Возникновение и развитие проективной геометрии

     Основной идеей работ Штейнера является проективное образование из более простых геометрических образов более сложных. Так, исходя из двух обычных проективных пучков прямых, названных пучками первого порядка, он приходит к определению кривой (ряда) второго порядка как геометрического места точек пересечения соответствующих прямых двух пучков. Аналогично геометрическое место прямых, соединяющих соответствующие точки двух обычных проективных рядов (первого порядка), образует так называемый пучок второго порядка, представляющий собой совокупность касательных к кривой второго порядка. Штейнер рассматривает проективное преобразование как цепь последовательных перспективных преобразований и определяет проективное соответствие двух форм 1-й ступени (например, прямолинейного ряда и пучка прямых, или двух рядов, или двух пучков) как преобразование, сохраняющее сложное отношение четырех элементов. Большинство идей и приемов Штейнера не были новы, однако они были им точно определены и систематически изложены.

     Немецкий математик Христиан фон Штаудт (1798--1867) сделал решительный шаг в отношении полного обоснования и построения проективной геометрии независимо от метрической. Сложное отношение четырех точек прямой или прямых пучка, положенное Штейнером в основу определения проективности, хотя и сохраняется при любом проективном преобразовании, само по себе является числом, отношением отношения длин отрезков или величин углов, т. е. понятием метрической геометрии.

      Тот факт, что в основе геометрии, изучающей одни лишь проективные свойства фигур, лежит понятие, связанное с измерением отрезков или углов, естественно, поставил перед математиками задачу обоснования проективной геометрии посредством собственных, проективных средств. Эта задача и была решена Штаудтом в появившемся в 1847 г. труде «Геометрия положения», название которого восходит к Лейбницу и Карно. Штаудт воспользовался гармоническими свойствами полного четырехугольника для чисто геометрического определения самого понятия гармонической четверки точек; если на одной прямой даны три точки А, В, С (рис. 8) и если построить полный четырехугольник так, чтобы точки А и В были диагональными точками (т. е. через каждую из них проходила бы пара противоположных сторон), и через точку С проходила бы одна сторона, инцидентная третьей диагональной точке (Н), то противоположная ей сторона (IH) пересекает данную прямую (АВ) в точке D, которая называется четвертой гармонической, сопряженной с точкой С относительно пары точек А, В. После этого чисто геометрического определения понятия гармонизма Штаудт дает следующее определение проективности: два ряда точек, или два пучка прямых, или ряд и пучок называются проективными, если между ними установлено такое взаимно однозначное соответствие,  что каждой гармонической четверке элементов одной формы соответствует гармоническая четверка элементов другой. Это определение, как доказал (правда, не вполне строго) Штаудт, эквивалентно определению Штейнера. В 1857 г. появились «Очерки по геометрии положения» Штаудта, в которых автор дал чисто геометрическое, синтетическое определение и понятию мнимых точек.

     Исследования Штаудта продолжили другие ученые, в том числе русские геометры Константин Алексеевич Андреев (1848--1921), Алексей Константинович Власов (1868--1922) и др.

     Быстрое развитие математики в XVII--XVIII вв. повлекло за собой резкое обособление отдельных ее частей. К 1870 г. математика представляла собрание узкоспециальных и мало связанных между собой разделов, причем специализация продолжала расти. Появилась крайняя необходимость открыть принципиальные положения, которые позволили бы найти общность между отдельными оторванными друг от друга разделами математики.

     Одним из замечательных открытий конца XIX в. было введение понятия группы. На основе групп преобразования немецкий математик Феликс Клейн -- профессор Эрлангенского университета в своей вступительной лекции в 1872 г. обстоятельно обосновал, как, опираясь на понятие группы, классифицировать различные области математики. В этой лекции, получившей название «Эрлангенская программа», различные геометрии были рассмотрены с позиций группы преобразований. На этой основе ясно обозначилось, что евклидова геометрия определяется группой движений (параллельный перенос, поворот, симметрия и подобие); аффинная геометрия характеризуется группой аффинных преобразований, которая включает все указанные выше преобразования и, кроме того, проекцию параллельными лучами на плоскость, расположенную под любым углом наклона к ним. Проективная же геометрия характеризуется группой преобразований, при которых точки, лежащие на одной прямой, переходят в точки, лежащие на другой прямой. Группа проективных преобразований включает в себя аффинную геометрию, геометрию Евклида и Лобачевского. По идее Клейна каждая группа преобразований включает в себя предшествующую группу. По предложенной классификации даже топология относится к группе непрерывных точечных преобразований .

     Начало топологии положил в 50-х годах XIX в. Риман. Он ввел неоднородные пространства, характеристики которых меняются от точки к точке, т. е. пространства переменной кривизны. Он пришел к изучению преобразований, допускающих растяжение, сжатие, изгиб и даже скручивание. Главная задача топологии -- установить, когда фигуры топологически эквивалентны.

     В 1868--1884 гг. Гельмгольц занялся изучением риманова пространства независимо от идей Римана. Это прш)сло его к исследованию природы геометрических аксиом. Вслед за ним этим же вопросом занялся Д. Гильберт. В 1899 г. в свет вышла его книга «Основания геометрии». В ней исследована и уточнена аксиоматика геометрий XIX в., что открыло новую главу в истории аксиоматического метода. Работа Гильберта стала источником ряда исследованиий о взаимоотношениях аксиом и о роли системы аксиом в различных разделах математики. Работы Гильберта помогли поднять аксиоматические исследования на более высокий уровень.

     Теория групп и глубокие исследования аксиоматики позволили установить общность различных областей математики и выявить их единство.

Работы в области аксиоматических обоснований ряда pазделов математики были продолжены в XX в. многими виднейшими математиками, в том числе и нашим академиком и крупным математиком А. Н. Колмогоровым.