Возникновение и развитие проективной геометрии

     (АВСD) = (АВС)/(АВD) = (АС/ВС):(АD/BD) =( AC*BD)/(DC*AD),

то это двойное отношение инвариантно относительно любого проективного преобразования. Пара точек А, В называется базисной, другая пара С, D --делящей. При определении сложного отношения существенную роль играет порядок, в котором записываются точки А, В, С, D. Легко проверить, что если (ABCD) = к, то при всевозможных перестановках будут существовать равенства, указанные в следующей таблице:

1. (ABCD) = (CDBA) = (DCBA) = (BADC) = k,
2. (ABDC) = (DСАВ) = (CDBA) = (BACD) = 1/k,
3. (ACBD) = (BDAC) = (DBCA) = (CADB) =1--k,
4. (ACDB) = (DBAC) = (BDCA)=(CABD)= 1/(1-k),
5. (ADBC) = (BCAD) = (CBDA) = (DACB) = (k-1)/k,
6. (ADCB) = (CBAD) =  (BCDA) =  (DABC) = k/(k-1),

      Итак, получаем шесть различных значений сложного отношения четырех данных точек прямой. Из таблицы видно также, что сложное отношение не изменяется от перестановки пар точек или от одновременной перестановки букв внутри каждой пары.

      В перспективной плоскости основными геометрическими формами являются прямолинейный ряд точек, т. е. совокупность точек А, В, С, D,..., принадлежащих данной прямой s, называемой носителем ряда, и пучок прямых, т. е. совокупность прямых а, b, с, d, ... на плоскости, инцидентных одной точке S (центр или носитель пучка). Если прямолинейный ряд s (А, В, С, D, ...) образован посредством сечения пучка S(а, b, с, d, ...), или, что то же, пучок S образован путем проектирования  из центра S точек ряда s, то пучок и ряд называются перспективными.

      Можно доказать, что (ABCD) = (abed). Если (ABCD) = -- 1 (1), то сложное отношение (рис. 7) называется гармоническим. Гармонической  - называется в этом случае и сама четверка точек. Из (1) следует, что АС/BC = - AD/BD, т. е. точки С и D делят отрезок АВ в одинаковом отношении: первая -- внутренним образом, вторая -- внешним. Говорят также, что точки С и D делят отрезок АВ гармонически, или что С и D гармонически сопряжены относительно пары точек А и В. Также гармонической называется и четверка прямых а, b, с, d пучка S, перспективного ряду s: (abed) = (ABCD) = -- 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    В проективной геометрии важную роль играет одна плоская фигура, которую называют полным четырехугольником (рис. 8). Она образована четырьмя точками (вершинами) Е, F, G, I, из которых никакие три не коллинеарны, и шестью прямыми или тремя парами противоположных сторон (EI и FG, EF и IG, EG и IF), определяемыми тремя соответствующими парами вершин. Точки А, В и Н пересечения противоположных сторон названы диагональными, прямые же, их попарно соединяющие (АВ, ВН и АН), -- диагоналями. Оказывается, что на каждой диагонали (допустим, АВ) полного четырехугольника имеется гармоническая четверка точек, состоящая из пары диагональных точек (А, В) и двух точек (С, D) пересечения рассматриваемой диагонали (А В) с парой сторон (EG, IF), проходящих через третью диагональную точку (Н).

    Чтобы доказать эту теорему, т. е. что (ABCD) = -- 1, воспользуемся инвариантностью сложного отношения при проектированиях и спроектируем последовательно четверку точек А, В, С, D из центра Е на прямую ID, полученные образы  I, F, Н, D -- из G вновь спроектируем на прямую АВ. Получим:

                        (ABCD) = (IFHD) = (BACD).

Но согласно вышеприведенной таблице имеем:     (BCAD) = 1/(ABCD)

Из (2) вытекает, что           (ABCD) = 1/(ABCD),

Или                       (ABCD)² = 1, (ABCD) = +1

     Но если (ABCD) равнялось бы единице, то по определению было бы (ABC) = (ABD), т. е. точки С и D должны совпадать, а это в данном случае исключается. Значит, (ABCD) = -- l.

      Доказанная теорема дает нам возможность с помощью одной

 лишь линейки построить точку, четвертую гармоническую к трем данным. (Как?)

      Следует отметить, что некоторые понятия проективной геометрии возникли уже в древности. В частности, Папп Александрийский (III в.) писал в своих «Поризмах» об ангармоническом и гармоническом отношении четырех прямых пучка и четырех точек прямой, а также о гармонических свойствах полного четырехугольника. Отдельные предложения, относящиеся к теории поляр, систематически изложенной и обоснованной Дезаргом, были доказаны еще Аполлонием Пергским (III--II вв. до н. э.) в его «Конических сечениях».

