Построение рядов распределения по факторному и результативному признакам

 

Упрощенные варианты y’ умножаются на частоты соответствующих клеток корреляционной таблицы и записываются в верхних правых углах каждой клетки.

Первая итоговая строка и  итоговый столбец таблицы 1.6. выражают абсолютные частоты интервальных рядов  распределения по функциональному  и факторному признакам.

Вторая итоговая строка характеризует  сумму произведений, записанных в  верхних углах клеток. Третья итоговая строка рассчитывается делением показателей  второй строки на первую. В четвертой  итоговой строке показаны искомые средние  y_i, полученные по формуле y=y_i*i_y+c_y.

Показатели четвертой  итоговой строки являются основой для  графического изображения выполненных  расчетов на поле корреляции.

Соединив между собой  средние значения в каждом интервале  отрезками прямых линий, получаем эмпирическую линию регрессии у по х, которая показывает, как в среднем изменяется у в связи с изменением х.

В нашем случае расчет эмпирической линии регрессии вновь подтвердил наличие корреляционной зависимости  между выработкой на 1 рабочего и уровнем сборности.

3. Расчет теоретической линии регрессии

Теоретическая линия регрессии  представляет собой такую математически  правильную кривую (либо прямую) линию, которая проходит наиболее близко к  точкам эмпирической линии регрессии, выражает общую закономерность средних  изменений признака в связи со средними изменениями фактора.

В нашем случае характер размещения точек на корреляционном поле делает весьма вероятной гипотезу о линейной связи  у от х : у = a_{0 +} a₁x.

         Параметры уравнения найдем из  системы по способу наименьших  квадратов:

                                             naꞌ₀ + aꞌ₁∑ xꞌ = ∑ yꞌ

                                             aꞌ₀∑xꞌ + aꞌ₁∑( xꞌ)² = ∑ xꞌyꞌ

        Исходную  информацию для решения данной  системы получаем из таблицы  1.7., которая основана на результатах  таблицы 1.6. Примем условный нуль  в пятом интервале по оси  Ох, тогда С =61,9%; i = 1,46 %.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 1.7.

Выработка на 1 рабочего , т. руб.	y’	Объем работ собственными силами, т. руб.													№ столбца
		x’2	25	16	9	4	1	0	1	4	9	16	25	1		2	3	4
		x’	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	li		liy’	y’2	li y’2
		y         x	54,6	56,06	57,52	58,98	60,44	61,9	63,36	64,82	66,28	67,74	69,2
	5	7482							1					1		5	25	25
	4	7257,2												0		0	16	0
	3	7032,4												0		0	9	0
	2	6807,6	1									1		2		4	4	8
	1	6582,8	1			1								2		2	1	2
	0	6358			1									1		0	0	0
	-1	6133,2			2									2		-2	1	2
	-2	5908,4									1			1		-2	4	4
	-3	5683,6		1										1		-3	9	9
	-4	5458,8												0		0	16	0
	-5	5234											1	1		-5	25	25
№ столбца	1	Итого h i	2	1	3	1	0	0	1	0	1	1	1	11		-1	-	75
	2	∑hix’	-10	-4	-9	-2	0	0	1	0	3	4	5	∑x’ =-12
	3	∑ hix’2	50	16	27	4	0	0	1	0	9	16	25	∑х’2=148
	4	∑ miyi	3	-3	-2	1	0	0	5	0	-2	2	-5	∑y’ =-1
	5	∑ my’x’	-15	12	6	-2	0	0	5	0	-6	8	-25	∑ х’у’ =-17

В качестве проверки правильности данной таблицы должно соблюдаться  равенство итогов четвертой строки и второго столбца. Если это условие  не соблюдается, то в расчетах допущена ошибка, которая может привести к  существенным искажениям величины параметров теоретической линии регрессии.

В систему уравнений, данную выше, и получим:

11*a₀’-12*a₁’= -1

-12*a₀’+148*a₁’=-17

В качестве метода решения  системы принимаем метод Гаусса, который позволяет находить решение  последовательно, исключая неизвестные. Для этого первое уравнение умножаем  на -12, а второе на 11 и вычтем:

-1772*а₁’=-199

a₁’=0.11

Затем в первое уравнение  системы подставим значение a₁’ и находим величину a₀’:

11*a₀’-12*0.11= -1

 

a₀’=0.03

Параметры a₀’и  a₁’ необходимо преобразовать исходя из фактических значений х и у.

