Основные понятия о рядах динамики

Динамика потребления овощей на одного члена домохозяйства в  области за 2003-2011 гг. характеризуется  следующими данными:

Таблица 3

Динамика  потребления овощей на одного члена  домохозяйства

Годы	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011
Потребление овощей, кг.	30,0	32,1	36,0	30,9	38,7	48,9	46,8	53,4	54,0

 

Выявить основную тенденцию потребления  овощей на одного члена домохозяйства  за 2003 – 2011 гг.:

1)    методом сглаживания с помощью 3-членной скользящей средней;

2)    методом аналитического выравнивания по прямой;

3) построить график потребления овощей на одного члена домохозяйства области по фактическим и выровненным данным, (используя программу Excel.

Решение:

1. Выявим тенденцию потребления овощей на одного члена домохозяйства методом сглаживания  с помощью трехчленной скользящей средней.

Результаты расчетов представим в  виде таблицы.

Таблица 4

Расчетная таблица

Годы	t	Потребление овощей, кг.	Скользящие средние, кг.,  ȳi
2003	1	30,0	-
2004	2	32,1	(30,0 + 32,1 + 36,0)/3 = 32,7
2005	3	36,0	(32,1 + 36,0 + 30,9)/3 = 33,0
2006	4	30,9	(36,0 + 30,9 + 38,7)/3 = 35,2
2007	5	38,7	(30,9 + 38,7 + 48,9)/3 = 39,5
2008	6	48,9	(38,7 + 48,9 + 46,8)/3 = 44,8
2009	7	46,8	(48,9 + 46,8 + 53,4)/3 = 49,7
2010	8	53,4	(46,8 + 53,4 + 54,0)/3 = 51,4
2011	9	54,0	-

 

Сглаживание ряда динамики показывает устойчивую тенденцию увеличения потребления овощей на одного члена домохозяйства: значение 3-членной скользящей средней возрастает от периода к периоду.

2. Выявим основную тенденцию потребления овощей на одного члена домохозяйства методом аналитического выравнивания по уравнению линейного тренда:

y_t  = а + bt ,   где а и b   найдем из системы нормальных уравнений.

В данной задаче нечетный ряд и 2007г., как уровень, занимающий серединное положение, принимает значение равное 0.

Составим расчетную таблицу.

Таблица 5

Расчетная таблица

Годы	t	Потребление овощей, кг.yi	t2	yit	ȳ
2003	-4	30,0	16	-120	27,9
2004	-3	32,1	9	-96,3	31,225
2005	-2	36,0	4	-72	34,55
2006	-1	30,9	1	-30,9	37,875
2007	0	38,7	0	0	41,2
2008	1	48,9	1	48,9	44,525
2009	2	46,8	4	93,6	47,85
2010	3	53,4	9	160,2	51,175
2011	4	54,0	16	216	54,5
ИТОГО:	0	370,8	60	199,5	370,8

 

Найдем параметры a  и b, используя метод наименьших квадратов:

9а + 0= 370,8

0+60b=199,5

Откуда,

а=41,2

b =3,325

Отсюда уравнение линейного  тренда имеет вид:

y_t =41,2+3,325t

Подставим значения t и запишем расчетные ȳ в таблицу.

Таким образом, фактические значения  y_i заменены теоретическими выравненными  ȳ от случайных колебаний

С помощью метода аналитического выравнивания так же наблюдается тенденция  к росту потребления овощей на одного члена домохозяйства.

3. Нанесем на график фактические и выровненные данные.

Рисунок 1 Фактические и выровненные данные

Данный график наглядно показывает рост потребления овощей на одного члена домохозяйства.

3. Аналитическое выравнивание ряда динамики с применением индексов сезонности.

Рассмотрим метод на основании  имеющихся данных о динамике реализации картофеля на колхозных рынках:

Таблица 6

Реализация  картофеля на колхозных рынках за три года

Месяцы	Реализация картофеля, т.					Индексы сезонности, %
	первый год, у1	второй год, у2	третий год, у3	всего за три года, yi	в среднем за три года, yi
Январь	70	71	63	204	68	26,05
Февраль	71	85	60	216	72	27,59
Март	82	84	59	225	75	28,74
Апрель	190	308	261	759	253	96,93
Май	280	383	348	1011	337	129,12
Июнь	472	443	483	1398	466	178,54
Июль	295	261	305	861	287	109,96
Август	108	84	129	321	107	41,00
Сентябрь	605	630	670	1905	635	243,30
Октябрь	610	450	515	1575	525	201,15
Ноябрь	184	177	185	546	182	69,73
Декабрь	103	168	104	375	125	47,89
ИТОГО:	3070	3144	3182	9396	261	100,00

Применяя формулу средней арифметической простой, определим средние месячные уровни за три года:

За январь: уi = (70+71+63)/3 = 68 т.

