Основные теоремы стереометрии Лобачевского

(2.7)

Таким образом, квадрат искомого отношения симметричен  относительно сторон а, b, с. Это означает, что заменяя обозначения сторон а, b, с и углов А, В, С в круговом порядке в (*) получим отношения , , равные . Извлекая из этих отношений квадратные корни, получим формулы:

, (2.8)

выражающую теорему синусов сферического треугольника в геометрии сферы чисто мнимого радиуса: синусы гиперболических сторон сферического треугольника относятся как синусы противолежащих углов.

в) Заметим, что  формулы (2.6) и (2.8) геометрии сферы  чисто мнимого радиуса r = ki в псевдоевклидовом пространстве можно получить из соответствующих формул сферического треугольника в евклидовом пространстве, заменяя на , на , на .

Применяя это  правило, получим вторую теорему косинусов для сферического треугольника в случае сферы мнимого радиуса:

(2.9)

Иначе, косинус угла сферического треугольника равен произведению синусов двух других углов на косинус гиперболической стороны между этими углами без произведения косинусов двух других углов.

Отсюда следует, что если углы одного сферического треугольника равны соответствующим  углам другого сферического треугольника, то такие треугольники равны.

2.3. Связь  Евклидовой и Лобачевской геометрии

Несмотря на все кажущиеся странности, геометрия  Лобачевского является настоящей геометрией нашего мира, и Евклидова является только её составной частью. Но в  пределах ежедневных измерений Евклидова геометрия дает исчезающе малые ошибки, и мы пользуемся именно ею.

Лобачевского геометрия - геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского,  о чем мы писали выше.

В пространстве или на плоскости Лобачевского, чем меньше область тем меньше геометрические соотношения в этой области отличаются от соотношений евклидовой геометрии. Можно сказать, что в бесконечно малой области имеет место евклидова геометрия. Например, чем меньше треугольник, тем меньше сумма его углов отличается от p; чем меньше окружность, тем меньше отношение её длины к радиусу отличается от 2p, и т. п. Уменьшение области формально равносильно увеличению единицы длины, поэтому при безграничном увеличении единицы длины формулы Лобачевского геометрия переходят в формулы евклидовой геометрии. Евклидова геометрия есть в этом смысле «предельный» случай Лобачевского геометрии.  
Математики следующего поколения (Клейн, Кэли, Пуанкаре и др.) сумели построить модель геометрии Лобачевского из материала геометрии Евклида, тем самым установив непротиворечивость и законность новой геометрии. И математики поняли, что могут быть разные геометрии и разные пространства.

Лобачевский по существу берет за отправной пункт все  то, что Евклид доказал без помощи 5-го постулата. Все эти предположения  являются общими как для геометрии  Евклида, так и для геометрии  Лобачевского.

Таким образом, все предложения абсолютной геометрии сохраняют свою силу и в геометрии Лобачевского. Абсолютная геометрия есть общая часть и общий фундамент евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского. В первом случае мы получим геометрию Евклида, во втором случае – Геометрию Лобачевского. Отсюда ясно, что все сходное в геометриях Евклида и Лобачевского имеет свои основания в абсолютной Геометрии, а все то, что различно в них, коренится в различии аксиом параллельности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Работая над темой «Основные теоремы стереометрии Лобачевского», была изучена литература, в процессе изучения которой, рассмотрела ряд теорем планиметрии и их доказательство, изучила доказательства основных    теорем  стереометрии, где сначала рассмотрела  теоремы, связанные с вопросом о пересечении и параллельности прямых и плоскостей, затем взаимное расположение двух плоскостей в пространстве Лобачевского и узнала, что здесь возможны три случая: пересечение, расхождение и параллелизм. Познакомилась с простейшими поверхностями в пространстве: сферой, поверхностью равных расстояний и предельной поверхностью.

В ходе исследования познакомилась  с моделью геометрии Евклида  на орисфере пространства Лобачевского, и узнала, что две точки предельной поверхности определяют одну и только одну проходящую через них предельную линию на этой поверхности и рассмотрела построение данной модели. В целом Лобачевского геометрия является обширной областью исследования, подобно геометрии Евклида. Лобачевский по существу берет за отправной пункт все то, что Евклид доказал без помощи 5-го постулата. Все эти предположения являются общими как для геометрии Евклида, так и для геометрии Лобачевского.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ

1. Атанасян Л.С, Гуревич Г.Б. Геометрия.- М., 1976, ч. 2. 448 с.
2. Егоров И.П. Геометрия.- М., 1979, 254 с.
3. Розенфельд Б.А. Неевклидовы пространства. -М., 1969, 648 с.
4. Трайнин Я.Л. Основания геометрии. -М., 1961, 326 с.
5.     Математика XIX века, «Наука».- М., 1981
6.     П.А. Широков, В.Ф. Каган, Строение неевклидовой геометрии.- М.,1950
7. Юшкевич А.П., История математики в России, «Наука».-М., 1968
8. Ефимов Н.В., Высшая геометрия, «Наука».- М.,1971.
9. Неевклидовы пространства и новые проблемы физики, «Белка».- М., 1993
10. Г.И. Глейзер. История математики в школе IX – X классы. Пособие для учителей. Москва, «Просвещение» 1983г.
11. Даан Дальмедино А., Пейффер И. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. Перевод с французского. -М: Мир.1986г.
12. Б.Л. Лаптев. Н.И. Лобачевский и его геометрия. Пособие для учащихся.- М. «Просвещение», 1970г.
13. И.М. Яглом. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия. Серия «Библиотека математического кружка».- М: 1963г.
14. Колесников М. Лобачевский./. Серия «Жизнь замечательных людей». – М.: Молодая гвардия, 1965. – 320 стр. с илл.
15. http://www.bankreferatov.ru
16. http://www.refportal.ru
17. http://www.edu.ru
18. http://www.allbest.ru
19. http://www.themesoch.narod.ru/t_s