Средние величины в статистике

 

В этой задаче наибольшее число турагентств (30) имеет  численность работающих от 400 до 500 человек. Следовательно, этот интервал является модальным интервалом ряда распределения.

Введем следующие  обозначения:

=400, =100,  =30, =7, =19

Подставим эти  значения в формулу моды и произведем вычисления:

Мода применяется  для решения некоторых практических задач. Так, например, при изучении товарооборота  рынка берется модальная цена, для изучения спроса на обувь, одежду используют модальные размеры обуви и одежды и др.

Медиана - это численное значение признака у той единицы совокупности, которая находится в середине ранжированного ряда (построенного в порядке возрастания, либо убывания значения изучаемого признака). Медиану иногда называют серединной вариантой, т.к. она делит совокупность на две равные части.

В дискретных вариационных рядах с нечетным числом единиц совокупности - это конкретное численное значение в середине ряда. Так в группе студентов из 27 человек  медианным будет рост у 14-го,  если они выстроятся по росту. Если число  единиц совокупности четное, то медианой будет средняя арифметическая из значений признака у двух средних  членов ряда. Так, если в группе 26 человек, то медианным будет рост средний 13-го и 14-го студентов.

В интервальных вариационных рядах медиана определяется по формуле:

, где 

x₀ - нижняя гранича медианного интервала;

i_Me - величина медианного интервала;

S_me-1 - сумма накопленных частот до медианного интервала;

f_Me - частота медианного интервала.

 

Распределение турагентств  по  численности  персонала характеризуется следующими данными:

Таблица 5

Группы турагентств по числу рабочих, чел.	Число турагентств	Сумма накопительных частот, S
100 — 200	1	1
200 — 300	3	4   (1+3)
300 — 400	7	11  (4+7)
400 — 500	30	41  (11+30)
500 — 600	19	60 (41+19)
600 — 700	15	75 (60+15)
700 — 800	5	80 (75+5)
ИТОГО	80	X

 

Определим прежде всего медианный интервал.  В данной задаче сумма накопленных частот, превышающая половину всех значений (41), соответствует интервалу 400 - 500.  Это и есть медианный интервал,  в котором находится медиана.  Определим ее значение по приведенной выше формуле.

Известно, что:

Следовательно,

.

Cоотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить его асимметрию. Если M₀<Me< имеет место правосторонняя асимметрия. Если же <Me<M₀ - левосторонняя асимметрия ряда. По приведенному примеру можно сделать заключение, что наиболее распространенная численность рабочих является порядка 467,6 чел. В то же время более половины турагентств имеют численность рабочих более 496,6 чел., при среднем уровне 510 чел. . Из соотношения этих показателей следует сделать вывод о правосторонней асимметрии распределения турагенств  по  численности персонала.

Мода и  медиана в отличие от степенных  средних являются конкретными характеристиками, их значение имеет какой-либо конкретный вариант в вариационном ряду.

Мода и  медиана, как правило, отличаются от значения средней, совпадая с ней  только в случае симметричного распределения  частот вариационного ряда. Поэтому соотношение моды, медианы и средней арифметической позволяет оценить ассиметрию ряда распределения.

Мода и  медиана, как правило, являются дополнительными  к средней характеристиками совокупности и используются в математической статистике для анализа формы  рядов распределения.

Аналогично  медиане вычисляются значения признака, делящие совокупность на четыре равные (по числу единиц) части — квартели, на пять равных частей — квинтели, на десять частей — децели, на сто частей — перцентели.

 

1.3 Применение средних величин в туризме.

Например, имеются следующие данные об отправке туристов:

Страны	Великобритания	Германия	Италия	Испания	Франция	Швейцария	Австрия	Швеция	Норвегия	Бельгия	Нидерланды	Греция	Португалия	Дания	Финляндия	Другие страны
Отправлено туристов, тыс. чел.	964	529	346	307	212	47	35	33	16	21	22	42	14	5	2	69

В данном примере варьирующий признак  – число отправленных туристов.

Определим среднее  количество отправленных туристов:

тыс. чел.

Простая средняя арифметическая применяется  в случаях,  когда имеются отдельные  значения признака,  т.е. данные не сгруппированы. Но можно их сгруппировать и тогда  средняя будет исчисляться иначе:

тыс. чел.

    x_min x_min+i

1. 2 194,4

2.194,4 386,8 

3.386,8 579,2

4.579,2 771,6

5.771,6 964

Группы по отправке туристов	Количество групп			Накопленная частота S
A	1	2	3	4
2-194,4	11	98,2	1080,2	11
194,4-386,8	3	290,6	871,8	14
386,8-579,2	1	483	483	15
579,2-771,6	-	675,4	-	15
771,6-964	1	867,8	867,8	16
Итого	16	x	3302,8	x

 

Таким образом, тыс. чел.

тыс. чел.

Теперь найдем структурные средние  величины – Моду и Медиану.

тыс.чел.

 тыс. чел.

тыс. чел.

Вывод: среднее значение отправленных туристов  составляет 207 тыс. чел. Наиболее распространенное значение количества отправленных туристов– 114 тыс. чел. Значение количества отправленных туристов, которое делит группы на две равные части, составляет 141  тыс. чел.

 

2. Практическая часть

Структурная группировка предприятий по объему продукции

i=

 тыс. руб.

x_min         x_min+i

1. 10 18,2

2. 18,2 26,4

3. 26,4 34,6

4. 34,6 42,8

5. 42,8 51

 

Группа предприятий по объему продукции	Количество предприятий	% к итогу
А	1	2
10-18,2	14	35
18,2-26,4	14	35
26,4-34,6	6	15
34,6-42,8	2	5
42,8-51	4	10
Итого	40	100

 

Вывод:

• У 14 предприятий, что составляет 35% объема продукции, находится в интервале от 10 до 18,2 тыс. руб.
• У 14 предприятий, что составляет 35% объема продукции, находится в интервале от  18,2 до 26,4 тыс. руб.
• У 6 предприятий, что составляет 15% объема продукции, находится в интервале от 26,4 до 34,6 тыс. руб.
• У 2 предприятий, что составляет 5% объема продукции, находится в интервале от 34,6 до 42,8 тыс. руб.
• У 4 предприятий, что составляет 10% объема продукции, находится в интервале от 42,8 до 51 тыс. руб.

Структурная группировка предприятий по годовой  выработке одного работника

 

 тыс. руб.

x_min    x_min+i

1. 200 248

2. 248 296

3. 296 344

4. 344 392

5. 392 440 

6. 440 488

 

Группа предприятий по годовой  выработке одного работника	Количество предприятий	% к итогу
А	1	2
200-248	7	17,5
248-296	10	25
296-344	8	20
344-392	10	25
392-440	4	10
440-488	1	2,5
Итого	40	100

 

Вывод:

• У 7 предприятий, что составляет 17,5% годовой выработки одного работника, находится в интервале от 200 до 248 тыс. руб.
• У 10 предприятий, что составляет 25% годовой выработки одного работника, находится в интервале от 248 до 296 тыс. руб.
• У 8 предприятий, что составляет 20% годовой выработки одного работника, находится в интервале от 296 до 344 тыс. руб.
• У 10 предприятий, что составляет 25% годовой выработки одного работника, находится в интервале от 344 до 392 тыс. руб.
• У 4 предприятий, что составляет 10% годовой выработки одного работника, находится в интервале от 392 до 440 тыс. руб.
• У 1 предприятия, что составляет 2,5% годовой выработки одного работника, находится в интервале от 440 до 488 тыс. руб.

 

Аналитическая группировка предприятий по годовой  выработке одного работника и  объему продукции

 

Группа предприятий по годовой  выработке одного работника	Количество предприятий	Средне значение по объему продукции
А	1	2
200-248	7	84
248-296	10	179
296-344	8	215
344-392	10	314
392-440	4	128
440-488	1	39
Итого	40	159,8

 

 руб.

 

Вывод: зависимость между годовой выработкой одного работника и объемом продукции прямая.

 

Комбинационная  группировка по годовой выработке  одного работника и объему продукции

 

Группы предприятий по годовой  выработке одного работник	Группы предприятий по объему продукции					Итог
	10-18,2	18,2-26,4	26,4-34,6	34,6-42,8	42,8-51
А	1	2	3	4	5	6
200-248	7	-	-	-	-	7
248-296	7	3	-	-	-	10
296-344	-	7	-	-	1	8
344-392	-	4	2	1	3	10
392-440	-	-	4	-	-	4
440-488	-	-	-	1	-	1
Итого	14	14	6	2	4	40