Средние величины

 

    Определить  модальный размер заработной платы.

    Решение. Первоначально по наибольшей частоте  признака определим модальный интервал. Наибольшее число работников - 70 человек  — имеют заработную плату в  интервале 700—800 руб., который и является модальным.

    Медианой называется вариант, расположенный в середине упорядоченного вариационного ряда, делящий его на две равные части.

    В примере 1 медианой является величина признака, равная 0,8. В ранжированном  ряду из четного числа членов медианой будет средняя арифметическая из двух вариантов, расположенных в середине ряда.

    Медиана дискретного вариационного ряда определяется по сумме накопленных  частот, которая должна превышать  половину всего объема единиц совокупности.

    Для интервальных вариационных рядов медиана  рассчитывается по формуле.

    где Me — медиана;

    — нижняя граница медианного интервала;

    — величина медианного интервала;

    — сумма частот ряда;

    — сумма накопленных частот ряда, предшествующих медианному интервалу;

    — частота медианного интервала. 

    Пример 7. По данным примера 6 рассчитать медиану.

    Решение. Определяем медианный интервал, в  котором находится порядковый номер  медианы. Для этого подсчитаем сумму  частот накопленным итогом до числа, превышающего половину объема совокупности (200/2 = 100).

    В графе «Сумма накопленных частот»  значение 110 соответствует интервалу 700—800. Это и есть медианный интервал, в котором находится медиана.

    Из  расчета видно, что половина работников предприятия имеют заработную плату  до 785,7 руб., а половина — выше этой суммы.

    Показатели  вариации. Для измерения степени  колеблемости отдельных значений признака от средней исчисляются основные обобщающие показатели вариации: дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

    Дисперсия — это средняя арифметическая квадратов отклонений отдельных значений признака от их средней арифметической.

    В зависимости от исходных данных дисперсия  вычисляется по формуле средней  арифметической простой или взвешенной:

• невзвешенная (простая);
• взвешенная.

    Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии и равно:

• невзвешенное;

    — взвешенное.

    В отличие от дисперсии среднее  квадратическое отклонение является абсолютной мерой вариации признака в совокупности и выражается в единицах измерения варьирующего признака (рублях, тоннах, процентах и т.д.).

    Для сравнения размеров вариации различных  признаков, а также для сравнения  степени вариации одноименных признаков  в нескольких совокупностях исчисляется  относительный показатель вариации — коэффициент вариации (V), который представляет; собой процентное отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

    По  величине коэффициента вариации можно  судить о степени вариации признаков, а следовательно, об однородности состава  совокупности. Чем больше его величина, тем больше разброс значений признака вокруг средней, тем менее однородна совокупность по составу.

    Пример 8. Имеются выборочные данные о стаже работников коммерческих банков:

    Таблица 7.

 

    Определить:

    1) средний стаж работников;

    2) дисперсию;

    3) среднее квадратическое отклонение;

    4) коэффициент вариации.

    Решение. 1. Средний стаж работников

    x =500/100 =5 лет.

    2. Дисперсия

    356/100 =3,56    3,6;

    3. Среднее квадратическое отклонение     =     356/100 =        3.6  = 1,8867.

    4. Коэффициент вариации        = 1,8867/5-100=37,7%.

    Правило сложения дисперсий (вариаций). Для  статистической совокупности, сгруппированной  по изучаемому признаку, возможно вычисление трех видов дисперсий: общей, частных (внутригрупповых) - и межгрупповой. Общая дисперсия характеризует вариацию всех единиц совокупности от общей средней, частные - вариацию признака в группах от групповой средней и межгрупповая — вариацию групповых средних от общей средней. Между указанными видами дисперсий существует соотношение, которое называют правилом сложения дисперсий: общая дисперсия равна сумме средней из частных дисперсий и межгрупповой:

    Если  основанием группировки является факторный признак, то с помощью правила сложения дисперсий можно измерить силу его влияния на результативный признак, вычислив коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

    Коэффициент детерминации равен отношению межгрупповой  дисперсии к общей и показывает долю общей вариации результативного признака, обусловленную вариацией группировочного признака.

    Корень  квадратный из коэффициента детерминации называется эмпирическим корреляционным отношением:

                                                    

    По  абсолютной величине он может изменяться от 0 до 1. Если = 0, группировочный признак  не оказывает влияния на результативный. Если = 1, изменение результативного признака полностью обусловлено группировочным признаком, т.е. между ними существует функциональная связь.

