Расчет температурных зависимостей электрофизических параметров полупроводников

Уровень Ферми в донорном полупроводнике смещается вверх  по шкале энергии, причем это смещение больше при низких температурах, когда  концентрация свободных электронов значительно превышает число  дырок. При повышении температуры, когда донорный характер полупроводника становится все менее и менее  выраженным, уровень Ферми смещается  в среднюю часть запрещенной  зоны, как в беспримесном полупроводнике.

Акцепторные полупроводники - получаются при добавлении в полупроводник  элементов, которые легко "отбирают" электрон у атомов полупроводника. Например, если к четырехвалентному  кремнию (или германию) добавить трехвалентный  индий, то последний использует свои три валентных электрона для  создания трех валентных связей в  кристаллической решетке, а четвертая  связь окажется без электрона. Электрон из соседней связи может перейти  на это пустое место, и тогда в  кристалле получится дырка. Это  показано на рисунке 1.7.2

В таком случае в кристалле  образуется избыток дырок. Не следует  забывать и об образовании пар  электрон - дырка, как это рассматривалось  в случае беспримесного полупроводника, однако вероятность этого процесса при комнатных температурах достаточно мала.

Рисунок 1.7.2 - Образование  и движение электронов и дырок  в полупроводниках

На языке зонной теории переход электрона из полноценной  ковалентной связи в связь  с недостающим электроном соответствует  появлению Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

25

ПГУ 4.210600 02 П3

в запрещенной зоне акцепторных  уровней вблизи нижнего края зоны проводимости. Схема такого состояния  показана на рисунке 1.7.3

 

Рисунок 1.7.3 - Схема электронных состояний акцепторного полупроводника

 

Электрону для такого перехода из валентной зоны на акцепторный  уровень (при этом электрон просто переходит  из одной ковалентной связи в  почти такую же другую связь) требуется  меньше энергии, чем для перехода из валентной зоны в зону проводимости (рисунок 1.7.3), то есть для "полного  ухода" электрона из ковалентной  связи.

При температурах порядка  комнатной основной вклад в проводимость полупроводника будут давать дырки, образовавшиеся в валентной зоне после перехода валентных электронов на акцепторные уровни, вероятность  же перехода электронов из валентной  зоны в зону проводимости будет очень  мала.

При увеличении температуры  значительная часть малого числа  акцепторных уровней окажется занятой  электронами. Кроме того, вероятность  перехода электронов из валентной зоны в зону проводимости станет значительной. Поскольку число уровней в  валентной зоне много больше, чем  число примесных уровнеИзм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

26

ПГУ 4.210600 02 П3

й, то с ростом температуры различие увеличивающихся концентраций электронов и дырок станет менее заметно, так как они отличаются на малую величину - концентрацию акцепторных уровней. Акцепторный характер полупроводника при этом будет все менее и менее выражен. И, наконец, при еще большем повышении температуры концентрация носителей заряда в полупроводнике станет очень большой, и акцепторный полупроводник станет аналогичен сначала беспримесному полупроводнику, а затем - проводнику.

Можно показать, что уровень  Ферми в акцепторном полупроводнике смещается вниз по шкале энергии, причем это смещение больше при низких температурах, когда концентрация дырок  значительно превышает концентрацию свободных электронов. При повышении  температуры, когда акцепторный  характер полупроводника становится все  менее и менее выраженным, уровень  Ферми смещается в среднюю  часть запрещенной зоны, как в  беспримесном полупроводнике.

Итак, при постепенном  увеличении температуры наблюдается  постепенное превращение как  донорного, так и акцепторного полупроводника в полупроводник аналогичный  беспримесному, а затем - в полупроводник  аналогичный по проводимости проводнику. В этом заключается причина отказа при перегреве полупроводниковых  устройств, состоящих из нескольких областей полупроводников донорного  и акцепторного типов. При увеличении температуры различия между областями  постепенно пропадает и в итоге  полупроводниковое устройство превращается в монолитный кусок хорошо проводящего  ток полупроводника.

 

 

 

 

 

1.8 Зависимость концентрации электронов  от энергии уровня Ферми

 

 

Концентрация электронов в зоне проводимости от донорных примесей

определяется положением уровня Ферми  и нИзм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

27

ПГУ 4.210600 02 П3

аходится из выражения, связывающего ее с уровнем Ферми,

где E_F — энергия уровня Ферми;

Еc— энергия, соответствующая дну зоны проводимости;

k—постоянная Больцмана;

Т—абсолютная температура;

h—постоянная Планка;

m_n — эффективная масса электрона.

Для построения зависимости концентрации электронов в зоне проводимости n от уровня Ферми необходимо подставить в уравнение:

 

 

 

1.9 Положение уровня Ферми и  концентрация свободных носителей  заряда в собственных полупроводниках

 

В собственном беспримесном полупроводнике положение уровня Ферми  можно найти из условия, что количество электронов в зоне проводимости равно  количеству дырок в валентной  зоне: индекс i здесь и далее обозначает принадлежность к собственному полупроводнику.

