Методы сетевого планирования и управления

где Lni – любой путь, предшествующий i-ому событию, то есть путь от исходного до i-ого события сети.

Если событие j имеет несколько предшествующих путей, а следовательно, несколько предшествующих событий i, то ранний срок свершения события j удобно находить по формуле:

                   (2)

Задержка свершения события i по отношению к своему раннему сроку не отразится на сроке свершения завершающего события (а значит, и на сроке выполнения комплекса работ) до тех пор, пока сумма срока свершения этого события и продолжительности (длины) максимального из следующих за ним путей не превысит длины критического пути. Поэтому поздний (или предельный) срок tп(i) свершения i-ого события равен:

                     (3)

где Lci - любой путь, следующий за i-ым событием, т.е. путь от i-ого до завершающего события сети.

Если событие i имеет несколько последующих путей, а следовательно, несколько последующих событий j, то поздний срок свершения события i удобно находить по формуле:

                 (4)

Резерв времени R(i) i-ого события определяется как разность между поздним и ранним сроками его свершения:

                                (5)

Резерв времени события показывает, на какой допустимый период времени можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения комплекса работ.

Критические события резервов времени не имеют, так как любая задержка в свершении события, лежащего на критическом пути, вызовет такую же задержку в свершении завершающего события. Таким образом, определив ранний срок наступления завершающего события сети, мы тем самым определяем длину критического пути.

В качестве примера определим временные параметры событий и критический путь для сетевого графика, изображенного на рис.1. Найденные параметры сведем в таблицу 4.

При определении ранних сроков свершения событий tp(i) двигаемся по сетевому графику слева направо и используем формулы (1), (2).

Для i=1 (начального события), очевидно tp(1)=0. Для i=2 tp(2) = tp(1)+ t(1,2) = 0+10 = 10 (минут), так как для события 2 существует только один предшествующий путь 1 2. Для i=3 tp(3) = tp(1) + t(1,3) = 0+20=20, так как для события 3 существует один предшествующий путь 1 3. Для i=4 tp(4) = max{tp(2)+ t(2,4); tp(3)+t(3,4)}={10+30;20+0}=40, так как для события 4 существуют два предшествующих пути 1 2 4 и 1 3 4 и два предшествующих события 2 и 3. Аналогично определяем сроки раннего начала для остальных событий сети:

tp(5)= max{ tp(2)+t(2,5); tp(3)+t(3,5)}=max{10+0; 20+20}=max{10;40}=40;

tp(6)= tp(5)+t(5,6)=40+40=80;

tp(7)= max{ tp(4)+t(4,7); tp(6)+t(6,7)}=max{40+0; 80+0}=max{40;80}=80;

tp(8)= tp(7)+t(7,8)=80+20=100.

Длина критического пути равна раннему сроку свершения завершающего события 8:

tkp=tp(8)=100 (минутам).

 

Таблица 4

 

Номер события	Сроки свершения события, мин.		Резерв времени , мин. R(i)
	ранний tp(i)	поздний tп(i)
1	0	0	0
2	10	40	30
3	20	20	0
4	40	80	40
5	40	40	0
6	80	80	0
7	80	80	0
8	100	100	0

 

При определении поздних сроков свершения событий tп(i) двигаемся по сети в обратном направлении, то есть справа налево и используем формулы (3), (4).

Для i=8 (завершающего события) поздний срок свершения события должен равняться его раннему сроку (иначе изменится длина критического пути): tп(8)= tр(8)=100 (минут).

Для i=7 tп(7)= tп(8)- t(7,8)=100-20=80, так как для события 7 существует только один последующий путь 7 8.

Для i=6 tп(6)= tп(7)- t(6,7)=80-0=80, так как для события 6 существует только один последующий путь 6 7 8.

Для i=5 tп(5)= tп(6)- t(5,6)=80-40=40, так как для события 5 существует только один последующий путь 5 6 7 8.

Для i=4 tп(4)= tп(7)- t(4,7)=80-0=80, так как для события 4 существует только один последующий путь 4 7 8.

Для i=3 tп(3)=min{tп(4)- t(3,4); tп(5)- t(3,5)}=min{80-0; 40-20}=min{80; 20}=20, так как для события 3 существует два последующий пути 3 4 7 8 и 3 5 6 7 8.

Для i=2 tп(2)=min{tп(4)- t(2,4); tп(5)- t(2,5)}=min{80-30; 40-0}=min{50; 40}=40, так как для события 2 существует два последующий пути 2 4 7 8 и 2 5 6 7 8.

Для i=1 tп(1)=min{tп(2)- t(1,2); tп(3)- t(1,3)}=min{40-10; 20-20}=min{30; 0}=0.

По формуле (5) определяем резервы времени i-ого события:

R(1)=0; R(2)=30; R(3)=0 и т.д.

Резерв времени события 2 - R(2) = 30 – означает, что время свершения события 2 может быть задержано на 30 минут без увеличения общего срока выполнения проекта. Анализируя таблицу 4, видим, что не имеют резервов времени события 1,3,5,6,7,8. Эти события и образуют критический путь.

Теперь перейдем к параметрам работ.

Отдельная работа может начаться (и окончиться) в ранние, поздние и другие промежуточные сроки. При оптимизации графика возможно любое размещение работы в заданном интервале.