     Учение Дезарга о конических сечениях было продолжено юным французским математиком Блезом Паскалем. В 16-летнем возрасте он опубликовал в Париже в виде афиши свой «Опыт о конических сечениях», в котором содержится одно из важнейших предложений проективной теории конических сечений, носящее его имя.

    Теорема Паскаля. Точки пересечения противоположных сторон шестивершинника, вписанного в коническое сечение, лежат на одной прямой (рис. 9). Эта прямая была названа впоследствии «прямой Паскаля». Следуя методу Дезарга, Паскаль вначале доказал эту теорему для окружности, а затем, пользуясь центральной проекцией, распространил ее на всякое коническое сечение. Из своей теоремы Паскаль вывел около 400 следствий. Одно из них гласит, что коническое сечение (кривая 2-го порядка) определяется вообще пятью своими точками.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     В частном случае, если коническое сечение распадается на две прямые, то теорема Паскаля ведет к конфигурации, изображенной на рисунке 10. Здесь имеем 9 прямых (2 из которых представляют распавшееся коническое сечение, 6 -- стороны шестиугольника, 1 -- прямая Паскаля) и 9 точек (6 вершин шестиугольника и 3 точки пересечения противоположных сторон), причем на каждой прямой лежат 3 точки, а через каждую точку проходят 3 прямых. Это правильная конфигурация. Частный случай теоремы Паскаля, о котором идет речь, был уже известен Паппу Александрийскому. Вот почему конфигурация носит название конфигурации Паппа -- Паскаля.

     Развитию проективной геометрии в XVII в. содействовал в известной мере еще один французский геометр -- Филипп де Лагир (1640--1718), который был и художником. Он установил ряд новых теорем в опубликованном им в 1685 г. сочинении «Конические сечения».

      Развитие проективной геометрии как науки не случайно началось в XVII в., первом веке математики переменных величин, когда, по выражению Энгельса, «в математику вошли движение и диалектика».

     В противоположность геометрии, изложенной в «Началах» Евклида и изучающей в основном лишь неподвижные фигуры, Убальдо, Кеплер, Дезарг и Паскаль приводят в движение геометрические образы, вводя в геометрию идеи изменения, преобразования, бесконечности и предела: пробегая прямую линию и уходя по ней в бесконечность, стремящаяся к предельному положению точка становится «точкой схода» или «бесконечно удаленной точкой»; вращаясь вокруг центра пучка, его прямая, образует на секущей прямой перспективный ряд точек; окружность преобразуется то в эллипс, то в параболу или гиперболу; парабола представляется как предельный переходный случай между эллипсом и гиперболой и т. д.

   Проективная геометрия оперирует, как мы видели, не посредством алгебраических действий и арифметических вычислений, а чисто геометрическими, синтетическими (т. е. неаналитическими)средствами: проектированием, пересечением и т. п. Именно этим объясняется парадоксальный на первый взгляд, но диалектически понятный факт: те самые мотивы, которые способствовали в XVII в. началу развития новой синтетической, проективной геометрии, они же и оказались тормозом в ее дальнейшем развитии. Дело в том, что общие запросы в области естествознания, практики и техники, породившие идеи переменных и бесконечных величин, движения и предельных переходов, были более обширными и важными, чем запросы перспективы, и требовали создания более сильного и всеобщего аналитического аппарата, создания и развития аналитической геометрии и математического анализа. «Немедленно необходимым, -- писал Энгельс, -- стало дифференциальное и интегральное исчисление». Им отдавали свое время и силы величайшие математики XVII и XVIII вв. Среди многочисленных ученых, занимавшихся развитием нового аналитического аппарата в математике, Дезарг, возродивший и развивавший синтетические приемы геометрии, казался одиноким, посторонним. Увлечение подавляющего большинства видных математиков того времени анализом и разработкой новых аналитических методов исследования геометрических проблем привело даже к тому, что понятый современниками «Первоначальный набросок» Дезарга был еще в конце XVII в. полностью забыт и пропал без вести. Копия этого классического произведения Дезарга, сделанная Лагиром, была найдена лишь в 1845 г. французским геометром и историком математики Мишелем Шалем (1793--1880).

     Дальнейшее существенное развитие проективной геометрии связано с именем Понселе и других ученых XIX в.   

