Основные понятия о рядах динамики

2. Параболическая зависимость используется, если абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития, но абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют.

3. Экспоненциальные зависимости применяются, если в исходном временном ряду наблюдается либо более или менее постоянный относительный рост (устойчивость цепных темпов роста, темпов прироста, коэффициентов роста), либо, при отсутствии такого постоянства, -устойчивость в изменении показателей относительного роста.

Таким образом, целью аналитического выравнивания является:

- определение вида функционального уравнения;

- нахождения параметров уравнения тренда методом наименьших квадратов, где сумма квадратов отклонений фактических уровней от выровненных теоретических на искомой линии должна быть минимальна

∑(y_i - ȳ)²→min;

- расчет «теоретических», выровненных  уровней, отображающих основную  тенденцию ряда динамики.

Графическое отображение изменения  уровней ряда играет большую роль в применении данного вида выравнивания. Оно позволяет ускорить процедуру анализа и увеличить степень наглядности полученных результатов.

Тенденцию развития социально-экономических  явлений обычно изображают кривой, параболой, гиперболой и прямой линией.

Наиболее простой и часто  встречающейся в практике является линейная зависимость, описываемая  уравнением:

y_t = a + bt,

где   у_i  – фактические уровни;

у_t – теоретическое значение уровня;

t – периоды времени – фактор времени.

«а» и «в» – параметры уравнения.

Так как «t» известно, то для нахождения «у_t» необходимо определить параметры «а» и «в». Их находят методом наименьших квадратов, где сумма квадратов отклонений фактических уровней от выровненных теоретических на искомой линии должна быть min ∑(y_i - ȳ)²→min; Этому требованию удовлетворяет следующая система нормальных уравнений:

n – количество уровней ряда динамики.

Эту систему уровней можно упростить, если взять t (период времени) таким, чтобы  сумма периодов равнялась нулю: Σt = 0.

Для этого необходимо периоды ряда динамики пронумеровать так, чтобы перенести в середину ряда начало отчета времени. В ряду динамики с нечетным числом периодов времени нумерация начинается с середины ряда и с нуля «0», а с четным числом периодов с «-1» и «+1». Тогда уравнения примут следующий вид:

an = Σу, отсюда получим «а»  ;  ,  .

После нахождения параметров необходимо рассчитать выровненные уровни ряда путем подстановки значения номера периода.

Таким образом, аналитическое уравнение  сводится к замене  фактических уровней  теоретическими.

Анализ рядов динамики предполагает и исследование сезонной неравномерности (сезонных колебаний), под которыми понимают устойчивые внутригодовые колебания, причиной которых являются многочисленные факторы, в том числе и природно-климатические. Сезонные колебания измеряются с помощью индексов сезонности, которые рассчитываются двумя способами в зависимости от характера динамического развития.

При относительно неизменном годовом  уровне явления индекс сезонности можно рассчитать как процентное отношение средней величины из фактических уровней одноименных месяцев к общему среднему уровню за исследуемый период:

 

В условиях изменчивости годового уровня индекс сезонности определяется как  процентное отношение средней величины из фактических уровней одноименных  месяцев к средней величине из выровненных уровней одноименных  месяцев:

 

3.  Особенности прогнозирования явлений

 

При комплексном  исследовании динамических рядов в  большинстве случаев  ставится задача, касающаяся дальнейшего  прогнозирования их уровней. Экстраполяцией называется прогнозирование финансовых и экономических явлений и  процессов на основе выявленных закономерностей  их развития в прошлом и настоящем  периодах, представленных данным динамическим рядом. Экстраполяция всегда проводится за пределы исследуемого временного ряда: в будущее или в прошлое. В зависимости от этого различают перспективную экстраполяцию (в будущее) и ретроспективную (в прошлое). Вместе с этим может осуществляться и интерполяция - прогнозирование неизвестных по каким-либо причинам уровней внутри самого исследуемого ряда динамики.

  Точность  и надежность прогнозов,  получаемых при экстраполяции,  зависят от того, насколько инерционно, то финансовое или экономическое явление, которое подвергается прогнозированию, насколько точно выявлена тенденция развития явления и выбран метод получения дальнейшего прогноза. Не последнюю роль при этом играет и период экстраполяции: чем он короче, тем, естественно, точнее прогноз.

   С этими  требованиями  тесным образом связана  задача  выбора длины динамического ряда, на основе которого будет проводиться  экстраполяция. Правило «чем больше, тем лучше» в данном случае  не всегда верное. Дело в том,  что в быстро развивающемся  мире экономики и финансов  длинные динамические ряды зачастую  оказываются несопоставимыми. Из-за  того, что меняются методология  расчета показателей, тенденции  и сущность социально-экономических  явлений и процессов, полученные  прогностические модели оказываются  неустойчивыми.

   Вместе  с тем имеется  общее правило: срок, на который  осуществляется прогноз, не должен  превышать 1/3 длины базового динамического  ряда. Так, если исследуется ряд  динамики, состоящий из девяти  уровней, прогнозирование проводится  не далее чем на три уровня  и т.п. Но этот вопрос опять  должен решаться на основе  анализа степени инерционности  исследуемого явления. Если процесс  имеет малую инерционность, то  информативность уровней ряда  по мере их удаления от периода  прогнозирования будет соответственно  снижаться: наибольшую информационную  ценность будут иметь «последние»  периоды. На этом основаны так  называемые адаптивные методы  прогнозирования, которые учитывают различную информационную ценность членов ряда. При проведении процедуры выравнивания им задается определенный вес, кроме  того, могут меняться параметры моделей  в зависимости от точности результата прогноза, сделанного на предыдущем шаге.

  В данной главе мы рассмотрим  методы экстраполяции, основанные  на использовании: среднего уровня  ряда; среднего абсолютного прироста; среднего темпа роста и функции  аналитического выравнивания.

  Первые  три метода являются  простейшими  и поэтому самыми  приближенными. Экстраполяция на  основе функции тренда, полученной  в результате аналитического  выравнивания, относится к наиболее  распространенным и практически  применяемым методам прогнозирования.

Экстраполяцию в общем виде можно  представить так: 

,

где    - прогнозируемый уровень; - текущий уровень прогнозного ряда;

Т - срок экстраполяции;  - параметр уравнения тренда.

Прогнозирование по среднему абсолютному  приросту может быть выполнено в  том случае, если есть уверенность  считать общую тенденцию линейной, то есть представленной в виде прямой, проведенной через две крайние  точки.

Для нахождения интересующего нас  аналитического выражения тенденции  на любую дату необходимо определить средний абсолютный прирост и  последовательно прибавить его  к последнему уровню ряда столько  раз, на сколько периодов экстраполируется ряд.

,где: 

ȳ_i+t- экстраполируемой уровень, (i+t) - номер этого уровня (года);

i - номер последнего уровня (года) исследуемого периода, за который рассчитан;

t - срок прогноза (период упреждения);

∆_t- средний абсолютный прирост.

Прогнозирование по среднему темпу  роста можно осуществлять в случае, когда есть основание считать, что  общая тенденция ряда характеризуется  показательной (экспоненциальной) кривой. Для нахождения тенденции в этом случае необходимо определить средний  коэффициент роста, возведенный  в степень, соответствующую периоду  экстраполяции, то есть по формуле:

    

где:

yi - последний уровень ряда динамики;

t - срок прогноза;

K_р- средний коэффициент роста.

В ряде случаев этот метод может найти применение как предварительный прогноз, если у исследователя нет динамического ряда: информация дана лишь на начало и конец периода (например, данные одного баланса).

Наиболее распространенным методом  прогнозирования является аналитический  метод выравнивания тренда. Аналитические методы основаны на применении метода наименьших квадратов к динамическому ряду и представлении закономерности развития явления во времени в виде уравнения тренда, то есть математической функции уровней динамического ряда (y) от факторного времени (t): y=f(t).

Любой статистический прогноз носит  приближенный характер, поэтому целесообразно  определение доверительных интервалов прогноза:

ȳ_t - t_α∙G_yi, где

 ȳ_t – расчетное значение уровня;

t_α –доверительная величина(коэффициент доверия Стьюдента);

 G_yi – среднеквадратическая ошибка тренда.

,где

y_i - фактические значения уровня ряда;

n -число уровней временного ряда;

 p- число параметров.

Определив среднеквадратическую ошибку и доверительный интервал, можно  сказать о точности прогнозирования  явлений.

При анализе рядов динамики, как говорилось ранее, иногда приходиться прибегать к восстановлению некоторых недостающих  уровней внутри данного ряда динамики по уравнению тренда, то есть к интерполяции. Как экстраполяция, так и интерполяция может производиться на основе среднего абсолютного прироста, среднего темпа роста и с помощью аналитического выравнивания.

 

 

 

 

 

 

2. ПРИКЛАДНАЯ ЧАСТЬ

2.1. Применение методов выравнивания и

  прогнозирования на практике

 

Необходимость применения методов выравнивания возникает в том случае, когда необходимо провести динамику изменения явления, выявить тенденцию развития явления, на основе которой провести анализ и осуществить прогноз на будущий период времени.

Метод укрупнения интервалов – наиболее простой способ. Он заключается в  преобразовании первоначальных рядов  динамики в более крупные по продолжительности  временных периодов, что позволяет  более четко выявить действие основной тенденции изменения уровней.

1. Метод укрупненных средних рассмотрим на примере.

Имеются данные о производстве обуви за ряд лет (табл.1), выявить тенденцию роста или снижения производства обуви методом укрупнения интервалов.

Таблица 1

Данные  о производстве обуви

Годы	Производство обуви, млн. пар.
2005	680
2006	683
2007	550
2008	670
2009	685
2010	690

 

 

В данном ряду динамики нечетко обозначена тенденция выпуска обуви.

  Для выявления тенденции укрупним  интервалы до 3-х лет и рассчитаем  общий и средний выпуск обуви,  используя среднюю арифметическую  .

Таблица 2

Укрупненный ряд динамики

Годы	Производство обуви, млн. пар
	Всего	Среднегодовое
2005–2007 2007–2010	1913 2045	637,6 681,6

 

 

В этом ряду четко прослеживается тенденция роста выпуска обуви.

Недостатком этого приема является то, что при его использовании  не прослеживается процесс изменения  явления внутри укрупненных интервалов.

2. Методы сглаживания и аналитического выравнивания.

Метод сглаживания применяется для характеристики тенденции развития исследуемой статистической совокупности и основан на расчете средних уровней ряда за определенный период.

Однако методы укрупненных и скользящих средних предоставляют исследователю очень упрощенное представление о тенденции ряда.

Более совершенным приемом выявления основной тенденции развития в рядах динамики является аналитическое выравнивание. При изучении общей тенденции методом аналитического выравнивания исходят из того, что изменения уровней ряда динамики могут быть с той или иной степенью точности приближения выражены определенными математическими функциями. Вид уравнения определяется характером динамики развития конкретного явления. На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции y=f(t), а затем анализируют поведение отклонений от тенденции.