Статистические методы изучения валового регионального продукта

По условию Задания 2 факторным является признак ВРП (X), результативным – признак Доходы населения (Y).

 

1. Установление наличия и характера корреляционной связи между

признаками ВРП и Доходы населения методами аналитической

группировки и корреляционных таблиц

 

1а. Применение метода  аналитической группировки

Аналитическая группировка  строится по факторному признаку Х и для каждой j-ой группы ряда определяется среднегрупповое значение результативного признака Y. Если с ростом значений фактора Х от группы к группе средние значения систематически возрастают (или убывают), между признаками X и Y имеет место корреляционная связь.

Используя разработочную таблицу 2.1.2, строим аналитическую группировку, характеризующую зависимость между факторным признаком Х – ВРП и результативным признаком Y – Доходы населения. Макет аналитической таблицы имеет следующий вид (табл. 2.2.1):

Таблица 2.2.1

Зависимость доходов  населения от ВРП

Номер группы	Группы регионов по объему ВРП, млн. руб., x	Количество регионов, fj	Доходы населения, млн. руб.
			всего	в среднем на один регион,
1	2	3	4	5=4:3
1
2
3
4
5
	ИТОГО

Групповые средние значения получаем из таблицы 2.1.2 (графа 4), основываясь на итоговых строках «Всего». Построенную аналитическую группировку представляет табл. 2.2.2:

Таблица 2.2.2

Зависимость доходов населения от ВРП

Номер группы	Группы регионов по объему ВРП, млн. руб.	Количество регионов, fj	Доходы населения, млн. руб.
			Всего	в среднем на один регион
1	2	3	4	5=4:3
1	26875,000 – 38289,600	7	137247,000	19606,714
2	38289,600 – 49704,200	10	266985,000	26698,500
3	49704,200 – 61118,800	5	171021,000	34204,200
4	61118,800 – 72533,400	5	207046,000	41409,200
5	72533,400 - 83948,000	3	147914,000	49304,667
	Итого	30	930213,000

Вывод. Анализ данных табл. 2.2.2 показывает, что с увеличением объема ВРП от группы к группе систематически возрастает и средний доход по каждой группе регионов, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.

 

1б. Применение метода  корреляционных таблиц.

Корреляционная таблица  строится как комбинация двух рядов распределения по факторному признаку Х и результативному признаку Y. На пересечении j-ой строки и k-ой графы таблицы указывается число единиц совокупности, входящих в j-ый интервал по признаку X и в k-ый интервал по признаку Y. Концентрация частот около диагонали построенной таблицы свидетельствует о наличии корреляционной связи между признаками - прямой или обратной. Связь прямая, если частоты располагаются по диагонали, идущей от левого верхнего угла к правому нижнему, обратная - по диагонали от правого верхнего угла к левому нижнему.

Для построения корреляционной таблицы необходимо знать величины и границы интервалов по двум признакам X и Y.  Для факторного  признака Х – ВРП эти величины известны из табл. 2.1.3. Определяем величину интервала для результативного признака Y – Доходы населения при k = 5,  у_max = 52885,00 млн. руб., у_min = 16125,00 млн. руб.:

Границы интервалов ряда распределения результативного  признака Y имеют следующий вид (табл. 2.2.3):

Таблица 2.2.3

Номер группы	Нижняя граница, млн. руб.	Верхняя граница, млн. руб.
1	16125,00	23477,00
2	23477,00	30829,00
3	30829,00	38181,00
4	38181,00	45533,00
5	45533,00	52885,00

Подсчитывая для каждой группы число входящих в нее регионов с использованием принципа полуоткрытого интервала [ ), получаем интервальный ряд распределения результативного признака (табл. 2.2.4).

Таблица 2.2.4

Интервальный ряд распределения регионов по доходам населения

Группы регионов по доходам населения, млн. руб., х	Количество регионов, fj
16125,00 – 23477,00	7
23477,00 – 30829,00	10
30829,00 – 38181,00	5
38181,00 – 45533,00	4
45533,00 – 52885,00	4
Итого	30

Используя группировки  по факторному и результативному  признакам, строим корреляционную таблицу (табл. 2.2.5).

Таблица 2.2.5

Корреляционная таблица  зависимости доходов населения от объема ВРП

Группы регионов по ВРП, млн. руб.	Группы регионов по доходам населения, млн. руб.
	16125,00 – 23477,00	23477,00 – 30829,00	30829,00 – 38181,00	38181,00 – 45533,00	45533,00 – 52885,00	Итого
26875,00-38289,60	7	0	0	0	0	7
38289,60-49704,20	0	10	0	0	0	10
49704,20-61118,80	0	0	5	0	0	5
61118,80-72533,40	0	0	0	4	1	5
72533,40-83948,00	0	0	0	0	3	3
Итого	7	10	5	4	4	30

Вывод. Анализ данных табл. 2.2.5 показывает, что распределение частот групп произошло вдоль диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний угол таблицы. Это свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между объемом ВРП и доходами населения.

 

2. Измерение  тесноты корреляционной связи  с использованием

коэффициента  детерминации η² и эмпирического корреляционного

отношения η

 

Для измерения тесноты  связи между факторным и результативным признаками рассчитывают специальные показатели – эмпирический коэффициент детерминации η² и эмпирическое корреляционное отношение η.

