Возникновение и развитие проективной геометрии

Возникновение и развитие проективной геометрии.

   ... Было легче остановить Солнце, легче было сдвинуть Землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике, свести параллели к схождению и раздвинуть перпендикуляры к прямой на расхождение.

В. Ф. Каган

    История проективной геометрии тесно связана с возникновением и развитием перспективы. Учение о перспективе, которой пользовались еще ученые и художники древности', первоначально составляло часть оптики. Трактаты по оптике писали древнегреческие ученые Евклид и Птолемей, каирский физик и астроном Ибн ал-Хайсам и др. Обработкой «Оптики» Евклида явилась «Перспектива» польского архитектора Витело (XIII в.).

    Латинский термин perspectiva (от perspicpre -- смотреть насквозь) в средние века обозначал оптику в широком смысле (геометрическую, физическую и физиологическую). Лишь около середины XV в. этот термин приобретает смысл, близкий к современному. Своего расцвета перспектива достигает в эпоху Возрождения в связи с блестящим развитием живописи, скульптуры и архитектуры. «Трактат о живописи» Леонардо да Винчи содержит систематическое изложение законов перспективы. Правила перспективы применяли Рафаэль, Микеланджело и другие великие живописцы XV--XVII вв.

    Перспектива представляет собой пример геометрического преобразования: между элементами (точками, прямыми) одной плоской или пространственной фигуры F и элементами другой, обычно плоской, фигуры F' устанавливается взаимно-однозначное соответствие по некоторому определенному правилу. В данном случае правило состоит в том, что точки фигуры F' получаются как точки пересечения с заранее заданной плоскостью (плоскостью проекций) лучей, соединяющих некоторую фиксированную точку пространства S (центр проекции или перспективы) с точками данной фигуры F (рис. 1). Последняя называется оригиналом или прообразом фигуры F'; в свою очередь F' называют перспективой, проекцией или образом фигуры F.

     Интересен экспериментальный способ построения центральной перспективы, изобретенный художником Альбрехтом Дюрером (1471--1528). Чтобы изобразить какой-либо сложный по конфигурации предмет в перспективе, он закреплял неподвижно на столе этот предмет (на рисунке, изображенном на форзаце, взята лютня) и на некотором расстоянии от него рамку с дверцей, на которой прикреплял листок бумаги. Дверца открывалась. Через рамку пропускали шнур, один конец которого укрепляли на стене. Ху дожник натягивал шнур и при касался к одной из точек поверхности проектируемого предмета, а его помощник посредством двух нитей, прикрепленных к двум смежным сторонам рамки, отмечал эту точку в плоскости рамки -- натягивал и закреплял воском нити так, чтобы точка их пересечения совпадала с натянутым шнуром. После этого шнур ослабляли, закрывали дверцу рамки и карандашом отмечали на листке бумаги «пойманную» точку -- пересечение нитей. Затем последовательно точку за точкой с поверхности проектируемого предмета переносили на листок бумаги. Соединение точек линией давало контур перспективного изображения предмета (в данном случае лютни).

      Легко заметить, что во взаимно однозначном точечном соответствии, устанавливаемом с помощью центрального проектирования в обычном евклидовом пространстве, имеются дефекты. Проще всего они выявлены па рисунке 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Проектируя точки прямой р из центра S на прямую q, констатируем, что точка Pg прямой р, лежащая одновременно и на прямой SSg параллельной q, не имеет соответствующей себе точки (образа) на прямой q; в то же время точка Qp прямой q, лежащая на прямой SQр параллельной р, не имеет прообраза на прямой р. Этот дефект обнаруживается при центральной проекции на любой прямой: ей не хватает одной точки. Необходимость устранения этого недостатка, потребность иметь на каждой прямой как бы недостающую ей точку привели к введению понятия бесконечно удаленной, или несобственной, точки. К уже ранее известному бесконечному множеству «несобственных», т.е. обычных, точек каждой прямой присоединяется еще одна несобственная точка, общая для всех прямых, параллельных данной прямой. Таким образом, общим элементом двух пересекающихся прямых является собственная точка; общий же элемент двух параллельных прямых есть (фактически их направление) несобственная точка. Термин «бесконечно удаленная точка» объясняется тем, что последняя как бы лежит бесконечно далеко на данной прямой, правее и одновременно левее всех ее собственных точек (рис. 3), являясь предельным положением точки, неограниченно удаляющейся по прямой в ту или иную ее сторону, подобно тому как прямая р, параллельная прямой s, представляет собой предельное положение прямой SA, пересекающей s при вращении SA около точки S в одном или другом направлении.

