Статистические методы изучения взаимосвязей финансовых показателей деятельности банка

Среднюю арифметическую взвешенную, которая применяется в тех случаях, когда известны не только варианты, но и их вес, то есть частота повторения соответствующих вариант, наглядно можно увидеть на рисунке 1. [7]

Рис. 1 Средневзвешенные ставки по кредитам.

На рисунке 1 ставка рефинансирования – инструмент денежно-кредитного регулирования, с помощью которого Банк России воздействует на процентные ставки на различных сегментах финансового рынка  (утверждается Советом директоров Банка России); а средневзвешенная ставка – ставка, взвешенная по объемам предоставленных кредитов и срокам пользования кредитами.

 

 

 

 

 

2. Расчетная часть

Имеются следующие выборочные данные о деятельности российских банков (выборка 3%-ная механическая), млн. руб.:

№ банка п/п	Прибыль	Собственный капитал
1	62	1969
2	175	5207
3	83	840
4	153	1828
5	118	589
6	170	1368
7	139	2080
8	200	2400
9	244	3681
10	268	5590
11	342	8587
12	329	2971
13	289	6930
14	66	1115
15	121	1076
16	129	1969
17	166	4703
18	67	440
19	282	2960
20	148	981
21	165	3808
22	198	530
23	163	895
24	240	2818
25	224	3034
26	165	1079
27	213	2918
28	64	985
29	111	2020
30	119	1576
31	93	1152
32	189	3810
33	203	2400
34	237	4077
35	215	2338
36	153	1517
37	306	2646

 

 

 

2.1. Задание 1

По исходным данным:

1. Постройте статистический ряд распределения организаций по признаку прибыль, образовав заданное число групп с равными интервалами.
2. Постройте графики полученного ряда распределения. Графически определите значения моды, медианы, первый и третий квартили и первый и девятый децили.
3. Рассчитайте характеристики интервального ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
4. Вычислите среднюю арифметическую по исходным данным, сравните ее с аналогичным показателем, рассчитанным в п. 3 для интервального ряда распределения. Объясните причину их расхождения.

  Сделайте выводы по результатам  выполнения задания.

Решение.

Целью выполнения данного Задания является изучение состава и структуры выборочной совокупности банков путем построения и анализа статистического ряда распределения банков по признаку Прибыль.

2.1.1. Построение интервального ряда распределения банков по прибыли

Для построения интервального вариационного ряда, характеризующего распределение банков по прибыли, необходимо вычислить величину и границы интервалов ряда.

При построении ряда с равными интервалами величина интервала h определяется по формуле

,                                         (1)

где – наибольшее и наименьшее значения признака в исследуемой совокупности, k- число групп интервального ряда.

Число групп k задается в условии задания или рассчитывается по формуле Г.Стерджесса

k=1+3,322lgn,                                                    (2)

где  n - число единиц совокупности.

Определение величины интервала по формуле (1) при заданных k = 5,           xmax = 342 млн руб., xmin = 62 млн руб.:

При h = 56 млн руб. границы интервалов ряда распределения имеют следующий вид (табл. 1):

Таблица 1

Для построения интервального ряда необходимо подсчитать число банков, входящих в каждую группу (частоты групп). При этом возникает вопрос, в какую группу включать единицы совокупности, у которых значения признака выступают одновременно и верхней, и нижней границами смежных интервалов (это 118, 174, 230, 286 млн руб.). Отнесение таких единиц к одной из двух смежных групп рекомендуется осуществлять по принципу полуоткрытого интервала. Т.к. при этом верхние границы интервалов не принадлежат данным интервалам, то соответствующие им единицы совокупности включаются не в данную группу, а в следующую. В последний интервал включаются и нижняя, и верхняя границы.

Процесс группировки единиц совокупности по признаку Прибыль представлен во вспомогательной (разработочной) таблице 2 (графа 4 этой таблицы необходима для построения аналитической группировки в Задании 2).

Таблица 2

Разработочная таблица для построения интервального ряда распределения и аналитической группировки

На основе групповых итоговых строк «Всего» табл. 2 формируется итоговая табл. 3, представляющая интервальный ряд распределения банков по прибыли.