    Пример 9. По данным выборочного обследования заработной  платы работников бюджетной сферы получены следующие показатели:

    Таблица 8.

    Определить:

    1) среднюю заработную плату работников  по двум отраслям;

    2) дисперсии заработной платы: а)  среднюю из групповых дисперсий  (отраслевых), б) межгрупповую (межотраслевую), в) общую;

    3) коэффициент детерминации и эмпирическое  корреляционное отношение.

    Решение. 1. Средняя заработная плата работников по двум отраслям равна

    2. а) Средняя из групповых дисперсий  равна

    б) Межгрупповая дисперсия равна

    в) Применяя правила сложения дисперсий, получим общую дисперсию:

    а) Коэффициент детерминации равен 0,4424, или 44,24%.

    Он  показывает, что оплата труда на 44,24% зависит от отраслевой принадлежности работников и на 55,76% — от внутриотраслевых причин.

    б) Эмпирическое корреляционное отношение составляет, что свидетельствует о существенном влиянии на дифференциацию заработной платы отраслевых особенностей⁶. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Заключение 

    Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень  явления. Он выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности.

    Средние величины делятся на два больших  класса: степенные средние, структурные  средние.

    К степенным средним относятся  такие наиболее известные и часто  применяемые виды, как средняя  геометрическая, средняя арифметическая и средняя квадратическая, средняя гармоническая, средняя кубическая.

    В качестве структурных средних рассматриваются  мода и медиана.

    Степенные средние в зависимости от представления  исходных данных могут быть простыми и взвешенными. Простая средняя считается по не сгруппированным данным. Взвешенная средняя считается по сгруппированным данным.

    Общие формулы расчета степенных средних  имеют показатель степени (m).

• средняя гармоническая, если m = - 1;
• средняя геометрическая, если m → 0;
• средняя арифметическая, если m = 1;
• средняя квадратическая, если m = 2;
• средняя кубическая, если m = 3.

    Если  рассчитать все виды средних для  одних и тех же исходных данных, то значения их окажутся неодинаковыми. Здесь действует правило мажорантности  средних: с увеличением показателя степени m увеличивается и соответствующая средняя величина.

    Главное требование к формуле расчета  среднего значения заключается в  том, чтобы все этапы расчета  имели реальное содержательное обоснование; полученное среднее значение должно заменить индивидуальные значения признака у каждого объекта без нарушения связи индивидуальных и сводных показателей. Иначе говоря, средняя величина должна исчисляться так, чтобы при замене каждого индивидуального значения осредняемого показателя его средней величиной оставался без изменения некоторый итоговый сводный показатель, связанный тем или другим образом с осредняемым. Этот итоговый показатель называется определяющим, поскольку характер его взаимосвязи с индивидуальными значениями определяет конкретную формулу расчета средней величины. 

 

     Список использованной литературы

1. Бестужев-Лада И.В. Мир нашего завтра, М.: «Мысль», 2008

2. Боярский  А.Я., Громыко Г.Л. Общая теория статистики, М., 2005.

3. Громыко Л.Г.Общая  теория статистики: Практикум. – М.: ИНФРА – М,2009. – 139 с.

4. Гусаров В.М. Теория статистики. - М., 2008.

5. Елисеева  И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник / Под ред. чл.-корр. РАН И.И.Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 368 с.: ил.
6. Общая теория статистики: Учебник / А.Я. Боярский, Л.Л. Викторова, А.М. Гольдберг и др.; Под ред. А.М. Гольдберга, В.С. Козлова. – М.: Финансы и статистика,2005. – 367 с.
7. Пасхавер И.С. Средние величины в статистике. – М.: Статистика, 2009. – 279 с., ил.
8. Практикум по теории статистики: Учеб. пособие / Под ред. Р.А. Шмойловой. – М.; Финансы и статистика, 2010. – 416 с.: ил.
9. Статистика: учебник / Л.П. Харченко, В.Г. Ионин, В.В. Глинский и др.; под ред. канд. экон. наук, проф. В.Г. Ионина. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2008. – 445 с. – (Высшее образование).
10. Теория статистики: Учебно – методический комплекс / Под ред. В.В. Глинского, В.Г. Ионина, Л.И. Яковенко. – Новосибирск: НГУЭУ, 2007. – 108 с.
11. Харченко Л.П. История статистики. Развитие методологии статистической науки: Учебное пособие. – НГУЭУ, 2005. – 144 с.