Основные теоремы стереометрии Лобачевского

Отметим здесь важный факт, вытекающий из леммы 2: из трех прямых a, b, c, параллельных в одном направлении, можно выделить одну, например а, относительно которой две другие b и с лежат по разные ее  стороны. Теорема доказана.

 

 

 

 

 

1.2. Основные  теоремы стереометрии Лобачевского

 

Рассмотрим теоремы, связанные  с вопросом о пересечении и параллельности прямых и плоскостей.

   Две прямые  пространства могут быть или  скрещивающимися, или лежать в  одной плоскости. В первом случае, как и в геометрии Евклида,  они имеют общий перпендикуляр,  определяющий кратчайшее расстояние  между ними. Две прямые, лежащие в одной плоскости могут быть или пересекающимися, или расходящимися, или параллельными. Докажем простейшие свойства параллельных прямых для пространства.

Лемма. Если через две параллельные прямые провести пересекающиеся плоскости, то прямая их пересечения будет параллельна обеим данным прямым в направлении их параллельности.

     Доказательство. Пусть СС'- прямая пересечения  плоскостей α, β, проходящих  через прямые АА', ВВ', соответственно  параллельные в направлении АА' (рис.9). Докажем, что прямая СС' параллельна АА' в том же направлении.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Прямые АА' и СС' не пересекаются, так как в противном случае через точку пересечения проходила  бы и прямая ВВ', и лежат в одной  плоскости. Остается рассмотреть критерий угла. Для этого на каждой из трех рассматриваемых прямых возьмем по одной точке: M, N, Р и рассмотрим угол МРС', обращенный своим отверстием в сторону параллельности прямых АА' и ВВ'. Покажем, что каждый луч РР', проходящий внутри этого угла, пересечет луч МА'. Для этого проведем плоскость NPP', которая пересечет плоскость АА'ВВ' по прямой NN', проходящей внутри угла MNB'. Так как прямая ВВ' параллельна АА', то NN' пересечет луч МА' в некоторой точке, через которую пройдет и луч РР'.

Теорема 6. Две прямые, параллельные третьей в одном и том же направлении, параллельны между собой в том же направлении.

Доказательство. Рассмотрим общий  случай. Пусть прямые АА' и ВВ' параллельны  прямой СС' в направлении СС'. Выбрав произвольную точку М на прямой АА', проведем в плоскости МВВ' и МСС'. Прямая их пересечения на основании доказанной выше леммы параллельна СС', т.е.  совпадает с АА' и в то же время параллельна ВВ' в том же направлении. Таким образом, АА' параллельна ВВ' в направлении СС'. Теорема доказана.

Теорема 7. Если прямая параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости α, то она параллельна плоскости α.

Доказательство сводится к простому применению вышеприведенной  леммы.

 

Рассмотрим взаимное расположение двух плоскостей в пространстве Лобачевского; мы увидим, что и здесь  возможны три случая: пересечение, расхождение и параллелизм.

Покажем, что всегда для двух плоскостей α, β можно построить третью плоскость φ, перпендикулярную к ним обеим. Для этого из точки А плоскости α опустим перпендикуляр АВ на плоскость β (рис. 10).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если АВ лежит в  α, то за φ можно взять любую  плоскость, перпендикулярную к прямой пересечения плоскостей α, β. В том  случае, когда плоскость α не перпендикулярна  к β, из точки В опускаем перпендикуляр  ВС на α. При этом опять может представиться  частный случай, когда ВС совпадает с АС; как нетрудно видеть, за плоскость φ можно тогда взять любую плоскость, проходящую через АВ. Рассмотрим, наконец, общий случай, когда точки А, В, С различны. Плоскость АВС тогда перпендикулярна как к α, так и к β. Рассмотрим прямые ААʹ и ВВʹ пересечения этой плоскости с α и β. Возможны три случая:

1. прямые ААʹ, ВВʹ пересекаются; плоскости α и β-пересекающиеся;
2. прямые ААʹ и ВВʹ имеют общий перпендикуляр а-случай расходящихся плоскостей; нетрудно видеть, что α является общим перпендикуляром к плоскостям α и β, определяющим кратчайшее расстояние между ними; во все стороны от этого перпендикуляра плоскости безгранично расходятся;
3. прямые ААʹ и ВВʹ параллельны - случай параллельности плоскостей.

