном и том же направлении, соответствующая теорема уже имеет место в геометрии Лобачевского(свойство транзитивности параллелизма). Для доказательства этой теоремы установим предварительно две леммы.

Лемма 1. Если две параллельные прямые лежат по разные стороны третьей прямой, то все три эти прямые параллельны в одном направлении.

Лемма 2. Если две прямые параллельны третьей в одном направлении, то две из этих трех прямых лежат по разные стороны третьей прямой.

На основании этих двух лемм уже очень просто доказать свойство транзитивности параллелизма в геометрии Лобачевского.

Теорема 5. Две прямые, параллельные третьей в одном и том же направлении, параллельны между собой в том же направлении.

Доказательство. 1-й случай. Пусть прямые АА' и ВВ', параллельные прямой СС', лежат по разные стороны этой прямой (рис. 8). Пересекаться АА' и ВВ' не могут, и достаточно рассмотреть критерий угла. Отрезок MN, соединяющий точки, лежащие на АА' и ВВ', пересекает прямую СС' в некоторой точке Р. Рассмотрим луч МQ, проходящий внутри угла A'MP, обращенного своим отверстием в сторону параллелизма прямых АА' и СС'; он пересечет луч РС' в некоторой точке R и своим продолжением пройдет внутри угла C'RN, также обращенного своим отверстием в сторону параллелизма прямых СС' и ВВ', пересечет луч NB'.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2-й  случай. Прямые АА' и ВВ', параллельные СС' лежат по одну сторону СС'. На основании леммы 2 среди этих трех прямых существует одна, относительно которой остальные две лежат по разные её стороны; пусть это будет прямая ВВ'. Тогда на основании леммы 1 все три прямые параллельны в одном направлении.