    Таким образом, проективная прямая является замкнутой линией подобно окружности. Действительно, продвигаясь неограниченно в направлении ABC, можно, «проходя» через бесконечно удаленную точку S прямой s вернуться к исходной точке А с другой стороны прямой. Когда точка Р1 прямой оригинала Р (рис. 2) стремится к предельному положению Р  , проходя через точки Р2, Р3, …., ее образ Q1 на прямой q стремится к точке Qp. Эта точка -- образ бесконечно удаленной точки -- называется в линейной перспективе точкой схода. Название это объясняется тем, что параллельные прямые оригинала в перспективе изображаются прямыми, сходящимися  в одной точке.

    Аналогично при желании установить взаимно однозначное соответствие применение перспективы в пространстве приводит к понятию бесконечно удаленной (несобственной) прямой плоскости, общей всем параллельным с ней плоскостям и рассматриваемой как множество всех несобственных точек данной плоскости. Присоединяя каждой прямой одну несобственную точку и каждой плоскости одну несобственную прямую, мы расширяем обычные, евклидовы понятия точки и прямой, при этом, однако, соблюдаем закон перманентности и не нарушаем соответствующих отношений принадлежности. Так, например, через две точки всегда проходит одна и только одна прямая. Если одна из данных точек S является собственной, а другая S  несобственной (изображаемой некоторой прямой s), то через эти две точки проходит одна и только одна прямая р (рис. 3) и т. п.

     С этой точки зрения оказалось целесообразным ввести понятие и бесконечно удаленной (несобственной) плоскости пространства как множества всех несобственных элементов пространства. Эта плоскость пересекается с каждой прямой в одной (ее несобственной) точке и с каждой плоскостью по одной (ее несобственной) прямой.

    Новое пространство, полученное путем расширения обычного евклидова пространства, точнее посредством присоединения к последнему несобственных элементов (точек, прямых, плоскости), называют проективным пространством.

     Одним из преимуществ введения несобственных элементов является общий характер геометрических предложений, общность формулировок тех или иных свойств геометрических образов. Например, в проективном пространстве существуют следующие общие свойства: 1) две различные прямые плоскости всегда определяют одну-единственную точку (в случае параллельных прямых точка несобственная); 2) две плоскости всегда определяют одну-единственную прямую. В евклидовом пространстве эти предложения не всегда верны.

      Термин «точка схода» (по-латыни punctum concursus) был впервые введен в 1600 г. итальянским ученым Гуидо Убальдо дель Монте (1545--1607), который в сочинении о перспективе изложил учение о точках схода.

      Понятие точки схода, возникшее из практических нужд живописи и архитектуры, явилось предвосхищением понятия «бесконечно удаленные элементы», которое впоследствии послужило краеугольным камнем для построения научной проективной геометрии. Спустя четыре года после появления труда Убальдо, немецкий математик и астроном И. Кеплер опубликовал сочинение «Оптическая часть астрономии», в котором впервые явно вводит понятие и термин бесконечно удаленная точка. К этому понятию Кеплер приходит, рассматривая конические сечения как линии, непрерывно переходящие друг в друга. Он пишет: «... прямая линия переходит в параболу через бесконечные гиперболы, а далее через бесконечные эллипсы -- в круг» (рис. 4); «самая тупая из гипербол -- прямая линия, а самая острая -- парабола; самый острый из эллипсов -- парабола, а самый тупой -- круг»; «у круга имеется один фокус А, он же и его центр. У эллипса имеются два фокуса В, С, равноудаленные от центра фигуры, и, чем острее эллипс, тем более удаленные. У параболы имеется только один фокус D внутри фигуры, а другой следует представлять себе на оси сечения вне или внутри его удаленным от первого на бесконечное расстояние, так что линии HG и IG, проведенные из этого слепого фокуса в произвольную точку G сечения, параллельны оси  DK». Последнее предложение означает, что все параллельные между собой прямые встречаются в одной и той же бесконечно удаленной точке; утверждение же Кеплера о том, что «слепой» фокус находится на оси параболы по любую сторону от ее фокуса D, означает, что прямая DK замыкается ее бесконечно удаленной точкой. Это рассуждение представляет собой первое применение общего принципа непрерывности. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    «Отцом проективной геометрии» принято считать французского математика Жирара Дезарга (1593--1662), сочинение которого посвященное учению о конических сечениях и скромно озаглавленное «Первоначальный набросок попытки разобраться в том, что происходит при встрече конуса с плоскостью» (1639), фактически содержит первое систематическое изложение идей проективной геометрии. Будучи инженером и архитектором, Дезарг пришел к этим идеям благодаря занятиям по перспективе.