Формулы перевода из упрощенных в реальные координаты:

a₁=a₁’_*                                                  a₀=c_y+i_ya₀’-a₁’*_*cx

где i_y- интервал группировки по функции

      i_x- интервал группировки по аргументу

      c_y-новое начало отсчета по функции

      c_x-новое начало отсчета по аргументу

По этим формулам получаем, что a₀=5290.54, a₁= 17.79

Уравнение теоретической  линии регрессии в реальных коэффициентах  имеет вид y=5290.54+17.79х.

В уравнении регрессии  первое слагаемой носит название свободного члена, второе слагаемое  называется коэффициентом регрессии. Он показывает, на сколько натуральных единиц изменяется в среднем результативный признак при изменении факторного признака на единицу.

В нашем примере из уравнения  теоретической линии регрессии  видно, что выработка на 1 рабочего повышаются на 17.79 % при увеличении уровня сборности 1 %. Выработка на 1 рабочего, не зависящие от рассматриваемых фактов, равен 5290,54 тыс. руб.

Для графического изображения  линии регрессии, рассчитанной по линейной гипотезе, достаточно определить две  точки, через которые можно провести прямую.

В нашем примере по х₁=60 и х₂=70,у₁=6357,94 и у₂=6535,84 проводим на поле корреляции прямую линию.

Вывод: Графическое изображение теоретической линии регрессии в виде уравнения прямой еще раз подтверждает наличие корреляционной связи между изучаемыми признаками.

 

4. Измерение тесноты связи

Коэффициент корреляции r_y/x является одним из наиболее совершенных методов измерения тесноты связи. Коэффициент корреляции отвечает на вопрос, в какой мере соблюдается строгая пропорциональность в изменениях функционального и факториального признаков.

Коэффициент корреляции может  принимать как положительные, так  и отрицательные значения, т.е. -1≤r≤1.

При выполнении корреляционных расчетов, когда связь между признаками х и у выражается прямой линией, соблюдается условие, при котором  знак при коэффициенте корреляции r_y/x должен совпадать со знаком при коэффициенте регрессии а₁.

Для расчета коэффициента корреляции существует формула, представленная в упрощенных координатах признаков  х и у.

r_y/x=

В нашем случае исходную информацию для нахождения r_y/x принимаем из таблицы 1.7.

r_y/x==  0,16

Вывод: выполненные расчеты показывают, что между выработкой на 1 рабочего и уровнем сборности существует положительная корреляция, которая говорит о том, что с увеличением факторного признака х функциональный признак у увеличивается.

Знак при коэффициенте корреляции совпадает со знаком регрессии  а₁, что свидетельствует о правильности произведенных вычислений. Имеем слабую связь между изучаемыми явлениями.

 

5. Проверка правильности гипотезы о прямолинейной форме корреляционной связи.

Таблица 1.9.

№	х	х-х	(х-х)2	у	ŷ	у-ŷ	(у-ŷ)2	у2
1	55,3	-5,09	25,91	5234	5365,63	-129,63	16803,94	27394756
2	56,9	-3,49	12,18	5458,8	6302,8	-844	712336	29798497,44
3	57	-3,39	11,49	5683,6	6304,57	-620,97	385603,74	32303308,96
4	59,6	-0,79	0,62	5908,4	6350,82	-442,42	195735,46	34909190,56
5	63,4	3,01	9,06	6133,2	6418,43	-285,23	81356,15	37616142,24
6	69,2	8,81	77,62	6358	6521,61	-163,61	26768,23	40424164
7	56,2	-4,19	14,56	6582,8	6290,34	292,46	85532,85	43333255,84
8	54,6	-5,79	33,52	6807,6	6261,87	545,73	297821,23	46344417,76
9	57,8	-2,59	6,71	7032,4	6318,8	713,6	509224,96	49454649,76
10	66,3	5,91	34,93	7257,2	6470,02	787,18	619652,35	52666951,84
11	68	7,61	57,91	7482	6500,26	981,74	963813,43	55980324
Итого	664,3	-	284,51	699338	69105,15	-	3894648,34	450225658,4

 

Расчеты при заполнении таблицы:

===60,39

Первой основной задачей, которую решает теория корреляции, является задача измерения связи. Систематизация статистического материала по двум качественным признакам производится графически путем построения поля корреляции.