                                                                                                         (1.9.1)

Условие (1.9.1) приводит к тому, что  уровень Ферми должен располагаться  приблизительно посередине запрещенной  зоны. Если уровень Ферми расположить  ближе к зоне проводимости, то в  таком полупроводнике электронов будет  много больше, чем дырок, так как  степень заполнения f(E) Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

28

ПГУ 4.210600 02 П3

 состояний у дна зоны проводимости существенно больше, чем степень их незаполненности (1-f(E)) у потолка валентной зоны. Функция распределения f(E) для этого случая представлена на рисунке 1.9.1, где для удобства сопоставления с энергетическими схемами ось энергий направлена вверх.

 

Рисунок 1.9.1 - Функции распределения f(E) в полупроводниках n-типа ().

 

Рисунок 1.9.2 - Функции распределения f(E) в полупроводниках n-типа ()

 

 

Наоборот, если поместить уровень  Ферми вблизи валентной зоны, то дырок в валентной зоне станет много больше, чем электронов в  зоне проводимости.

 

Таким образом, обеспечить равенство  количеств электронов и дырок  можно

только в том случае, если расположить  уровень ФеИзм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

29

ПГУ 4.210600 02 П3

рми посередине запрещенной зоны. В общем случае, однако, уровень Ферми в собственном полупроводнике расположен лишь приблизительно посередине запрещенной зоны. Дело в том, что функции плотности состояний в зоне проводимости и валентной зоне могут отличаться друг от друга. Например, если то согласно 1.9.2 и 1.9.3 плотность состояний в зоне проводимости выше, чем в валентной зоне (при одинаковом расстоянии рассматриваемых интервалов энергии от краев соответствующих зон).

 

Рисунок 1.9.3 - Зависимость концентрации свободных носителей тока от температуры  в собственном полупроводнике

 

В таком случае для выравнивания концентраций электронов и дырок  следует несколько опустить уровень  Ферми к валентной зоне. Наоборот, если то уровень Ферми должен быть несколько выше середины запрещенной зоны.

Точное значение энергии Ферми  в собственном полупроводнике получим

 

                                                                          (1.9.2)

                 (1.9.3)

 

При уровень Ферми расположен посередине запрещенной зоны, при повышении температуры он смещается к той зоне, где меньше плотность состояний. Такая зависимость показана на рисунке 1.9.4

 

Рисунок 1.9.4 - Зависимость  энергии Ферми (штрихпунктирная линия) от температуры в собственном полупроводнике

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

30

ПГУ 4.210600 02 П3

 

Так как обычно не очень сильно отличается от , то для полупроводников с шириной запрещенной зоны эВ или больше можно считать . Для узкозонных же полупроводников смещение уровня Ферми от середины запрещенной зоны нельзя не учитывать.

Найдём концентрацию свободных  носителей тока в собственном  полупроводнике:

 

        (1.9.4)

 

Из (1.6.4) видно, что равновесная концентрация носителей тока в собственном  полупроводнике определяется шириной  запрещенной зоны и температурой полупроводника, причем зависимость , от Т и очень резкая. Так, уменьшение с 1,12 эВ (кремний) до 0,08 эВ (серое олово) приводит при комнатной температуре к увеличению , на 9 порядков; увеличение температуры германия со 100 до 600 К повышает на 17 порядков. Прологарифмируем выражение (1.9.4)

                                                                            (1.9.5)

 

 

Так как  зависит от температуры гораздо слабее, чем по степенному закону, то график зависимости от представляет собой приблизительно прямую линию с угловым коэффициентом .

Для узкозонных полупроводников приИзм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

31

ПГУ 4.210600 02 П3

 повышенных температурах уровень  Ферми может оказаться слишком  близко (ближе, чем на () к одной из зон или даже к обеим зонам. В таком случае пользоваться выражениями и для невырожденных газов электронов и дырок нельзя и уравнение (1.9.5) следует решать численно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Расчёт электрофизических параметров донорного полупроводника

Для того чтобы произвести расчёты  нужных параметров в среде Mathcad вводим необходимые величины так:

Число долин в валентной зоне:

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

32

ПГУ 4.210600 02 П3

 

Число долин в зоне проводимости:

 

Постоянная Больцмана:

Д ж /К

 

Масса покоя электрона:

к г

 

Массы электронов по главным осям эллипсоида:

к г

к г

к г

 

 

 

Массы дырок по главным осям эллипсоида:

к г

к г

 

к г

 

 

Элементарный заряд:

 К л

 

Постоянная Планка:

Д ж  с 

 

Энергия донорного уровня:

э В

 

Концентрация донорных атомов:

с м ^-3

 

Ширина запрещённой зоны:

э В

Диапазон температур: Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

33

ПГУ 4.210600 02 П3

 

 (К)

 (К)

 

          После чего последовала необходимость перевести их в систему СИ. Теперь, когда все данные переведены в систему СИ, можно начать с приближённого расчёта зависимости концентрации электронов от температуры.

Для начала находим среднюю температуру и эффективную массу электронов и дырок и , которые далее необходимы для вычисления эффективной плотности состояний в валентной зоне и зоне проводимости и :

Рассчитываем значение средней температуры по формуле:

                                                    

(К)

 Полученное значение средней  температуры: