Средние величины в статистике

Степень средней величины (k)	Название  средней
-1	гармоническая
0	геометрическая
1	арифметическая
2	квадратическая
3	кубическая

Выбор формы средней обусловлен исходным соотношением, суть которого приводилась выше. Существует порядок  расчета средней величины:

1. Определение исходного соотношения  для исследуемого показателя.

2. Определение недостающих данных  для расчета исходного соотношения.

3. Расчет средней величины.

Рассмотрим  некоторые виды средних, которые наиболее часто используются в статистике. Для этого введем следующие понятия и обозначения:

Признак, по которому находится средняя, называемый осредняемым признаком,  обозначим буквой "х"

x

Значения  признака, которые встречаются у  группы единиц или отдельных единиц совокупности (не повторяясь) называются вариантами признака  и обозначаются через x₁, x₂, x₃ и т.д. Средняя величина этих значений обозначается через "   " .

1.2.1 Средняя арифметическая

Средняя арифметическая простая (невзвешенная) равна сумме отдельных значений признака, деленной на число этих значений.

Отдельные значения признака называют вариантами и обозначают  через х ( ); число единиц совокупности обозначают через n, среднее значение признака - через . Следовательно, средняя арифметическая простая равна:

Например, имеются следующие данные о продаже  путевок менеджерами турфирмы  за неделю:

№ менеджера	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Продано путевок за неделю	16	17	18	17	16	17	18	20	21	18

В данном примере  варьирующий признак – продажа  путевок за неделю.

Численные значения признака (16,  17 и т. д.) называют вариантами. Определим среднюю продажу путевок  менеджерами за неделю:

Простая средняя  арифметическая применяется в случаях,  когда имеются отдельные значения признака,  т.е. данные не сгруппированы. Если данные представлены  в  виде  рядов распределения или группировок,  то средняя исчисляется иначе.

Средняя арифметическая взвешенная вычисляется по формуле  , где f_i - частота повторения i-ых вариантов признака, называемая весом. Таким образом, средняя арифметическая взвешенная равна сумме взвешенных вариантов признака, деленная на сумму весов. Она применяется в тех случаях, когда каждая варианта признака встречается несколько (неравное) число раз.

Статистический  материал в результате обработки  может быть  представлен не  только  в виде дискретных рядов  распределения,  но и в виде интервальных вариационных рядов с закрытыми  или открытыми интервалами. В  таких рядах условно величина интервала первой группы принимается  равной величине интервала последующей, а величина интервала последней  группы - величине интервала предыдущей. Дальнейший расчет аналогичен изложенному выше.

При расчете  средней по интервальному вариационному ряду необходимо сначала найти середину интервалов. Это и будут значения x_i, а количество единиц совокупности в каждой группе f_i (таблица 2).

Таблица 2

Возраст рабочего, лет	Число рабочих, чел (fi)	Середина возрастного интервала, лет (xi)
20-30 30-40 40-50 50-60 60 и более	7 13 48 32 6	25 35 45 55 65
Итого	106	Х

Средний возраст  рабочих турфирмы будет равен  лет.

В практике экономической статистики иногда приходится исчислять среднюю по групповым средним или по средним отдельных частей совокупности (частным средним). В таких случаях за варианты (х) принимаются групповые или частные средние, на основании которых исчисляется общая средняя как обычная средняя арифметическая взвешенная.

Средняя арифметическая обладает рядом свойств:

1. От уменьшения  или увеличения частот каждого  значения  признака х в n раз величина средней арифметической не изменится.

Если все  частоты разделить или умножить на какое-либо число,  то величина  средней не изменится.

2. Общий множитель индивидуальных значений  признака  может  быть вынесен за знак средней:

3. Средняя   суммы  (разности)  двух  или  нескольких величин равна сумме  (разности) их средних:

4. Если х = с, где с - постоянная величина, то .

5. Сумма отклонений  значений признака Х от средней арифметической х равна нулю:

 

1.2.2 Средняя гармоническая

Наряду со средней арифметической, в статистике применяется средняя гармоническая  величина,  обратная  средней  арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной.³ Применяется она тогда, когда необходимые веса (f_i) в исходных данных не заданы непосредственно, а входят сомножителем в одни из имеющихся показателей. Средняя гармоническая простая рассчитывается по формуле , т.е. это обратная величина средней арифметической простой из обратных значений признака.

