Индексный метод изучения цен

Факторный и результативный признаки либо задаются в условии  задания, либо определяются путем проведения предварительного теоретического анализа. Лишь после того, как выяснена экономическая  сущность явления и определены факторный  и результативный признаки, приступают к проведению корреляционного анализа  данных.

В нашем случае факторным является признак Цена товара (X), результативным – признак Объем продажи (Y).

1. Установление  наличия и характера связи  между признаками Цена товара и Объем продажи аналитической группировки

Применение  метода аналитической группировки

При использовании метода аналитической группировки строится интервальный ряд распределения  единиц совокупности по факторному признаку Х и для каждой j-ой группы ряда определяется среднегрупповое значение результативного признака Y. Если с ростом значений фактора Х от группы к группе средние значения систематически возрастают (или убывают), между признаками X и Y имеет место корреляционная связь.

Используя разработочную  таблицу 2.3, строим аналитическую группировку, характеризующую зависимость между факторным признаком Х – Цена товара и результативным признаком Y – Объем продажи. Макет аналитической таблицы имеет следующий вид (табл. 2.7):

 

Таблица 2.7

Зависимость объема продажи товара А магазинов от цены

Номер группы	Группы магазинов по цене товара, руб.	Число магазинов	Объем продажи, тыс.шт.
			всего	в среднем на один магазин
1
2
3
4
5
Итого

Групповые средние значения получаем из таблицы 2.3 (графа 4), основываясь на итоговых строках «Всего». Построенную аналитическую группировку представляет табл. 2.8.

Таблица 2.8

Зависимость объема продажи товара А магазинов от цены

Номер группы	Группы магазинов по цене товара, руб., х	Число магазинов, fj	Объем продажи, тыс.шт.
			всего	в среднем на один магазин,
1	2	3	4	5=4:3
1	600 – 650	5	349	69,800
2	650 – 700	7	427	61,000
3	700 – 750	8	424	53,000
4	750 – 800	6	264	44,000
5	800 – 850	4	156	39,000
	Итого	30	1620	54,000

Вывод. Анализ данных табл. 2.8 показывает, что с увеличениемцены товара от группы к группе систематически снижается средний объем продаж по каждой группе магазинов, что свидетельствует о наличии обратной корреляционной связи между исследуемыми признаками.

2. Измерение тесноты  и силы корреляционной связи  с использованием коэффициента  детерминации и эмпирического  корреляционного отношения

Для измерения тесноты  и силы связи между факторным  и результативным признаками рассчитывают специальные показатели – эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение .

Эмпирический  коэффициент детерминации оценивает силу связи, определяя, насколько вариация результативного признака Y объясняется вариацией фактора Х (остальная часть вариации Y объясняется вариацией прочих факторов). Показатель рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии по формуле

,       (9)

где  – общая дисперсия признака Y,

 – межгрупповая (факторная)  дисперсия признака Y.

Значения показателя изменяются в пределах . При отсутствии корреляционной связи между признаками Х и Y имеет место равенство =0, а при наличии функциональной связи между ними – равенство =1.

Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных). Этот показатель вычисляется по формуле

,      (10)

где  y_i – индивидуальные значения результативного признака;

– общая средняя значений результативного признака;

n – число единиц совокупности.

Общая средняя  вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:

    (11)

или как средняя взвешенная по частоте групп интервального ряда:

      (12)

Для вычисления удобно использовать формулу (11), т.к. в табл. 2.8 (графы 3 и 4 итоговой строки) имеются значения числителя и знаменателя формулы.

Расчет  по формуле (11):

 

Для расчета общей дисперсии  применяется вспомогательная таблица 2.9.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 2.9

Вспомогательная таблица  для расчета общей дисперсии

Номер магазина п/п	Объем продажи, тыс.шт.
1	2	3	4	5
1	40	-14,000	196,000	1600,000
2	64	10,000	100,000	4096,000
3	42	-12,000	144,000	1764,000
4	43	-11,000	121,000	1849,000
5	54	0,000	0,000	2916,000
6	43	-11,000	121,000	1849,000
7	66	12,000	144,000	4356,000
8	60	6,000	36,000	3600,000
9	50	-4,000	16,000	2500,000
10	64	10,000	100,000	4096,000
11	52	-2,000	4,000	2704,000
12	71	17,000	289,000	5041,000
13	62	8,000	64,000	3844,000
14	53	-1,000	1,000	2809,000
15	57	3,000	9,000	3249,000
16	45	-9,000	81,000	2025,000
17	70	16,000	256,000	4900,000
18	59	5,000	25,000	3481,000
19	50	-4,000	16,000	2500,000
20	41	-13,000	169,000	1681,000
21	70	16,000	256,000	4900,000
22	45	-9,000	81,000	2025,000
23	52	-2,000	4,000	2704,000
24	60	6,000	36,000	3600,000
25	56	2,000	4,000	3136,000
26	49	-5,000	25,000	2401,000
27	72	18,000	324,000	5184,000
28	35	-19,000	361,000	1225,000
29	58	4,000	16,000	3364,000
30	37	-17,000	289,000	1369,000
Итого	1620	0,000	3288,000	90768,000

 

Расчет общей дисперсии  по формуле (10):

 

Общая дисперсия может  быть также рассчитана по формуле

,

где – средняя из квадратов значений результативного признака,

 – квадрат средней  величины значений результативного  признака.

