Методы описательной статистики

 

Вычислим средние значения и : 

Линейный коэффициент корреляции:

Т.к  следовательно, линейная зависимость происходит на фоне отклонений.

Т.к  то это слабая, несущественная линейная зависимость.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 9.

 

     Вычислить коэффициенты  корреляции рангов Спирмена и  Кендалла Y(X) и Z(X). Сделать вывод о тесноте связи.

Методика решения

   Ранговый коэффициент корреляции характеризует общий характер нелинейной зависимости: возрастание или убывание результативного признака при возрастании факторного. Это показатель тесноты монотонной нелинейной связи.

   Коэффициент корреляции рангов Спирмена: 

     

где     - разность рангов X и Y;

n – число наблюдений( число пар, число разностей рангов);

6 – число шесть (не путать  с сигмой)

   Для вычисления рангов  коэффициентов исходные данные  ранжируют, т.е. расставляют  по порядку возрастания или убывания, а затем нумеруют. Ранг – это порядковый номер. Если встречается два одинаковых значения, им присваивают одинаковое значение ранга, равное среднему арифметическому рангов этих значений.

    Таблица №13 « Коэффициент корреляции рангов Спирмена».

x	y	z
29	-128	-90	1,5	1	1	0,5	0,5	0,25	0,25
29	-127	-88	1,5	2	2	-0,5	-0,5	0,25	0,25
31	-126	-62	3	3,5	3	-0,5	0	0,25	0
32	-126	-51	4,5	3,5	4	1	0,5	1	0,25
32	-125	-46	5	5,5	5	-0,5	0	0,25	0
33	-125	-38	6,5	5,5	6,5	1	0	1	0
33	-120	-38	6,5	7,5	6,5	-1	0	1	0
35	-120	-30	9	7,5	8,5	1,5	0,5	2,25	0,25
35	-118	-30	9	9	8,5	0	0,5	0	0,25
35	-117	-27	9	10	10,5	-1	-1,5	1	2,25
36	-111	-27	11	11	10,5	0	0,5	0	0,25
37	-109	-26	12	12	13	0	-1	0	1
38	-108	-26	13	13	13	0	0	0	0
39	-107	-26	15	14	13	1	2	1	4
39	-105	-25	15	15	15,5	0	-0,5	0	0,25
39	-101	-25	15	16	15,5	-1	-0,5	1	0,25
40	-100	-23	17,5	17,5	17	0	0,5	0	0,25
40	-100	-16	17,5	17,5	18,5	0	-1	0	1
41	-98	-16	21	19	18,5	2	2,5	4	6,25
41	-97	10	21	20,5	20,5	0,5	0,5	0,25	0,25
41	-97	10	21	20,5	20,5	0,5	0,5	0,25	0,25
41	-93	11	21	22,5	22	-1,5	-1	2,25	1
41	-93	14	21	22,5	23	-1,5	-2	2,25	4
43	-92	28	24,5	24	24	0,5	0,5	0,25	0,25
43	-89	31	24,5	25,5	25,5	-1	-1	1	1
45	-89	31	27	25,5	25,5	1,5	1,5	2,25	2,25
45	-88	38	27	27	27	0	0	0	0
45	-87	45	27	28	28	-1	-1	1	1
47	-86	49	29,5	29	29	0,5	0,5	0,25	0,25
47	-82	57	29,5	30	30	-0,5	-0,5	0,25	0,25

 

Подставляем полученные значения в  формулу, получим:

 

 

 

Ранговый коэффициент  корреляции Кендалла:

где  n – число наблюдений; 

S=P-Q – разность сумм числа последовательностей и инверсий результативного признака.

     В процессе вычислений  факторный признак X упорядочивается по возрастанию с присвоением порядкового номера (ранжируется). Затем результативный признак Y упорядочивается по возрастанию факторного признака X. 

    Число последовательностей P для каждого ранга Y – это число следующих рангов, превышающих эту величину. 

    Число инверсий Q для каждого ранга Y – это число следующих рангов, меньших выбранного.

Таблица №14 «Число последовательностей и инверсий результативного признака».

29	-82	0	29
29	-86	1	28
31	-89	4	24
32	-93	7	21
32	-88	3	26
33	-92	6	23
33	-89	4	24
35	-87	2	27
35	-93	7	21
35	-98	11	18
36	-97	9	19
37	-97	9	19
38	-100	12	16
39	-105	15	14
39	-100	12	16
39	-101	14	15
40	-111	19	10
40	-108	17	12
41	-109	18	11
41	-118	21	8
41	-120	22	6
41	-107	16	13
41	-117	20	9
43	-127	28	1
43	-125	24	4
45	-120	22	6
45	-126	26	2
45	-128	29	0
47	-125	24	4
47	-126	26	2
		428	428

 

Таблица №15 «Число последовательностей и инверсий результативного признака».

