Методы описательной статистики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 5.

 

Найти предельную ошибку выборки  X,Y,Z; построить доверительные интервалы для среднего при доверительной вероятности p=68%, 95%, 99,7%.

Методика решения

      Выборочное среднее значение , вычисляемое по выборке ограниченного объема n, будет отличаться от идеального «точного» значения , которое можно было бы получить для бесконечно большой выборки. Разница между выборочным средним и математическим ожиданием (генеральным средним) называется ошибкой выборки:

     Ошибка выборочного наблюдения пропорциональна стандартному отклонению и обратно пропорциональна квадратному корню из объема выборки:

Искомое значение t для заданного р находится по формуле:

Доверительный интервал для генерального среднего:

                                                         

 

     Для того чтобы  найти ошибку выборочного наблюдения, необходимо по таблице Стьюдента  найти коэффициент кратности средней ошибки и

Таблица№12 «Процентные точки распределения Стьюдента t(n,p) и нормального распределения»

n	p
	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0,99	0,999
5	0	0,2672	0,5594	0,9195	1,4759	2,0150	3,3649	5,8934
10	0	0,2602	0,5415	0,8791	1,3722	1,8125	2,7638	4,1437
20	0	0,2567	0,5329	0,8600	1,3253	1,7247	2,5280	3,5518
30	0	0,2556	0,5300	0,8538	1,3104	1,6973	2,4573	3,3852
40	0	0,2550	0,5286	0,8507	1,3031	1,6839	2,4233	3,3069
50	0	0,2547	0,5278	0,8489	1,2987	1,6759	2,4033	3,2614
100	0	0,2540	0,5261	0,8452	1,2901	1,6602	2,3642	3,1737
1000	0	0,2534	0,5246	0,8420	1,2824	1,6464	2,3301	3,0984
z	0	0,2533	0,5244	0,8416	1,2816	1,6449	2,3263	3,0902

 

 и   ;  и ;

Подставляя найденные значения в формулу, найдем t(x):

 

Ошибка выборочного наблюдения (X):

     Доверительный интервал  для генерального среднего  :

 

Доверительная вероятность для  среднего X: р= 0,95

В таблице,  значению р= 0,95 соответствует t=1,6973

Ошибка выборочного наблюдения (Y):

Доверительный интервал для генерального среднего :

Ошибка выборочного наблюдения (Z):

     Доверительная вероятность  p=0,997 находится между двумя значениями, следовательно, проведем интерполяцию. Таким образом,  и ;  и ;

Ошибка выборочного наблюдения (Z):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 6.

 

     Построить доверительные  интервалы для генерального среднего  , , при доверительной вероятности p=68%, 95%,99,7% упрощенным способом: «одна/две/три сигмы».

Методика решения

    Форма распределения Стьюдента приближается к нормальному распределению при большом объеме выборки, начиная с нескольких десятков единиц. При этом погрешность от замены распределения Стьюдента нормальным распределением не превышает единиц процентов.

Таблица №13. «Процентные точки распределения Фишера для выборок равного объема: »

Вероятность (округлено)	Вероятность	Коэффициент доверия	Ошибка выборки	Доверительный интервал
68%	0,682689	1,000	одна сигма
95%	0,954500	2,000	две сигмы
99,7%	0,997300	3,000	три сигмы

 

 

 

 

 

 

Таким образом, получаем приближенные границы доверительных интервалов:

а)

 

    Стандартное отклонение  выборочного среднего(X):

Доверительный интервал для генерального среднего :

б)      

Стандартное отклонение выборочного  среднего(Y):

Доверительный интервал для генерального среднего :

в)

Стандартное отклонение выборочного  среднего(Z):

Доверительный интервал для генерального среднего :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 7.

 

     При уровне значимости  %;   5%;   0,3% проверить гипотезы:

 

• = ;
• = ;

Методика решения

    Проверка статистических гипотез основана на использовании стандартных распределений. Изучаемый статистический показатель преобразуется к случайной величине с известным стандартным законом распределения. Затем находится вероятность, по которой находиться квантиль.

     Вероятность  принятия  ошибочного решения при проверке гипотез называют уровнем значимости.

Уровень значимости определяет, в каком проценте случаев возможна ошибка, если принять изучаемую гипотезу.

Можно считать, что область применения гипотезы соответствует доверительному интервалу, а за его пределами  находится критическая область.

     Если фактическая  статистика оказывается в критической  области, то гипотезу отвергают.  Если фактическая статистика  оказывается в области принятия  гипотезы, то гипотезу принимают  при заданном уровне значимости.

