Контрольная работа по "Основам статистики"

  Методы  сглаживания разделяются на две большие группы:

I) сглаживание  или механическое выравнивание  отдельных членов ряда динамики с использованием фактических значений соседних уровней;

2) выравнивание  с применением прямой или кривой  линии, согласно уравнению такой функции, чтобы она отображала тенденцию, присущую ряду, и одновременно освободила его от незначительных колебаний.

   К основным методам первой группы относятся: метод усреднения по левой и правой половине, метод укрупнения интервалов, методы простой и взвешенной скользящей средней.

При использовании  метода усреднения по левой и правой половине ряд динамики разделяют на две части, находят для каждой из них среднее арифметическое значение и проводят через полученные точки линию тренда на графике.

   При методе скользящих средних исходные уровни ряда заменяются средними величинами, которые получают из данного уровня и нескольких симметрично его окружающих. Целое число уровней, по которым рассчитывается среднее значение, называют интервалом сглаживания. Интервал может быть чётным или нечётным.

     Таблица 7.1

     Сглаживание ряда фонд заработной платы

Месяц	Фонд заработной платы, тыс.руб.	Усреднение  по левой или правой половине	Усреднение  по скользящим средним с интервалом 3
Январь	225287
Февраль	237487		233353,67
Март	237287	236520,33	237687
Апрель	238287		238687
Май	240487		239687
Июнь	240287		240820,33
Июль	241687		241920,33
Август	243787		242587
Сентябрь	242287	244153,67	243553,67
Октябрь	244587		244287
Ноябрь	245987		245720,33
Декабрь	246587

 

     

     К основным методам второй группы можно  отнести: аналитическое выравнивание, дисперсионный и корреляционный анализ.

   Целью аналитического выравнивания динамического ряда является определение аналитической или графической зависимости у_t. На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции, а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию выбирают таким образом, чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса.

   Линейная  зависимость (y_t=a_o+a₁t) выбирается в тех случаях, когда в исходном временном ряду наблюдается более или менее постоянные абсолютные цепные приросты, не проявляющие тенденции ни к увеличению, ни к снижению.

   Параболическая  зависимость (y_t=a_o+a₁t+a₂t²) используется если абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития, но абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют.

   Экспоненциальные  зависимости (у = ехр/а₀ + а₁t) применяются, если в исходном временном ряду наблюдается либо более или менее постоянный относительный прирост (устойчивость цепных темпов роста, темпов прироста), либо, при отсутствии такого постоянства, - устойчивость в изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста).

   Оценка  параметров зависимости может быть сделана методами избранных точек, наименьших расстояний, наименьших квадратов. В большинстве расчётов используют метод наименьших квадратов, рассматриваемый в курсе математической статистики. По этому методу, например, для нахождения параметров прямой линии необходимо решить следующую систему уравнений:

     

Для линейной зависимости параметр а₀ обычно интерпретации не имеет, но иногда его рассматривают как обобщённый начальный уровень ряда; а₁ - сила связи, т.е. параметр, показывающий, на сколько изменится результат при изменении времени на единицу. 

       Проведем  поиск линейной зависимости методом  наименьших квадратов. Для расчетов построим таблицу  

      Таблица 7.2

      Сводная таблица для линейной функции

Месяц Уфакт t t2 У t Урасч линейн (Уф - Ур) (Уф - Ур)2 1 225287 1 1 225287 232775,4615 -7488,4615 56077056,2130 2 237487 2 4 474974 234150,2867 3336,7133 11133655,5577 3 237287 3 9 711861 235525,1119 1761,8881 3104249,7188 4 238287 4 16 953148 236899,9371 1387,0629 1923943,5914 5 240487 5 25 1202435 238274,7622 2212,2378 4893995,9167 6 240287 6 36 1441722 239649,5874 637,4126 406294,8066 7 241687 7 49 1691809 241024,4126 662,5874 439022,0793 8 243787 8 64 1950296 242399,2378 1387,7622 1925884,0286 9 242287 9 81 2180583 243774,0629 -1487,0629 2211356,1788 10 244587 10 100 2445870 245148,8881 -561,8881 315718,2503 11 245987 11 121 2705857 246523,7133 -536,7133 288061,1521 12 246587 12 144 2959044 247898,5385 -1311,5385 1720133,1361 ИТОГО 2884044 78 650 18942886 2884044 0,0000 84439370,6294

 

      Такая процедура позволит упростить расчеты при решении системы нормальных уравнений. При данных обозначениях и линейной форме графика у (t) она будет выглядеть следующим образом:

   ,

    где n –– количество точек (уровней) в исходном ряду динамики;

        а₀ и а₁ –– коэффициенты регрессии;

        y – фактические значения исходного ряда.

  Выразим отсюда a0 и a1.

    

  ==1374,83

  =231400,61 

  Найдя значение а₀ и а₁, можно построить уравнение

  У(t)=а₀+а₁∙* t

  У(t)= 231400,61+1374,83 * t  

      Подставляя  сюда значение t_i, получим выровненный ряд динамики и теоретические значения показателя (У_расч). 

       

       Выводы:

  Линейная  прогноз для фонда заработной платы по месяцам описывается  формулой У(t)= 231400,61+1374,83 * t , где t - номер месяца в году, а Y - прогнозируемый размер фонда заработной платы.

 

       

  Задание 8

 

       Индексным методом определить влияние на изменение  фонда заработной платы в декабре по сравнению с январем средней заработной платы на одного рабочего и их численности.

       Таблица 8.1

       Показатели  оплаты труда на предприятии за январь и декабрь

Месяц	Численность рабочих (на конец месяца), чел.	Фонд заработной платы, тыс. руб.	Средняя заработная плата, тыс. руб.
	q	pq	p
Январь	11247	225287	20,03
Декабрь	13037	246587	18,91

 

  Индексный метод широко применяется для  анализа роли отдельных факторов в динамике какого-либо сложного явления, изменение которого обусловлено действием нескольких факторов, выступающих как множители совокупного результата. Если, например, величина объёма товарооборота равна произведению количества продажи товаров на их цены, то индекс товарооборота равен произведению индекса физического объёма на индекс цен:

     Индексный метод позволяет также представить  абсолютный прирост стоимости как результат влияния отдельных факторов: изменения цен и количества:

     Общее изменение стоимости равно алгебраической сумме изменений за счет каждого фактора:

    Индексной системой часто пользуют для расчета  третьего показателя, если известны два других, входящих в систему.

    В общем виде, если а = б*с*д*е, то

I_а = I_б * I_с * I_д * I_е

Dа = (б₁– б₀)*с₁*д₁*е₁ + б₀*(с₁ –с₀)*д₁*с₁ +б₀*с₀*(д₁  -д₀)*с₁  +б₀*с₀*д₀(е₁-е₀) 

       Оценим  влияние изменения численности  и средней заработной платы на изменение фонда заработной платы.

= 18,91*13037-20,03*13037 = -14601,44

=  20,03*13037-20,03*11247 = 35853,7

        =-14601,44+35853,7=21252,26

        =246587-225287=21300

       Проведем  расчеты индексов для численности  заработной платы, фонда заработной платы и средней заработной платы.

       Индекс заработной платы

       Ip = 18,91/20,03=0,9441 

       Индекс  численности рабочих

       Iq = 13037/11247 = 1,1592 

       Тогда индекс изменения фонда заработной платы будет равен

       Ipq = 246587/225287=1,0945

       Ipq = Ip * Iq = 0,9441*1,1592=1,0944 

       Вывод:

       За  счет изменения средней заработной платы в декабре по сравнению с январем фонд заработной платы изменился на -14601,44 тыс.руб. (т.е. в 0,9441 раза), а за счет изменения численности на 35853,7 тыс.руб.  т.е. в 1,1592 раза)). В общем фонд заработной платы вырос на 21300 тыс.руб. т.е. в 1,0945 раза. 

 

    

  Задание 9

   С помощью корреляционно-регрессионного анализа  изучить связь между  первым и вторым признаками. Для  этого:

   а) построить эмпирическую линию регрессии:

   б) оценить тесноту связи между  признаками;

   в) найти уравнение связи, график которого представить в той же системе координат, что и эмпирическая линия регрессии.

   г) сделать выводы 

     Парная  регрессия характеризует связь  между двумя признаками: результативным и факторным. Аналитическая связь между ними описывается уравнениями:

     • прямой у_х = а_о + а₁х

          •         гиперболы

     • параболы и т.д.

     Определить  тип уравнение можно, исследуя зависимость  графически. Однако существуют более  o6щиe указания, позволяющие выявить уравнение связи, не прибегая к графическому изображению, если результативные и факторные признаки возрастают одинаково, примерно в арифметической прогрессии, то это свидетельствует о том, что связь между ними линейная, а при обратной связи – гиперболическая. Если факторный признак увеличивается в арифметической прогрессии, а результативные - значительно быстрее, то используется параболическая, или степенная регрессия.

     Оценка  параметров уравнений регрессии  осуществляется методом наименьших квадратов. Сущность этого метода заключается  в нахождении параметров модели, при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических значений результативного признака от теоретических.

     Системы нормальных уравнений для нахождения параметров регрессии имеют вид:

- для  линейной зависимости 

- гиперболы 

- параболы   

   Параметр а_о в уравнениях регрессии - постоянная величина и, как правило, экономического смысла не имеет. Другие параметры при х называются коэффициентами регрессии, которые показывают на сколько единиц в среднем изменится у при изменении х на одну единицу. 
 

      Таблица 9.1

      Сводная таблица для построения линейной регрессии

Уфакт x x2 У x Урасч линейн (Уф - Ур) (Уф - Ур)2 y2 1 678287 11298 127644804 7663286526 676660,7731 1626,23 2644613,97 460073254369,00 2 679187 11438 130827844 7768540906 677829,5167 1357,48 1842760,92 461294980969,00 3 679287 11438 130827844 7769684706 677829,5167 1457,48 2124257,58 461430828369,00 4 679487 11938 142515844 8111715806 682003,6010 -2516,60 6333280,65 461702583169,00 5 679887 11988 143712144 8150485356 682421,0094 -2534,01 6421203,86 462246332769,00 6 679387 11938 142515844 8110522006 682003,6010 -2616,60 6846600,86 461566695769,00 7 685587 12158 147816964 8335366746 683840,1981 1746,80 3051316,84 470029534569,00 8 686187 12338 152226244 8466175206 685342,8685 844,13 712558,05 470852598969,00 9 685487 12238 149768644 8388989906 684508,0516 978,95 958339,97 469892427169,00 10 686387 12838 164814244 8811836306 689516,9528 -3129,95 9796604,42 471127113769,00 11 684587 12858 165328164 8802419646 689683,9162 -5096,92 25978554,29 468659360569,00 12 699487 13088 171295744 9154885856 691603,9949 7883,01 62141768,77 489282063169,00   8203244 145556 1769294328 99533908972 8203244 0,00 128851860,18 5608157773628,00