Февраль: уi = (71+85+60)/3 = 72 т   и т.д.

Программа Excel считает среднее арифметическое автоматически при введении  необходимых формул.

И, наконец, исчислим за каждый месяц индексы сезонности, применяя формулу :

Январь: I_s =68/261 = 0,2605 или 26,05%

Февраль: I_s =72/261 = 0,2758 или 27,59%  

Март: I_s =75/261 = 0,2873 или 28,74%  

Апрель: I_s =253/261 = 0,9693 или 96,93%  

Май: I_s =337/261 * 100 = 129,12%  

Июнь: I_s =466/261 * 100 = 178,54%   и т.д.

С помощью мастера диаграмм построим график сезонной волны.

 

Рисунок 2 График сезонной волны

 

По индексам сезонности можно наблюдать  рост или снижение продажи картофеля  в различное время года. Так, наименьший спрос приходится на январь – февраль, а наибольший – на сентябрь-октябрь.

 

2.2 Динамика продаж  телефонов  «iphone»

в магазине «Ион» 

Имеются следующие данные по продажам мобильных телефонов «iphone» в магазине «Ион»:

Таблица 7

Данные по продажам

Годы	2007	2008	2009	2010	2011	2012
Кол-во телефонов	20	24	33	29	52	93

 

1. Выявить основную тенденцию продажи мобильных телефонов «iphone» за 2007-2012гг.:

1) методом сглаживания с помощью 3-членной скользящей средней, получив предварительное упрощенное представление о тенденции ряда;

2) методом аналитического выравнивания, используя уравнение тренда;

3) построить график продажи мобильных телефонов по фактическим и выровненным данным, (используя программу Excel.)

2. Определив тенденцию продажи телефонов за 6 лет, осуществить прогноз на основе полученных данных на 2 года вперед и учесть возможные отклонения, рассчитав среднеквадратическую ошибку и доверительный интервал.

Решение:

1. Выявим тенденцию продажи мобильных телефонов «iphone»  с помощью трехчленной скользящей средней:

Таблица 8

Расчетная таблица

Годы	Продажа «Iphone», шт.	Скользящие средние, шт.,  ȳi
2007	20,0	-
2008	24,0	(20,0 + 24,0 + 33,0)/3 = 25,7
2009	33,0	(24,0 + 33,0 + 29,0)/3 = 28,7
2010	29,0	(33,0 + 29,0 + 52,0)/3 = 38
2011	52,0	(29,0 + 52,0 + 93,0)/3 = 58
2012	93,0	-

 

 

 

 

 

 
Сглаживание ряда динамики показывает устойчивую тенденцию увеличения продажи телефонов«Iphone»: значение  3-членной скользящей средней возрастает от периода к периоду.

1.Выявим основную тенденцию продажи мобильных телефонов «iphone» методом аналитического выравнивания по уравнению линейного тренда:

y_t  = а + bt ,   где а и b   найдем из системы нормальных уравнений.

В данной задаче имеетя четное число уровней ряда и две величины, занимающие серединное положение, обозначаются через -1 и 1,а все остальные – через 2 интервала.

Составим расчетную таблицу.

Таблица 9

Расчетная таблица

Годы	t	Продажа телефонов, шт yi	t2	yit	ȳ	yi- ȳ	(yi- ȳ)2
2007	-5	20,0	25	-100	10	10	100
2008	-3	24,0	9	-72	22,8	1,2	1,44
2009	-1	33,0	1	-33	35,5	-2,5	6,25
2010	1	29,0	1	29	48,2	-19,2	368,64
2011	3	52,0	9	156	60,9	-8,9	79,2
2012	5	93,0	25	465	73,6	19,4	376,36
ИТОГО:	0	251	70	445	251	0	931,9