В нашем случае:

 

 

Тогда

 

Межгрупповая  дисперсия измеряет систематическую  вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка). Воздействие фактора Х на результативный признак Y проявляется в отклонении групповых средних от общей средней . Показатель вычисляется по формуле

,    (13)

где     –групповые средние,

 – общая средняя,

–число единиц в j-ой группе,

k – число групп.

Для  расчета  межгрупповой  дисперсии  строится  вспомогательная таблица 2.10. При этом используются  групповые средние значения из табл. 2.8 (графа 5).

 

Таблица 2.10

Вспомогательная таблица  для расчета межгрупповой дисперсии

Группы магазинов по цене товара, руб.	Число магазинов,	Среднее значение в группе
1	2	3	4	5
600 – 650	5	69,8	15,8	1248,2
650 – 700	7	61	7	343
700 – 750	8	53	-1	8
750 – 800	6	44	-10	600
800 – 850	4	39	-15	900
Итого	30			3099,2

Расчет межгрупповой дисперсии по формуле (13):

 

Расчет эмпирического  коэффициента детерминации по формуле (9):

 ^{или 94,3%} 

Вывод. 94,3% вариации объема продажи магазинов обусловлено вариацией цены товара, а 5,7% – влиянием прочих неучтенных факторов.

Эмпирическое  корреляционное отношение оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле

                  (14)

Значение показателя изменяются в пределах . Чем ближе значение к 1, тем теснее связь между признаками. Для качественной оценки тесноты связи на основе служит шкала Чэддока (табл. 2.11):

 

 

 

Таблица 2.11

Шкала Чэддока

h	0,1 – 0,3	0,3 – 0,5	0,5 – 0,7	0,7 – 0,9	0,9 – 0,99
Характеристика силы связи	Слабая	Умеренная	Заметная	Тесная	Весьма тесная

Расчет эмпирического  корреляционного отношения  по формуле (14):

 

Вывод. Согласно шкале Чэддока связь между объемом продажи и ценой товара магазинов является весьма тесной.

3. Оценка статистической  значимости коэффициента детерминации  .

Показатели  и рассчитаны для выборочной совокупности, т.е. на основе ограниченной информации об изучаемом явлении. Поскольку при формировании выборки на первичные данные могли иметь воздействии какие-либо случайные факторы, то есть основание полагать, что и полученные характеристики связи , несут в себе элемент случайности. Ввиду этого, необходимо проверить, насколько заключение о тесноте и силе связи, сделанное по выборке, будет правомерными и для генеральной совокупности, из которой была произведена выборка.

Проверка выборочных показателей  на их неслучайность осуществляется в статистике с помощью тестов на статистическую значимость (существенность) показателя. Для проверки значимости коэффициента детерминации  служит дисперсионный F-критерий Фишера, который рассчитывается по формуле

,

где  n – число единиц выборочной совокупности,

m – количество групп,

 – межгрупповая дисперсия,

 – дисперсия j-ой группы (j=1,2,…,m),

 – средняя арифметическая групповых дисперсий.

Величина рассчитывается, исходя из правила сложения дисперсий:

,

где – общая дисперсия.

Для проверки значимости показателя рассчитанное значение F-критерия F_расч сравнивается с табличным F_табл для принятого уровня значимости и параметров k1, k2, зависящих от величин n и m : k₁=m-1, k₂=n-m. Величина F_табл для значений , k_1, k₂ определяется по таблице распределения Фишера, где приведены критические (предельно допустимые) величины F-критерия  для различных комбинаций  значений  , k_1, k₂. Уровень значимости в социально-экономических исследованиях обычно принимается равным 0,05 (что соответствует доверительной вероятности Р=0,95).

Если F_расч>F_табл , коэффициент детерминации признается статистически значимым, т.е. практически невероятно, что найденная оценка обусловлена только стечением случайных обстоятельств. В силу этого, выводы о тесноте связи изучаемых признаков,  сделанные на основе выборки, можно распространить на всю генеральную совокупность.

Если F_расч<F_табл, то показатель считается статистически незначимым и, следовательно, полученные оценки силы связи признаков относятся только к выборке, их нельзя распространить на генеральную совокупность.

Фрагмент таблицы Фишера критических величин F-критерия для значений =0,05; k₁=3,4,5; k₂=24-35 представлен ниже:

 

Таблица 2.12

	k2
k1	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35
3	3,01	2,99	2,98	2,96	2,95	2,93	2,92	2,91	2,90	2,89	2,88	2,87
4	2,78	2,76	2,74	2,73	2,71	2,70	2,69	2,68	2,67	2,66	2,65	2,64
5	2,62	2,60	2,59	2,57	2,56	2,55	2,53	2,52	2,51	2,50	2,49	2,48

Расчет дисперсионного F-критерия Фишера для оценки =94,3%, полученной при =109,6, =103,307:

             F_расч

Табличное значение F-критерия при = 0,05:

Таблица 2.13

n	m	k1=m-1	k2=n-m	Fтабл (,4, 25)
30	5	4	25	2,76