Основные понятия и задачи статистики производительности труда

Расхождение между значениями , Мо и Ме незначительно ( , Мо= 172 (чел), Ме= 173 (чел)), что подтверждает вывод об однородности совокупности банков. Таким образом, найденное среднее значение среднесписочной численности работников (173 чел.) является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности банков

 

Задание 2

По исходным данным:

1.Установите наличие  и характер связи между признаками - среднесписочная численность работников и выпуск продукции методом аналитической группировки, образовав пять групп с равными интервалами по факторному признаку.

2. Измерьте тесноту  корреляционной связи между названными  признаками с использованием коэффициентов детерминации и эмпирического корреляционного отношения.

Сделайте выводы по результатам  выполнения задания.

Выполнение  Задания 2

Целью выполнения данного задания является выявление наличия корреляционной связи между факторным и результативным признаками, установление направления связи, оценка тесноты и силы связи.

По условию Задания 2 факторным является признак Среднесписочная численность работников (X), результативным – признак Выпуск продукции (Y).

1. Установите наличие и характер связи между признаками - среднесписочная численность работников и выпуск продукции методом аналитической группировки, образовав пять групп с равными интервалами по факторному признаку.

Применение  метода аналитической группировки:

При использовании метода аналитической группировки строится интервальный ряд распределения единиц совокупности по факторному признаку Х и для каждой j-ой группы ряда определяется среднегрупповое значение   результативного признака Y. Если с ростом значений фактора Х от группы к группе средние значения систематически возрастают (или убывают), между признаками X и Y имеет место корреляционная связь.

Вначале строим рабочую таблицу:

Используя разработочную  таблицу 3, строим аналитическую группировку, характеризующую зависимость между факторным признаком Х и результативным признаком Y.

Таблица 7

Зависимость объема выпускаемой продукции от среднесписочной  численности работников.

Номер группы	Группы предприятий по среднесписочной численности работников, чел.	Число предприятий, fj	Среднесписочная численность  работников, чел.		Объем выпускаемой продукции, млн. руб.
			всего	Средняя численность работников	всего	в среднем на одно предприятие ¯yj
1	2	3	4	5	6	7
1	120 - 140	3	387	129	63	21
2	140 - 160	5	750	150	165	33
3	160 - 180	11	1870	170	484	44
4	180 - 200	7	1323	189	392	56
5	200 - 220	4	860	215	276	69
ИТОГО	-	30	5190	173	1380	46

 

Вывод. Данные таблицы 7 показывают, что с ростом среднесписочной численности работников, средний объем продукции, выпускаемой одним предприятием, растет. Следовательно, между исследуемыми признаками существует прямая корреляционная зависимость.

2. Оценить тесноту  и силу корреляционной связи, используя коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

Для измерения тесноты  и силы связи между факторным  и результативным признаками рассчитывают специальные показатели – эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение η.

А) Коэффициент детерминацииη² характеризует силу влияния факторного (группировочного) признака Х на результативный признак Y и рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии признака Y в его общей дисперсии :

где – общая дисперсия признака Y,

– межгрупповая (факторная) дисперсия  признака Y.

Значения показателя изменяются в пределах . При отсутствии корреляционной связи между признаками Х и Y имеет место равенство , а при наличии функциональной связи между ними – равенство .

Общая дисперсия  характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Yфакторов (систематических и случайных) и вычисляется по формуле:

гдеy_i – индивидуальные значения результативного признака;

– общая средняя значений результативного признака;

n – число единиц совокупности.

Межгрупповая  дисперсия  измеряет систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка) и вычисляется по формуле:

где –групповые средние,

– общая средняя,

–число единиц в j-ой группе,

k – число групп.

Для расчёта  показателей  необходимо знать величину общей средней , которая вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:

Значения числителя  и знаменателя формулы имеются  в таблице 7 (графы 3 и 6 итоговой строки). Используя эти данные, получаем общую среднюю :

Для расчёта общей дисперсии применяется вспомогательная таблица 8.

Таблица 8

Вспомогательная таблица для расчета общей  дисперсии

Номер  предприятия  п/п	Объем выпускаемой продукции, млн. руб.
1	2	3	4
1	37	-9	81
2	47	1	1
3	40	-6	36
4	60	14	196
5	44	-2	4
6	64	18	324
7	68	22	484
8	59	13	169
9	43	-3	9
10	48	2	4
11	24	-22	484
12	36	-10	100
13	58	12	144
14	42	-4	16
15	30	-16	256
16	25	-21	441
17	45	-1	1
18	41	-5	25
19	28	-18	324
20	70	24	576
21	39	-7	49
22	34	-12	144
23	14	-32	1024
24	46	0	0
25	48	2	4
26	54	8	64
27	74	28	784
28	56	10	100
29	45	-1	1
30	61	15	225
ИТОГО	1380	-	6070

Рассчитаем  общую дисперсию:

Для расчёта  межгрупповой дисперсии  строится вспомогательная таблица 9. При этом используются групповые средние значения из таблицы 8.