Итак, две плоскости  называются параллельными, если можно  построить третью плоскость, перпендикулярную к ним обеим, которая пересекает их по параллельным прямым.

Две параллельные плоскости  не имеют общих точек, так как  в противном случае плоскость  φ (рис.10) была бы перпендикулярна к  прямой их пересечения, т.е. прямые ААʹ, ВВʹ были бы пересекающимися.

Если плоскости α, β  параллельны, то каждая плоскость перпендикулярная к ним обеим, пересекает их по параллельным прямым.

Можно сказать, что эти  плоскости пересекают каждую из плоскостей α, β по прямым, принадлежащим к  пучку 3-го рода.

Теорема 8. Через прямую ААʹ, параллельную плоскости α, можно провести только одну плоскость,  параллельную α; все остальные плоскости, проходящие через ААʹ, пересекают плоскость α.

Доказательство. Пусть АВ - перпендикуляр на плоскость α, опущенный из некоторой точки А прямой ААʹ, ВВʹ- проекция прямой ААʹ на плоскость α (рис 11). Плоскость, проходящая через ААʹ перпендикулярно к плоскости ААʹВВʹ, параллельна плоскости α(на рис. 11 эта плоскость не изображена).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Покажем, что любая  другая плоскость φ, проходящая через ААʹ, пересечет α. Для этого рассмотрим проекцию АС прямой АВ на плоскость φ. Так как <ВАС<<ВААʹ=П(АВ), то АС пересечет свою проекцию BD на плоскость α, т.е. α и φ- пересекающиеся плоскости.

Эта теорема имеет  очень важное значение для построения геометрии Лобачевского; можно сказать, что она до некоторой степени является пространственным аналогом постулата Евклида.

 

Подобно тому, как в плоскости были построены простейшие кривые, в пространстве Лобачевского могут быть получены простейшие поверхности – сфера, поверхность равных расстояний и предельная поверхность. Путь исследования здесь совершенно аналогичный: вводится понятие соответствующих точек относительно связок прямых и плоскостей того или другого рода.

Мы будем различать три вида связок:

1. связка 1-го рода – совокупность прямых и плоскостей, проходящих через одну точку, - центр связки;
2. связка 2-го рода – совокупность прямых и плоскостей, перпендикулярных к некоторой плоскости – опорной плоскости связки;
3. связка 3-го рода – совокупность прямых и плоскостей, параллельных данной прямой в заданном на нем направлении.

Рассмотрим более подробно предельную поверхность. Прямые и плоскости  той связки 3-го рода, при помощи которой  построена эта поверхность, называются соответственно ее осями и диаметральными плоскостями. Как было указано выше, диаметральные плоскости пересекают предельную поверхность по предельным линиям. Покажем, что этим свойством обладают только диаметральные плоскости.

Теорема 8. Если недиаметральная плоскость имеет с предельной поверхностью общие точки, то она либо пересекает эту поверхность по окружности, либо касается ее в одной точке.

Доказательство. Пусть плоскость α, не являющаяся диаметральной, имеет с предельной поверхностью общие точки и пусть ООʹ-ось этой поверхности, перпендикулярная к α(точка О лежит в α). Рассмотрим сначала случай, когда точка О не принадлежит предельной поверхности. Обозначим через А точку пересечения оси ООʹ с предельной поверхностью, через В - одну из точек плоскости, принадлежащих предельной поверхности (рис.12), через ВВʹ - ось последней. Так как А и В – соответствующие точки, то <ОʹАВ=<ВʹВА. Рассмотрим точки С и D, лежащие на луче ОВ, причем ОС<ОВ<ОD. Проводя через С и D оси ССʹ и DDʹ, имеем:

<ОʹАС<<О'АВ=<В'ВА<<С'СА,

<О'АD><О'АВ=<В'ВА><D'DА.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, на каждом луче в плоскости α с вершиной О лежит одна и только одна точка, соответствующая точке А, - на расстоянии от О, равном ОВ.

Если точка О принадлежит  к предельной поверхности, то в плоскости  α нет более точек этой поверхности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 2. Геометрия  Лобачевского

2.1. Модель  геометрии Евклида на орисфере  пространства Лобачевского

Теорема 9. На предельной поверхности имеет место геометрия Евклида.