29	28	6	23
29	45	2	27
31	-38	23	5
32	57	0	29
32	-26	16	11
33	-26	16	11
33	49	1	28
35	-38	23	5
35	14	7	22
35	-51	26	3
36	-25	14	14
37	10	9	19
38	-27	19	9
39	-62	27	2
39	-16	11	17
39	-30	21	7
40	-88	28	1
40	-46	25	4
41	-23	13	16
41	-26	16	11
41	-90	29	0
41	31	4	24
41	11	8	21
43	10	9	19
43	-27	19	4
45	-25	14	6
45	-30	21	9
45	31	4	24
47	38	3	26
47	-16	11	17
		425	414

 

Подставляя полученные значения в  формулу, получим:

 

 

 

 

 

Задача 10.

 

 Постройте уравнения регрессии Y(X), Z(X) графическим

способом.

 

При построении линии регрессии  на корреляционном поле

проводят линию регрессии  с помощью линейки, «на глаз» – по

местам «сгущения» точек. Отдельные точки, далеко отстоящие  от

«облака рассеяния» (аномальные данные), игнорируют.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 11.

 

     С помощью метода  наименьших квадратов (МНК) построить  уравнения регрессии Y(X), Z(X). Нанести линии регрессии на корреляционное поле.

Методика решения

   Построение парной линейной  регрессии по МНК сводится  к решению системы нормальных  уравнений. Уравнение однофакторной  парной линейной связи имеет  вид:

Для того чтобы найти уравнение регрессии, нужно решить систему уравнений:

 Параметры уравнения находят  методом наименьших квадратов: 

  ;     

Составим вспомогательную таблицу.

Таблица №16.

29	-82	28	-2378	812	841
31	-86	45	-2666	1395	961
32	-89	-38	-2848	-1216	1024
33	-93	57	-3069	1881	1089
32	-88	-26	-2816	-832	1024
35	-92	-26	-3220	-910	1225
33	-89	49	-2937	1617	1089
29	-87	-38	-2523	-1102	841
35	-93	14	-3255	490	1225
37	-98	-51	-3626	-1887	1369
36	-97	-25	-3492	-900	1296
38	-97	10	-3686	380	1444
39	-100	-27	-3900	-1053	1521
35	-105	-62	-3675	-2170	1225
39	-100	-16	-3900	-624	1521
39	-101	-30	-3939	-1170	1521
41	-111	-88	-4551	-3608	1681
41	-108	-46	-4428	-1886	1681
41	-109	-23	-4469	-943	1681
41	-118	-26	-4838	-1066	1681
40	-120	-90	-4800	-3600	1600
40	-107	31	-4280	1240	1600
41	-117	11	-4797	451	1681
45	-127	10	-5715	450	2025
45	-125	-27	-5625	-1215	2025
43	-120	-25	-5160	-1075	1849
47	-126	-30	-5922	-1410	2209
47	-128	31	-6016	1457	2209
43	-125	38	-5375	1634	1849
45	-126	-16	-5670	-720	2025

Найдем коэффициенты a и b для уравнения регрессии Y(X).

 

Подставляя найденные коэффициента, запишем уравнение регрессии  Y(X):

Найдем коэффициенты a и b для уравнения регрессии Z(X).

 

Подставляя найденные коэффициента, запишем уравнение регрессии  Y(X):

 

Нанесем линии регрессии на корреляционное поле Y(X), Z(X).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 12.

 

     После определения коэффициентов корреляции и построения уравнения регрессии разными способами провести сравнение полученных оценок и построенных графиков.

Методика решения

     Если вычисления сделаны  правильно, то результаты, полученные  разными способами, должны совпадать  с некоторым приемлемым уровнем погрешности.

     В задаче 10 при построении корреляционного поля Z(X) было видно, что отсутствует взаимосвязь, поэтому линия регрессии проходит горизонтально: при изменении значения фактора результат в среднем остается постоянным.

     Коэффициент линейной корреляции можно приблизительно оценить по виду диаграммы рассеяния. Знак коэффициента корреляции совпадает со знаком коэффициента регрессии и определяет наклон линии, т.е. общую направленность зависимости (возрастание или убывание).       Абсолютная величина коэффициента корреляции определяется степенью близости точек к линии регрессии.

Сравнивая графики, начерченные в  задаче 10- Y(X) и Z(X)- c рисунком, приведенным ниже, видно, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 13.

 

     Провести сглаживание  ряда динамики с помощью простой и взвешенной скользящей средней, а также скользящей медианы по трем, пяти и двенадцати точкам. В качестве номера месяца t используется столбец N. Построить графики исходного ряда динамики (ИРД) и сглаженных рядов:

1) ИРД, ССП(3), ССП(5), ССП(12);

2) ИРД, ССВ(3), ССВ(5), ССВ(12);

3) ИРД, СМ(3), СМ(5), СМ(12);

Методика решения

     Ряд динамики – последовательность значений показателя во времени, в хронологическом порядке. Отдельное значение ряда называется уровнем.

Обычно выделяют три компонента ряда динамики: тренд, сезонные колебания  и случайную составляющую. Для  выделения основной тенденции используют скользящую среднюю или скользящую медиану.

     Скользящая средняя – среднее значение за интервал фиксированной длины, причем начало интервала сдвигается по времени. Определяют среднее значение по нескольким точкам и «привязывают» его к середине интервала. Затем начало интервала сдвигают на один шаг по времени вправо.