Очевидно, что ранний срок tрн(i,j) начала работы (i,j) совпадает с ранним сроком наступления начального (предшествующего) события i, то есть

tрн(i,j)= tр(i).                                      (6)

Тогда ранний срок tро(i,j) окончания работы (i,j) определяется по формуле

tро(i,j)= tр(i)+ t(i,j).                            (7)

Ни одна работа не может окончиться позже допустимого позднего срока своего конечного события j. Поэтому поздний срок tпо(i,j) окончания работы (i,j) определяется соотношением:

tпо(i,j)= tп(j),                                      (8)

а поздний срок tпн(i,j) начала этой работы – соотношением

tпн(i,j)= tп(j)- t(i,j).                             (9)

Прежде чем рассматривать резервы времени работ, обратимся к резерву времени пути. Такие резервы имеют все некритические пути. Резерв времени пути определяется как разность между длиной критического и рассматриваемого пути:

R(L)= tkp-t(L).                                  (10)

Он показывает, на сколько в сумме могут быть увеличены продолжительности всех работ, принадлежащих этому пути. Любая из работ пути L на его участке, не совпадающем с критическим путем (замкнутым между двумя событиями критического пути), обладает резервом времени.

Полный резерв времени Rп(i,j) работы (i,j) показывает, на сколько можно увеличить время выполнения данной работы при условии, что срок выполнения комплекса работ не изменится. Полный резерв Rп(i,j) определяется по формуле:

Rп(i,j)= tп(j)- tр(i)- t(i,j).                       (11)

Полный резерв времени работы равен резерву максимального из путей, проходящего через данную работу. Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы, если ее начальное событие свершится в самый ранний срок, и можно допустить свершение ее конечного события в самый поздний срок. Важным свойством полного резерва времени работы является то, что он принадлежит не только этой работе, но и всем полным путям, проходящим через нее.

Работы, лежащие на критическом пути, так же, как и критические события резервов времени не имеют.

Вычислим в качестве примера временные параметры работ для сетевого графика, изображенного на рис.1. Результаты вычислений сведем в таблицу 5. 

 

 

Таблица 5

 

Работа (i,j)	Продолжительность работы t(i,j)	Сроки начала и окончания работы				Резервы времени работы Rп(i,j)
		tрн(i,j)	tро(i,j)	tпн(i,j)	tпо(i,j)
(1,2)	10	0	10	30	40	30
(1,3)	20	0	20	0	20	0
(2,4)	30	10	40	50	80	40
(2,5)	0	10	10	40	40	30
(3,4)	0	20	20	80	80	60
(3,5)	20	20	40	20	40	0
(4,7)	0	40	40	80	80	40
(5,6)	40	40	80	40	80	0
(6,7)	0	80	80	80	80	0
(7,8)	20	80	100	80	100	0

 

Вычисление временных параметров работы (i,j) покажем на примере работы (2,4).

Ранний срок начала работы (по формуле (6)): tрн(2,4)= tр(2)=10. Ранний срок окончания работы (по формуле (7)): tро(2,4)= tр(2)+ t(2,4)=10+30=40. Поздний срок начала работы (по формуле (9)): tпн(2,4)= tп(4)- t(2,4)=80-30=50. Поздний срок окончания работы (по формуле (8)): tпо(2,4)= tп(4)=80.

Таким образом, работа (2,4) должна начаться в интервале [10, 50] и окончиться в интервале [40, 80] от начала выполнения проекта.

Полный резерв времени работы (2,4) (по формуле (11)): Rп(2,4)= tп(4)- tр(2)- t(2,4)=80-10-30=40, то есть срок выполнения данной работы можно увеличить на 40 минут, при этом срок выполнения комплекса работ не изменится.

Покажем на примере работы (2,4), что полный резерв времени работы равен резерву максимального из путей, проходящих через эту работу.

Через работу (2,4) проходит 1 полный путь: 1 2 4 7 8 продолжительностью 60 минут. По формуле (10) его резерв R(L)= tkp-t(L)=100-60=40. Как видим, полный резерв времени работы (2,4) равен резерву времени максимального (и единственного) полного пути, проходящего через эту работу. Если увеличить продолжительность работы (2,4) на 40 минут, то полностью будет исчерпан резерв времени этого пути, то есть этот путь станет также критическим.

Следует отметить, что кроме полного резерва времени работы, выделяют еще три разновидности резервов. Частный резерв времени первого вида R1 – часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом позднего срока ее начального события. R1 находится по формуле:

R(i,j)= Rп(i,j)- R(i).                           (12)

Частный резерв времени второго вида, или свободный резерв времени Rc работы (i,j) представляет собой часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом раннего срока ее конечного события. Rc находится по формуле:

Rс(i,j)= Rп(i,j)- R(j).                           (13)

Независимый резерв времени Rн работы (i,j) – часть полного резерва, получаемая для случая, когда все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие начинаются в ранние сроки. Rн находится по формуле:

Rн(i,j)= Rп(i,j)- R(i)- R(j).                   (14)

 

1.4. Оптимизация плана

Оптимизация сетевого графика представляет процесс улучшения организации выполнения комплекса работ с учетом срока его выполнения. Она проводится с целью сокращения длины критического пути, рационального использования ресурсов.

В первую очередь принимаются меры по сокращению продолжительности работ, находящихся на критическом пути. Это достигается: перераспределением всех видов ресурсов, как временных (использование резервов времени некритических путей), так и трудовых, материальных, энергетических; сокращением трудоемкости критических работ за счет передачи части работ на другие пути, имеющие резервы времени; параллельным выполнением работ критического пути; изменением состава работ и структуры сети.