    Сравнение дисперсий – проверка гипотезы о том, можно ли считать сравнимые выборочные дисперсии и оценками одной и той же генеральной дисперсии. Используется распределение Фишера. При заданном уровне значимости должно выполняться следующее неравенство:

Проверим гипотезы = , при

а) α=32%

Найдем отношение дисперсий:

Из уравнения  следует:

p=1-0,32=0,68

Используя таблицу Фишера, найдем коэффициент кратности ошибки выборки.

 

Таблица №14 «Процентные точки распределения  Фишера выборок равного

объема: »

n	p
	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0,99	0,999
5	1,0	1,2692	1,6410	2,2275	3,4530	5,0503	10,967	29,752
10	1,0	1,1787	1,4061	1,7316	2,3226	2,9782	4,8491	8,7539
20	1,0	1,1216	1,2684	1,4656	1,7938	2,1242	2,9377	4,2900
30	1,0	1,0978	1,2132	1,3641	1,6065	1,8409	2,3860	3,2171
40	1,0	1,0840	1,1817	1,3076	1,5056	1,6928	2,1142	2,7268
50	1,0	1,0747	1,1608	1,2706	1,4409	1,5995	1,9490	2,4413

 

Согласно таблице  и ;  и ;

Так как фактическая статистика оказалась в критической области, то гипотеза отвергается.

б) α=5% 

Из уравнения  имеем:

p=1 - 0,05 = 0,95

В таблице Фишера,  значению р= 0,95 соответствует t=1,8409

Проверим гипотезу:

Так как фактическая статистика оказалась в области принятия гипотезы, то гипотеза принимается.

в) α=0,3%

Из уравнения  имеем:

p=1-0,003=0,997

Из таблицы следует  и ;  и ;

 

Проверим гипотезу:

, 3,03

Так как фактическая статистика оказалась в области принятия гипотезы, то гипотеза принимается.

1) %

 По таблице Стьюдента находим t:

При известных значениях  =38,4 и =--105,46667 проверим гипотезу:

67,06667>2,4

Гипотеза отвергается, так как  фактическая статистика больше, чем  табличное значение.

б) α=5% 

В таблице Стьюдента,  значению р= 0,95 соответствует t=1,6973

67,06667>8,58

Гипотеза отвергается, так как  фактическая статистика больше, чем  табличное значение.

в) α=0,3%

 и   ;  и ;

67,06667>16,08

Гипотеза отвергается, так как  фактическая статистика больше, чем  табличное значение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 8.

 

     Вычислить линейные  коэффициенты корреляции  и . Сделать вывод о тесноте линейной связи между признаками.

Методика решения

    Линейный коэффициент корреляции вычисляется следующим образом:

Коэффициент корреляции принимает  значение в диапазоне:

-1

     Знаки коэффициента корреляции и коэффициента регрессии совпадают. Знак говорит о направлении зависимости – положительной (прямой) или отрицательной (обратной).

      Величина коэффициента  корреляции говорит о тесноте  связи:

• =1 – функциональная связь, все точки лежат на прямой линии;
• < <1 – линейная зависимость на фоне случайных отклонений;
• <0,3 – слабая, несущественная линейная зависимость;
• >0,7 – существенная линейная зависимость;
• =0 – линейная взаимосвязь отсутствует, либо взаимосвязь не заметна на фоне случайных отклонений, либо связь есть, но она существенно нелинейна.

Составим дополнительную таблицу:

                                                                                                                       Таблица №12.

X	Y	Z	XY	XZ
29	-82	28	-2378	812
31	-86	45	-2666	1395
32	-89	-38	-2848	-1216
33	-93	57	-3069	1881
32	-88	-26	-2816	-832
35	-92	-26	-3220	-910
33	-89	49	-2937	1617
29	-87	-38	-2523	-1102
35	-93	14	-3255	490
37	-98	-51	-3626	-1887
36	-97	-25	-3492	-900
38	-97	10	-3686	380
39	-100	-27	-3900	-1053
35	-105	-62	-3675	-2170
39	-100	-16	-3900	-624
39	-101	-30	-3939	-1170
41	-111	-88	-4551	-3608
41	-108	-46	-4428	-1886
41	-109	-23	-4469	-943
41	-118	-26	-4838	-1066
40	-120	-90	-4800	-3600
40	-107	31	-4280	1240
41	-117	11	-4797	451
45	-127	10	-5715	450
45	-125	-27	-5625	-1215
43	-120	-25	-5160	-1075
47	-126	-30	-5922	-1410
47	-128	31	-6016	1457
43	-125	38	-5375	1634
45	-126	-16	-5670	-720