Коэффициент детерминации η² характеризует силу влияния факторного (группировочного) признака Х на результативный признак Y и рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии признака Y в его общей дисперсии :

                                       (2.2.1)

где  – общая дисперсия признака Y,

        – межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.

 

Значения показателя η² изменяются в пределах 0 ≤ η² ≤ 1. При отсутствии корреляционной связи между признаками Х и Y имеет место равенство η² =0, а при наличии функциональной связи между ними – равенство η² = 1.

Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных) и вычисляется по формуле:

,                                             (2.2.2)

где  y_i – индивидуальные значения результативного признака;

        ȳ₀ – общая средняя значений результативного признака;

         n – число единиц совокупности.

 

Межгрупповая дисперсия измеряет систематическую  вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка) и вычисляется по формуле:

,                                     (2.2.3)

где      ȳ_j – групповые средние,

ȳ₀  – общая средняя,

f_j  – число единиц в j-ой группе,

k – число групп.

Для расчета  показателей  и необходимо знать величину общей средней ȳ₀ , которая вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:

                   (2.2.4) 

Значения числителя  и знаменателя формулы имеются в табл. 2.2.2 (графы 3 и 4 итоговой строки). Используя эти данные, получаем общую среднюю ȳ₀ :

= =31007,10 млн. руб.

Для расчета общей  дисперсии  применяется вспомогательная таблица 2.2.6.

Таблица 2.2.6

Вспомогательная таблица  для расчета общей дисперсии

Номер региона п/п	Доходы  населения, млн. руб.	yi - ȳ0	(yi - ȳ0)²	yi 2
1	2	3	4	5
1	19756,00	-11251,10	126587251,21	390299536,00
2	22843,00	-8164,10	66652528,81	521802649,00
3	36005,00	4997,90	24979004,41	1296360025,00
4	26885,00	-4122,10	16991708,41	722803225,00
5	26798,00	-4209,10	17716522,81	718132804,00
6	26604,00	-4403,10	19387289,61	707772816,00
7	39722,00	8714,90	75949482,01	1577837284,00
8	26615,00	-4392,10	19290542,41	708358225,00
9	38784,00	7776,90	60480173,61	1504198656,00
10	45620,00	14612,90	213536846,41	2081184400,00
11	27437,00	-3570,10	12745614,01	752788969,00
12	26952,00	-4055,10	16443836,01	726410304,00
13	26487,00	-4520,10	20431304,01	701561169,00
14	20593,00	-10414,10	108453478,81	424071649,00
1	2	3	4	5
15	32543,00	1535,90	2358988,81	1059046849,00
16	16125,00	-14882,10	221476900,41	260015625,00
17	21140,00	-9867,10	97359662,41	446899600,00
18	34707,00	3699,90	13689260,01	1204575849,00
19	29070,00	-1937,10	3752356,41	845064900,00
20	18283,00	-12724,10	161902720,81	334268089,00
21	46104,00	15096,90	227916389,61	2125578816,00
22	23930,00	-7077,10	50085344,41	572644900,00
23	33620,00	2612,90	6827246,41	1130304400,00
24	18507,00	-12500,10	156252500,01	342509049,00
25	26207,00	-4800,10	23040960,01	686806849,00
26	48925,00	17917,90	321051140,41	2393655625,00
27	42897,00	11889,90	141369722,01	1840152609,00
28	40023,00	9015,90	81286452,81	1601840529,00
29	52885,00	21877,90	478642508,41	2796823225,00
30	34146,00	3138,90	9852693,21	1165949316,00
Итого	930213,00	0,00	2796510428,70	31639717941,00

Рассчитаем общую дисперсию по формуле (2.2.2):

=

 

Для  расчета межгрупповой дисперсии  строится вспомогательная        таблица 2.2.7. При этом используются  групповые средние значения y_j² из табл. 2.2.2 (графа 5).

Таблица 2.2.7

Вспомогательная таблица  для расчета межгрупповой дисперсии

Группы регионов по объему ВРП, млн. руб.	Количество регионов, fj	Среднее значение ȳj в группе	ȳj - ȳ0	(ȳj - ȳ0)² fj
1	2	3	4	5
26875,00-38289,60	7	19606,714	- 11400,386	909781606,643
38289,60-49704,20	10	26698,500	- 4308,600	185640339,600
49704,20-61118,80	5	34204,200	3197,100	51107242,050
61118,80-72533,40	5	41409,200	10402,100	541018422,050
72533,40-83948,00	3	49304,667	18297,567	1004402874,358
Итого	30			2691950484,701

Рассчитаем межгрупповую дисперсию:

Определяем коэффициент  детерминации:

 ^{или 96,3%}

 

Вывод. 96,3% вариации доходов населения обусловлено вариацией объема ВРП, а 3,7% – влиянием прочих неучтенных факторов.

 

Эмпирическое  корреляционное отношение η оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле

          (2.2.5)

Рассчитаем показатель η:

 

Вывод: согласно шкале Чэддока связь между объемом ВРП и доходами населения является весьма тесной.