     К возрождению идей Дезарга в начале XIX в. дала новые стимулы в первую очередь практика, та самая, которая привела к появлению в 1798 г. «Начертательной геометрии» Монжа. Важный вклад в развитие синтетической геометрии внес Лазарь Карно тремя работами: 1) «О корреляции фигур» (1801), 2) «Геометрия положения» (1803) и 3) «Опыт о трансверсалях» (1806). Во второй работе доказывается теорема о полном четырехугольнике и другие предложения.

    Название «Проективная геометрия» берет начало от опубликованного в Париже в 1822 г. «Трактата о проективных свойствах фигур», который является главным произведением французского математика Жана Виктора Понселе (1788--1867). Основные результаты этого труда были получены и записаны автором в 1813--1814 гг. в Саратове, где военный инженер Понселе, участвовавший в походе Наполенав Россию в 1812 г., находился в плену до осени 1814 г.

     В этом труде Понселе были впервые отмечены и выделены в особый класс проективные свойства фигур, сохраняющиеся при отображении посредством центральной проекции. Трактат Понселе означал формирование проективной геометрии как самостоятельной математической дисциплины и составил новую эпоху в развитии синтетической геометрии. Как и аналитическая геометрия, синтетическая геометрия обогащается общими методами исследования фигур и решения задач.

      Одной из важнейших особенностей проективной геометрии является так называемый принцип двойственности, открытый французским математиком Жозефом Жергоном (1771--1859).

      Мы уже видели, что в проективном пространстве формулировка свойств принадлежности геометрических образов носит более общий, чем в евклидовой геометрии, и стройный характер. Отметим теперь, что предложения проективной геометрии, в которых идет речь о взаимной принадлежности (инцидентности) точек, прямых, плоскостей, в пространстве носят также двойственный, симметричный характер; они как бы группируются попарно. Например:

       Три точки, не инцидентные одной прямой, инцидентны одной и только одной плоскости.

      Три плоскости, не инцидентные одной прямой, инцидентны одной и только одной точке.

     Такие два предложения называются двойственными. Каждое из них можно получить из другого путем замены слова «точка» словом «плоскость» и наоборот (слово «прямая» сохраняется). Это принцип двойственности в пространстве. В предложениях, относящихся к плоскости, симметричность проявляется относительно понятий «точка» и «прямая». Вот пример проявления принципа двойственности на плоскости:

       Две точки инцидентны одной и только одной прямой.

      Две прямые инцидентны одной и только одной точке.

      Значение принципа двойственности состоит в том, что из каждого верного (т. е. допущенного в качестве аксиомы или доказанного) предложения тут же вытекает без доказательства другое верное предложение. Так, применяя принцип двойственности к теореме  Паскаля, получаем новое важное предложение, так называемую теорему Брианшона, открытую Ш. Ж- Брианшоном (1785--1864) в 1806 г.: прямые, соединяющие противоположные вершины шестистороннит, описанного около конического сечения, пересекаются в одной точке (точка Брианшона).

           Эта теорема, как и теорема Паскаля, находит много применений в геометрических построениях; она, в частности, дает возможность по пяти данным касательным любой кривой второго порядка построить сколь угодно много других касательных и т. п.

      Дальнейшее  развитие проективная геометрия получила в трудах Я.

Штейнера и Х. Штаудта. Якоб Штейнер (1796--1863), сын швейцарского крестьянина, в молодости был пастухом. Грамоте он научился лишь в возрасте 19 лет в школе знаменитого своего соотечественника, педагога-демократа Иоганна Генриха Песталоцци (1746--1827).

      В общей педагогической системе Песталоцци геометрия как учение о 

формах занимала особенно важное место; ей придавалось исключительное значение в деле общего образования и развития мыслительной деятельности учащихся. Идеи Песталоцци оказали большое влияние на Штейнера ив дальнейшем склонили его к занятиям синтетической проективной геометрией. Впоследствии, будучи уже членом Берлинской Академии наук, Штейнер в предисловии к важнейшей своей работе «Систематическое развитие зависимости геометрических образов друг от друга» (ч. I, 1896) писал: «Предлагаемое произведение пытается вскрыть тот механизм, которым связаны друг с другом разнообразнейшие явления в пространстве. Существует весьма ограниченное количество весьма простых основных соотношений, выражающих ту схему, по которой остальная масса предложений развивается последовательно и без всяких затруднений. Посредством надлежащего усвоения этих немногих основных соотношений делаешься хозяином всего предмета; порядок заступает место хаоса, и видишь, как все части, естественно опираются друг на друга, располагаются в прекрасном порядке и соединяются в удачно отграниченные группы. Таким образом, удается овладеть теми элементами, из которых исходит природа, чтобы с возможной экономией и простейшим образом придать фигурам несчетное множество свойств».