Например, группа менеджеров была занята разработкой  одинаковых туров в течение 8-часового рабочего дня. Первый менеджер затратил на один тур 12 мин, второй - 15 мин.,  третий - 11, четвертый - 16 и пятый - 14 мин. Определите среднее время, необходимое на изготовление одного тура.

На первый  взгляд  кажется,  что задача легко решается по формуле средней арифметической простой:

Полученная  средняя была бы правильной,  если  бы  каждый  менеджер разработал только  по  одному туру.  Но в течение дня отдельными менеджерами было изготовлено различное число туров.  Для определения числа туров, изготовленных каждым менеджером, воспользуемся следующим соотношением:

                                                           все затраченное время 

Среднее время, затраченное =  --------------------------------------

          на разработку одного                      число туров

тура

Число туров, изготовленных каждым менеджером, определяется отношением всего времени работы к среднему времени, затраченному на один тур. Тогда среднее время,  необходимое для изготовления одного тура, равно:

 

Это же решение  можно представить иначе:

Таким образом,  формула для расчета средней  гармонической простой будет  иметь вид:

Средняя гармоническая  взвешенная:

, где M_i=x_i*f_i (по содержанию).

Например, необходимо определить средний курс продажи  акций (таблица 3):

Таблица 3

Сделка	Количество проданных акций, шт.	Курс продажи, руб.
1 2 3	500 300 1100	1080 1050 1145
Итого	1900	Х

 

Средний курс продажи акций будет равен  .

 

1.2.3 Средняя геометрическая

Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики, т.е. характеризует средний коэффициент роста.

Средняя геометрическая исчисляется извлечением корня степени  из произведений отдельных значений — вариантов признака х:

где n — число вариантов; П — знак произведения.

Наиболее  широкое применение средняя геометрическая получила в анализе динамики среднего темпа роста.⁴

 

1.2.4 Средняя квадратическая и средняя кубическая

В ряде случаев в экономической  практике возникает потребность  расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных или  кубических единицах измерения. Тогда  применяется средняя квадратическая (например, для вычисления средней величины стороны и квадратных участков, средних диаметров труб, стволов и т.п.) и средняя кубическая (например, при определении средней длины стороны и кубов).

Средняя квадратическая простая является квадратным корнем из частного от деления суммы квадратов отдельных значений признака на их число:

,

где x₁,x₂,…x_n- значения признака, n- их число.

Средняя квадратическая взвешенная:

,

где f-веса.

Средняя кубическая простая является кубическим корнем из частного от деления суммы  кубов отдельных значений признака на их число:

,

где x₁,x₂,…x_n- значения признака, n- их число.

Средняя кубическая взвешенная:

,

где f-веса.

Средние квадратическая и кубическая имеют ограниченное применение в практике статистики. Наиболее широко средняя квадратическая используется при расчете показателей вариации⁵.

Средняя может быть вычислена не для всех, а для какой-либо части единиц совокупности. Примером такой средней  может быть средняя прогрессивная  как одна из частных средних, вычисляемая  не для всех, а только для "лучших" (например, для показателей выше или ниже сред- них индивидуальных).

 

1.2.5 Структурные средние.

Для характеристики структуры вариационных рядов применяются  так называемые структурные средние. Наиболее часто используются в экономической  практике мода и медиана.

Мода – значение случайной величины встречающейся с наибольшей вероятностью. В дискретном вариационном ряду это вариант имеющий наибольшую частоту.

В дискретных вариационных рядах мода определяется по наибольшей частоте. Предположим  товар А реализуют в городе 9 фирм по цене в рублях:

44; 43; 44; 45; 43; 46; 42; 46;43;

Так как чаще всего встречается цена 43 рубля, то она и будет модальной.

В интервальных вариационных рядах моду определяют приближенно по формуле

,

где - начальное значение интервала, содержащего моду;

- величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего  модальному;

- частота интервала, следующего  за модальным.

Место нахождения модального интервала определяют по наибольшей частоте (таблица 4)

Распределение турагентств  по  численности  персонала характеризуется следующими данными:

Таблица 4

Группы турагентств по числу работающих, чел	Число тур. агентств
100 — 200	1
200 — 300	3
300 — 400	7
400 — 500	30
500 — 600	19
600 — 700	15
700 — 800	5
ИТОГО	80