      Исследуя конические сечения как перспективные образы окружности, Дезарг последовательно разрабатывает учение о бесконечно удаленных точках и прямых. Он, в частности, рассматривает гиперболу как единую линию, состоящую из двух ветвей и имеющую две бесконечно удаленные точки (определенные ее асимптотами, касающимися гиперболы в этих точках), и констатирует, что парабола имеет одну бесконечно удаленную точку, принадлежащую также ее оси, а точки эллипса -- все конечные, собственные. В своих исследованиях над коническими сечениями Дезарг фактически впервые применял понятие проективного преобразования, под которым впоследствии стали понимать всякое отображение одной фигуры на другую, получающееся посредством центрального (а в широком смысле и параллельного) проектирования или же посредством некоторого числа последовательных таких проектирований. Те свойства фигур, которые остаются инвариантными, т. о. неизменными при проективных преобразованиях, называют проективными свойствами. Они связаны с понятиями положения, расположения, пересечения. Таковы, например: 1) инцидентность (принадлежность) точки и прямой или прямой и плоскости; 2) коллинеарность точек: всякое проективное преобразование переводит три или более точек, лежащих на одной прямой, в точки, лежащие тоже на одной прямой, 3) конгруэнтность трех и более прямых: прямые, проходящие через одну точку, преобразуются в прямые, тоже проходящие через одну точку, и др. Говорят также, что инцидентность, коллинеарность и т. п. являются инвариантами любых преобразований. Та же часть геометрии, т. е. совокупность геометрических теорем (и аксиом), изучающая проективные свойства геометрических фигур, и называется проективной геометрией.

    Проективным свойствам (первоначально) противопоставляются метрические (от греческого «метрео» -- измеряю) свойства фигур, связанные с измерением величин, с понятием длины отрезка, величины угла, равенства фигур, площади, объема и т. п. Проективные преобразования вообще искажают величины отрезков и углов, т. е. не сохраняют метрические свойства фигур. Последние остаются, однако, инвариантными относительно другого, более узкого класса геометрических преобразований, называемых движениями (осевая и центральная симметрия, поворот и т. д.). Та часть геометрии, которая изучает метрические свойства фигур, называется метрической геометрией; именно она изучается в средней школе и обычно называется элементарной геометрией.

     В школе мы изучаем в основном теоремы метрической геометрии, например: теорему о сумме внутренних углов треугольника, теорему о том, что в любом треугольнике одна сторона меньше суммы двух других его сторон, теорему Пифагора и др. Одна из первых теорем проективной геометрии была открыта Дезаргом и носит его имя.

    Теорема Дезарга. Если два треугольника ABC и А'В'С (рис. 5) лежат в одной плоскости так, что прямые, соединяющие соответственные вершины (А и А', В и В', С и С'), проходят через одну точку S, то точки А₀, В₀, С₀- точки пересечения соответственных сторон -- лежат на одной прямой, и обратно. 
 
 
 
 
 

    Теорема Дезарга была впервые изложена в небольшом его сочинении, выпущенном в Париже в 1636 году. Любопытно отметить, что доказательство этой теоремы основывается на сравнительно простом доказательстве соответствующей «пространственной» теоремы, в которой предполагается, что треугольник АВС и треугольник А'В'С' лежат в двух различных пересекающихся плоскостях.

     Конфигурация (т. е. фигура, состоящая из m точек n прямых, в которой каждой прямой принадлежит р точек и каждой точке d прямых), изображенная на рисунке 5 и названная конфигурацией Дезарга, содержит одинаковое число (10) точек и прямых, причем каждой точке инцидентны три прямые и каждой прямой -- три точки. Такого рода конфигурацию называют правильной.

     В «Первоначальном наброске» Дезарга содержится и важнейшее понятие проективной геометрии -- сложное (или двойное, или ангармоническое) отношение четырех точек прямой. Рассмотрим сперва три точки А, В, С на прямой а (рис. 6).   
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 Назовем  простым отношением трех точек А, В, С отношение АС/BC и обозначим (AВС) =AC/BC. Аналогично (АВD) = AB/BD. Точки А и В называются базисными, С и D - делящими. Оказывается, что не только длины отрезков АВ, ВС и т.д. не   сохраняются при проектировании, но изменяются также отношения двух каких-либо отрезков, т. е. простые отношения трех точек прямой. Если же внести в рассмотрение четвертую точку D прямой а и определить сложное отношение четырех точек А, В, С, D, обозначаемое (ABCD) как отношение двух простых отношений трех точек т. е.