Доказательство. Для доказательства этой теоремы необходимо установить, что геометрия предельной поверхности подчиняется всем аксиомам евклидовой планиметрии. Взяв какую - нибудь систему аксиом евклидовой геометрии, необходимо проверить  применимость к предельной поверхности только плоскостных аксиом, так как линейные аксиомы справедливы для геометрии предельной линии.

Покажем, что две точки  предельной поверхности определяют одну и только одну проходящую через  них предельную линию на этой поверхности. Две точки, не лежащие на одной  оси, определяют единственную диаметральную плоскость, которая пересекает предельную поверхность по предельной линии, проходящей через данные две точки. Единственность предельной линии вытекает из того, что только диаметральные плоскости пересекают предельную поверхность по предельным линиям.

Рассмотрим постулат Паша. Пусть АВС-треугольник на предельной поверхности, MN- предельная линия, не проходящая ни через одну из его вершин и пересекающая дугу АВ в точке Р (рис.13). Проектируя MN осями предельной поверхности на плоскость АВС, получим прямую M'N', пересекающую отрезок АВ и не проходящую через точки А, В, С.

 

 

 

 

 

 

Применяя постулат Паша к этой прямой и плоскому треугольнику АВС, выводим, что эта прямая пересечет  или отрезок АС, или отрезок  ВС в некоторой точке Q'. Проводя через Q' ось поверхности, получим на соответствующей дуге точку Q, через которую проходит предельная линия MN.

Ограничиваясь относительно 5-й аксиомы конгруэнтности, указанием, что её проверка в геометрии предельной поверхности приводится к простому применению критериев равенства трехгранных углов, перейдем к наиболее интересной для нас аксиоме параллельности.

Пусть Р - точка предельной поверхности, не лежащая на предельной линии MN этой поверхности (рис.14). Проводим через Р ось РР', через MN- диаметральную плоскость α. Применяя к РР' и α теорему 7, выводим, что только одна предельная линия, проходящая через Р, именно та, которая соответствует диаметральной плоскости, проходящей через РР' и параллельной α, не пересекает линию MN. Итак, на предельной поверхности имеет место постулат Евклида. Теорема доказана.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2. Теоремы  синусов и косинусов сферического  треугольника

Наша ближайшая  задача — вывести основные формулы сферического треугольника (так называется треугольник на сфере, образованный тремя дугами больших окружностей). Эти формулы выражают основные математические соотношений в треугольниках геометрии Лобачевского.

а) Сначала докажем  так называемую теорему косинусов. Предположим, что нам дан сферический треугольник с вершинами А( ), В ( ), С ( ), углами A, В, С и противолежащими сторонами соответственно а, b, с.

Очевидно, эти  стороны связаны с радиус-векторами  вершин сферического треугольника следующими равенствами:

(2.1)

Предположим далее, что касательная плоскость к  сфере в точке С пересекает радиусы ОА и ОВ в точках и . Эти числовые множители , радиусов векторов точек A₁ и B₁ определяются совсем просто, если учесть ортогональность векторов , и , Действительно,

, т. е.

.

Отсюда на основании (2.1) следует, что

. (2.2)

Повторяя приведенные  рассуждения для другой пары и ортогональных векторов, получим

. (2.3)

Найдем теперь скалярное произведение векторов и . С одной стороны, имеем

, где

Следовательно, на основании (2.2, 2.3) имеем

  поэтому

.

С другой стороны,

.

Применяя затем (2.1), (2.2), (2.3), получим

(2.5)

Сравнивая (2.4) и (2.5), заключаем

 

или . (2.6)

Формула (2.6) не зависит от нашего предположения о точках пересечения А₁ и В₁. Эта формула выражает теорему косинусов сферического треугольника сферы чисто мнимого радиуса: косинус гиперболической стороны сферического треугольника равен произведению косинусов гиперболических двух других сторон без произведения синусов гиперболических этих же сторон на косинус угла между ними.

б) Переходим  теперь к выводу теоремы синусов. Вычислим для этого квадрат отношения . На основании (2.6), имеем:

. (*)

Видим, что числитель  правой части является симметричным выражением относительно переменных а, b, с. Нетрудно убедиться, что такой же симметричностью относительно этих переменных обладает и знаменатель. В самом деле: