Методы описательной статистики

Введение.

 

     Общая теория статистики  включает два крупных раздела:  описательную статистику и аналитическую  статистику. В курсовом проекте  рассматриваются методы описательной  статистики: группировка данных, построение  статистических таблиц и графиков, а также вычисление основных статистических показателей.

     Задачи в составе  курсового проекта позволяют,  освоит основные статистические  методы.  Для использования этих  методов, требуется понимание  соответствующих разделов общей  теории статистики.

     Расчеты в процессе курсового проектирования выполняются с помощью калькулятора, графики строятся на миллиметровой бумаге. Выполнение всех операций «вручную» позволяет получить глубокое понимание статистических методов и освоить практические навыки статистической обработки данных.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Исходные данные.

                                     Таблица №1 «Исходные данные».

N	X	Y	Z	G
1	29	-82	28	42
2	31	-86	45	75
3	32	-89	-38	61
4	33	-93	57	65
5	32	-88	-26	69
6	35	-92	-26	60
7	33	-89	49	57
8	29	-87	-38	70
9	35	-93	14	63
10	37	-98	-51	55
11	36	-97	-25	72
12	38	-97	10	79
13	39	-100	-27	63
14	35	-105	-62	70
15	39	-100	-16	62
16	39	-101	-30	73
17	41	-111	-88	82
18	41	-108	-46	87
19	41	-109	-23	88
20	41	-118	-26	85
21	40	-120	-90	88
22	40	-107	31	76
23	41	-117	11	69
24	45	-127	10	89
25	45	-125	-27	90
26	43	-120	-25	86
27	47	-126	-30	93
28	47	-128	31	91
29	43	-125	38	87
30	45	-126	-16	95

                                                             

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 1.

     Вычислить показатели  вариации по каждой из выборок  X,Y,Z

• среднее арифметическое;
• моду;
• медиану;
• размах вариации;
• дисперсию;
• стандартное отклонение;
• среднее линейное отклонение;
• коэффициенты осцилляции и вариации.

 

Методика решения

     Показатели вариации вычисляются следующим образом.

1. Среднее значение - средняя арифметическая простая.

Среднее арифметическое значение вычислим по формуле:

,       ,    

  где n-объем выборки.

В данном случае n=30

Подставив в формулу известные  значения, получим средние арифметические по 3-м выборкам X,Y,Z

   x = = 38,4

 

  

 

2. Мода – такое значение варьирующего признака, которое в данном ряду распределения имеет наибольшую частоту. Для нахождения моды необходимо расположить все исходные данные в порядке возрастания. Повторяющиеся значения записываем столько раз, сколько они повторяются в массиве. Затем выбираем значение с наибольшей частотой.

=

Строим дополнительную таблицу:                                                                                                                                              Таблица №2 «X,Y,Z в возрастающем порядке».

X	Y	Z
29	-128	-90
29	-127	-88
31	-126	-62
32	-126	-51
32	-125	-46
33	-125	-38
33	-120	-38
35	-120	-30
35	-118	-30
35	-117	-27
36	-111	-27
37	-109	-26
38	-108	-26
39	-107	-26
39	-105	-25
39	-101	-25
40	-100	-23
40	-100	-16
41	-98	-16
41	-97	10
41	-97	10
41	-93	11
41	-93	14
43	-92	28
43	-89	31
45	-89	31
45	-88	38
45	-87	45
47	-86	49
47	-82	57

 

                                                                                                                                        

 

Найдем значение с наибольшей частотой.

Из таблицы видно, что  (X)=41, (Y)=-126, (Z)=-26.

 

3. Медиана – такое значение варьирующего признака, которое делит ряд распределения на две равные части по объему частот.

     Если ряд  распределения дискретный и состоит  из четного числа членов, то  медиана определяется как средняя  величина из двух серединных  значений ранжированного ряда. Если  в дискретном ряду нечетное  число уровней, то медианой  будет серединное значение ранжированного ряда.

        если n - четное                                       

Так как данный ряд состоит из четного числа членов, то используем формулу №2:

 

4.Размах вариации - показывает разницу между максимальным и минимальным значением.

Найдем максимальное и минимальное  значения для X,Y,Z 

 

5.Дисперсия - средний квадрат отклонения от среднего значения.

Построим дополнительную таблицу для последующих вычислений:

                                                                                                                                 Таблица №3.

 

№
1	29	-128	-90	12	2	64	144	4	4096
2	29	-127	-88	12	1	62	144	1	3844
3	31	-126	-62	10	0	36	100	0	1296
4	32	-126	-51	9	0	25	81	0	625
5	32	-125	-46	9	1	20	81	1	400
6	33	-125	-38	8	1	12	64	1	144
7	33	-120	-38	8	6	12	64	36	144
8	35	-120	-30	6	6	4	36	36	16
9	35	-118	-30	6	8	4	36	64	16
10	35	-117	-27	6	9	1	36	81	1
11	36	-111	-27	5	15	1	25	225	1
12	37	-109	-26	4	17	0	16	289	0
13	38	-108	-26	3	18	0	9	324	0
14	39	-107	-26	2	19	0	4	361	0
15	39	-105	-25	2	21	1	4	441	1
16	39	-101	-25	2	25	1	4	625	1
17	40	-100	-23	1	26	3	1	676	9
18	40	-100	-16	1	26	10	1	676	100
19	41	-98	-16	0	28	10	0	784	100
20	41	-97	10	0	29	36	0	841	1296
21	41	-97	10	0	29	36	0	841	1296
22	41	-93	11	0	33	37	0	1089	1369
23	41	-93	14	0	33	40	0	1089	1600
24	43	-92	28	2	34	54	4	1156	2916
25	43	-89	31	2	37	57	4	1369	3249
26	45	-89	31	4	37	57	16	1369	3249
27	45	-88	38	4	38	64	16	1444	4096
28	45	-87	45	4	39	71	16	1521	5041
29	47	-86	49	6	40	75	36	1600	5625
30	47	-82	57	6	44	83	36	1936	6889

 

 

Подставив в формулу значения, занесенные в таблицу, рассчитаем дисперсию:

 

6. Стандартное отклонение – квадратный корень из дисперсии.

=5,8072;

 =25,5153;    

=40,4372.

7.Среднее линейное отклонение – учитывает различия всех единиц изучаемой совокупности, определяется как среднее арифметическое из отклонений индивидуальных значений без учета знака этих отклонений

Подставим, уже рассчитанные и занесенные в таблицу № значения в формулу:

8.Относительные показатели вариации вычисляют как отношение абсолютного показателя к среднему значению, выраженное в процентах.

     Коэффициент осцилляции – отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней

             где R- размах вариации

   - среднее значение

 

Подставляя полученные значения в  формулу, получим:

   Линейный коэффициент вариации – характеризует долю усредненного значения абсолютных отклонений от средней величины

Подставляя полученные значения в  формулу, получим:

  Коэффициент вариации – используется для сравнения размеров вариации в вариационных рядах с различными средними, а также для сравнения вариации разных показателей в одной и той же совокупности

Подставляя в формулу значения, получим коэффициент вариации:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2.

 

     По каждой из выборок X, Y, Z:

• провести группировку данных по интервалам равной длины;
• составить вариационный ряд;
• вычислить относительные частоты и накопленные частости;
• построить полигон, гистограмму и кумуляту;
• нанести на график кумуляты график накопленных частот без группировки

 

Методика решения:

     Вариационный ряд – это значение признака (или интервалы значений) и их частоты. Вариационный ряд позволяет по фактическим данным оценить форму закона распределения.

Для группировки данных вначале  выберем число интервалов группирования и границы интервалов. Число групп, по которому разбивается совокупность по количественному признаку, зависит от объема совокупности и разброса значений этого признака. Интервалы должны полностью охватывать все значения признака в изучаемой выборке. Желательно выбрать интервалы равной длины с «круглыми» границами. Для определения числа групп воспользуемся формулой Стерджесса.

 

 

где k – число групп;

n – объем выборки (число единиц совокупности)

 

Используя данную формулу получаем число групп:

 

6

Следовательно, всю нашу совокупность мы должны разбить на 6 групп.

     Поскольку группировка  данных нужна для изучения  формы распределения, мы должны  учитывать, что с одной стороны,  число интервалов должно быть достаточно большим, чтобы изучить форму распределения. С другой стороны, число интервалов не должно быть слишком большим – тогда в каждый диапазон попадает несколько единиц совокупности. Желательно избегать получения «малочисленных» или пустых групп.

     После определения  числа групп, мы должны определить  интервал группировки.

Ширина  интервала – разница между верхней и нижней границами.

 

 

где  максимальное значение данной совокупности;

минимальное значение донной совокупности;

       число групп

 

Подставляя значения в формулу, получим интервалы группировок  для X, Y, Z.

 

 

                                                            

     После того как  сформированы группы, посчитывают абсолютные частоты – число «попаданий» признака в каждый интервал, т. е число объектов в каждой группе. Каждая единица совокупности учитывается только один раз. Если значение  оказывается на границе интервала, его относят к «левому» интервалу и не учитывают в «правом» интервале.

Частости – относительные частоты, выраженные в процентах.

где - частота повторений;

n – объем выборки.

Подставляя значения в формулу, получим частости X,Y,Z:

 

Накопленные (кумулятивные) частоты:

где  - частота повторений j – го значения признака;

 i – число вариантов;

Каждая накопленная частость –  сумма текущей частости и всех предыдущих.

Для упрощения можно складывать текущую частосту и предыдущую кумулятивную частоту:

 

При этом считаем, что кумулята начинается с нуля:

Пользуясь формулой, рассчитаем накопленные  частоты для X,Y,Z:

  

    

 

Создадим таблицу группировки  данных для x:

                                                                                 Таблица №4.

29…32	5	16,7	16,7
32…35	5	16,7	33,4
35…38	3	10	43,4
38…41	10	33,3	76,7
41…44	2	6,6	83,3
44…47	5	16,7	100