Итоговая сумма частот по горизонтальным линиям поля корреляции должна соответствовать абсолютным частотам дискретного ряда распределения  факторного признака, а итоговая сумма  частот по вертикальным линиям поля корреляции- абсолютным частотам дискретного ряда распределения факторного признака. Общая сумма абсолютных частот точек  по всем горизонтальным линиям должна быть равна сумме частот (точек) по  всем вертикальным линиям поля корреляции и соответствовать числу единиц статистической совокупности, принятой для исследования

Прежде чем использовать уравнение теоретической линии  в последующем анализе, необходима проверка ее параметров (а₁,а₀) на типичность. Для проверки типичности параметров уравнения регрессии используется t- критерий Стьюдента. При этом вычисляются фактические значения для параметра а₀:

t _а0=⃓a₀⃓

Для параметра а₁:

t_a1= ⃓a₀⃓, где :

σост=- среднее квадратическое отклонение результативного признака у от выровненных значений ŷ

σ_х=-среднее квадратическое отклонение факторного признака х от общей средней х. вычисленные по формулам t _а0 и t_a1 сравнивают с критическим t, которое определяют по таблице Стьюдента с учетом принятого уровня значимости α и числом степеней свободы вариации k =п-2. В нашем случае α=0,1. Параметр признается значимым (существенным) при условии, что если t_расч.>t_знач.

По таблице распределения  Стьюдента для  k=9 и уровня значимости α=0,1 находим критическое значение t_к=4,781.

          Так как ta0> tк< ta1 (0,04< 3.69 >0,004), следовательно параметры a1 и а0  не признаются значимыми.

Для оценки значимости коэффициента корреляции r используют t – критерий Стьюдента. При линейной однофакторной связи t – критерий рассчитывается по формуле:

 

 t

= r* =0,16*=0,053

 

Получили, что t > tк (0,053 < 3,690), что свидетельствует о не значимости коэффициента корреляции и существенной связи между выработкой на 1 рабочего и уровнем сборности.

После того, как установлена  форма связи и измерена теснота  значимости между результативным и  факторным признаками, делается проверка правильности принятой гипотезы о прямолинейной  форме корреляционной связи. Проверка производится при сравнении двух показателей тесноты связи: эмпирического  корреляционного отношения  и линейного коэффициента корреляции r. При этом оба показателя возводятся в квадрат и называются коэффициентами детерминации. Осуществим эту проверку применительно к нашему примеру, для которого  = 0,76(вычисляется в разделе 2) и r = 0,16^2=0,026.

Разница между ними составляет  -0,76+0,026 = -0,73<0,1 . Полученная разница меньше, чем 0,1, следовательно, дальнейшие расчеты не ведутся.

8. Общий вывод по разделу «Корреляционный анализ»

По данным таблицы 1.1 мы построили  интервальные и дискретные ряды. При  помощи таблицы 1.2. сделали вывод, что  ряд распределения по выработке  на 1 рабочего показывает, что наиболее характерным является группа с центральным  значением интервала 6133,2, 6582,8, 6807,6 тыс. руб., так как они составляют 18,18 % от всего количества выработки  на 1 рабочего. Ряд распределения  по уровню сборности показывает, что наиболее характерным является группа с центральным значением интервала 61,9 , так как составляет 27,27%.

Затем мы строим корреляционную таблицу, которая показывает, что  при переходе слева направо в сторону больших значений факторного признака х соответствующие ряды распределения функционального признака у смещаются сверху вниз, т.е. в сторону меньших значений функций. Следовательно, выработка на 1 рабочего в год находится в корреляционной зависимости от  уровня сборности

Далее считаем эмпирическую линию регрессии. После всех расчетов можно было сделать вывод о  том, что расчет эмпирической линии регрессии вновь подтвердил наличие корреляционной зависимости между выработкой на 1 рабочего и уровнем сборности . При расчете теоретической линии регрессии из уравнения теоретической линии регрессии видно, что выработка на 1 рабочего увеличивается на 17,79% при увеличении численности на 1 %. Уровень сборности , не зависящая от рассматриваемых факторов равна 5290,54

Затем просчитываем коэффициент  корреляции, который помогает определить тесноту связи между результативным и факторным признаком и сделали  вывод, что выполненные расчеты  показывают, что между выработкой на 1 рабочего в год и объемом  работ собственными силами существует положительная корреляция, которая говорит о том, что с увеличением факторного признака х функциональный признак у увеличивается.

Знак при коэффициенте корреляции совпадает со знаком регрессии  а₁, что свидетельствует о правильности произведенных вычислений. Случайные факторы оказывают большое влияние на функцию, т.к. r=0,16, следовательно, имеем слабую связь между изучаемыми явлениями.

В заключении, мы выяснили при  помощи расчета коэффициента детерминации, что имеется кое какое отклонение, однако оно не существенно и доказали это утверждение нахождением  показателя t.

 

 

 

 

 

 

 

2. Определение показателей вариации