Таблица 9

Вспомогательная таблица для расчета межгрупповой дисперсии

Группы предприятий по среднесписочной численности работников, чел.	Число предприятий, fj	Среднее значение   в группе
1	2	3	4	5
120 - 140	3	21	-25	1875
140 - 160	5	33	-13	845
160 - 180	11	44	-2	44
180 - 200	7	56	10	700
200 - 220	4	69	23	2116
ИТОГО	30	-	-	5580

 

Рассчитаем межгрупповую дисперсию:

Определяем коэффициентдетерминации:

Вывод:Выпускаемая продукция на 91,9% зависит от среднесписочной численности работников, а на 8,1% - от других факторов.

Б) Эмпирическое корреляционное отношениеη оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле:

Чем значение корреляционного  отношения ближе к единице, тем теснее, ближе к функциональной зависимости связь между признаками.

Вывод: согласно шкале Чэддока связь между выпуском продукции и среднесписочной численностью работников является весьма тесной.

 

Задание 3

По результатам выполнения задания 1 с вероятностью 0,683 определите:

1. Ошибку выборки среднесписочной  численности работников и границы, в которых будет находится среднесписочная численность работников в генеральной совокупности.

2. Ошибку выборки доли  предприятий со среднесписочной численностью работников 180 человек и более и границы, в которых будет находится генеральная доля.

Выполнение  Задания 3

Целью выполнения данного задания является определения для генеральной совокупности предприятий отрасли границ, в которых будет находиться средняя заработная плата.

1. Определить  ошибку выборки среднесписочной  численности работников и границы, в которых будет находится среднесписочная численность работников в генеральной совокупности.

Применяя выборочный метод наблюдения, необходимо рассчитать ошибки выборки (ошибки репрезентативности), т.к. генеральные и выборочные характеристики, как правило, не совпадают, а отклоняются на некоторую величину ε.

Принято вычислять два  вида ошибок выборки – среднюю и предельную -  .

Для расчёта средней  ошибки выборки  применяют различные формулы в зависимости от вида и способа отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную.

Для собственно-случайной  и механической выборки с бесповторным способом отбора средняя ошибка для выборочной средней х определяется по формуле:

Где - общая дисперсия изучаемого признака,

N – число единиц в генеральной совокупности,

n – число единиц в выборочной совокупности.

Предельная  ошибка выборки определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная средняя:

где – выборочная средняя;

  – генеральная средняя.

Предельная ошибка выборки кратна средней ощибке с коэффициентом кратности t (называемым также коэффициентом доверия):

Коэффициент кратности t зависит от значения доверительной вероятностиР, гарантирующей вхождение генеральной средней в интервал , называемый доверительным интервалом.

Наиболее часто используемые доверительные вероятности Ри соответствующие им значения t задаются следующим образом(таблица 10):

Таблица 10

Значения коэффициента кратности t при вероятности P

Доверительная вероятность P	0,683	0,866	0,954	0,988	0,997	0,999
Значение t	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5

По условию Выборочная совокупность насчитывает 30 предприятий, выборка 20% механическая, следовательно, генеральная совокупность включает 150 предприятий (20% - ная выборка означает, что отбирается и проверяется каждая 5-ая единица (1:0,2)). Выборочная средняя , дисперсия определены в Задании 1. Значения параметров, необходимых для решения задачи, представлены в таблице 11.

Таблица 11

Параметры для  выполнения Задачи 3,  пункт 1

P	t	n	N
0,683	1	30	150	173	526

 

Рассчитаем среднюю ошибку выборки:

Рассчитаем предельную ошибку выборки:

Определим доверительный  интервал для генеральной средней:

Вывод: на основании проведённого выборочного обследования с вероятностью 0,683 можно утверждать, что для генеральной совокупности средняя величина среднесписочной численности работников на предприятиях экономики находится в пределах от 169 чел. до 177 чел.

2. Определить  ошибку выборки доли предприятий  со среднесписочной численностью работников 180 человек и более и границы, в которых будет находится генеральная доля.

Доля единиц выборочной совокупности, обладающих тем или  иным заданным свойством, выражается формулой:

где m – число единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

n – общее число единиц в совокупности.

Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора предельная ошибка выборки∆_wдоли единиц, обладающих заданным свойством, рассчитывается по формуле:

Где w– доля единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

(1-w) – доля единиц совокупности, не обладающих заданным свойством

N – число единиц в совокупности;

n – число единиц в выборочной совокупности.

Предельная  ошибка выборки ∆_wопределяет границы, в которых будет находиться генеральная доля pединиц, обладающих исследуемым признаком:

По условию Задания 3 исследуемым свойством является равенство или превышение среднесписочной численности работников величины 180 чел.