Таблица 3

Распределение банков по прибыли

Помимо частот групп в абсолютном выражении в анализе интервальных рядов используются ещё три характеристики ряда, приведенные в графах 4 - 6 табл. 4. Это частоты групп в относительном выражении, накопленные (кумулятивные) частоты Sj, получаемые путем последовательного суммирования частот всех предшествующих (j-1) интервалов, и накопленные частости, рассчитываемые по формуле .

Таблица 4

Структура банков по прибыли

Вывод. Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности банков показывает, что распределение банков по прибыли не является равномерным: преобладают банки с прибылью от 118 млн. руб. до 174 млн руб. (это 13 банков, доля которых составляет 35,1%); 18,9% банков имеют кредитные вложения менее 118 млн. руб., а 54% – менее 174 млн. руб.

2.1.2. Нахождение моды и медианы полученного интервального ряда распределения графическим методом и  путем расчетов

Мода и медиана являются структурными средними величинами, характеризующими (наряду со средней арифметической) центр распределения единиц совокупности по изучаемому признаку.

Мода Мо для дискретного ряда – это значение признака, наиболее часто встречающееся у единиц исследуемой совокупности2. В интервальном вариационном ряду модой приближенно считается центральное значение модального интервала (имеющего наибольшую частоту). Более точно моду можно определить графическим методом по гистограмме ряда (рис.1).

Рис. 1 Определение моды графическим методом

Конкретное значение моды для интервального ряда рассчитывается по формуле:

            (3)

где   хМo – нижняя граница модального интервала,

h –величина модального интервала,

fMo – частота модального интервала,

fMo-1 – частота интервала, предшествующего модальному,

fMo+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Согласно табл.1.3 модальным интервалом построенного ряда является интервал 118-174 млн. руб., так как его частота максимальна (f2 = 13).

Расчет моды по формуле (3):

Вывод. Для рассматриваемой совокупности банков наиболее распространенная прибыль характеризуется средней величиной 148,54 млн руб.

Медиана Ме – это значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда. По обе стороны от медианы находится одинаковое количество единиц совокупности.

Медиану можно определить графическим методом по кумулятивной кривой (рис. 2). Кумулята строится по накопленным частотам (табл. 4, графа 5).

Рис. 2. Определение медианы графическим методом

Конкретное значение медианы для интервального ряда рассчитывается по формуле:

,                           (4)

где    хМе– нижняя граница медианного интервала,

h – величина медианного интервала,

– сумма всех частот,

fМе – частота медианного интервала,

SMе-1 – кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.

Для расчета медианы необходимо, прежде всего, определить медианный интервал, для чего используются накопленные частоты (или частости) из табл. 4 (графа 5). Так как медиана делит численность ряда пополам, она будет располагаться в том интервале, где накопленная частота впервые равна полусумме всех частот или превышает ее  (т.е. все предшествующие накопленные частоты меньше этой величины).

В данном примере медианным интервалом является интервал    118-174 млн. руб., так как именно в этом интервале накопленная частота Sj = 20 впервые превышает величину, равную половине численности единиц совокупности ( = ).

Расчет значения медианы по формуле (4):

Вывод. В рассматриваемой совокупности банков половина банков имеют в среднем прибыль не более 167,5 млн руб., а другая половина – не менее 167,5 млн руб.

2.1.3. Расчет характеристик ряда распределения

Для расчета характеристик ряда распределения , σ, σ2, Vσ на основе табл. 4 строится вспомогательная табл. 5 ( – середина j-го интервала).

Таблица 5

Расчетная таблица для нахождения характеристик ряда распределения

Расчет средней арифметической взвешенной:

                        (5)

Расчет дисперсии:

                                                           (6)

Расчет среднего квадратического отклонения:

                                   

Расчет коэффициента вариации:

                         (7)

Вывод. Анализ полученных значений показателей и σ говорит о том, что средняя прибыль банков составляет 181 млн. руб., отклонение от среднего объема в ту или иную сторону составляет в среднем 69,325 млн. руб. (или 38,3%), наиболее характерные значения прибыли находятся в пределах от 111,65 млн. руб. до 250,35 млн. руб. (диапазон ).

Расхождение между значениями , Мо и Ме незначительно ( =181 млн. руб., Мо=148,54  млн. руб., Ме=167,5 млн. руб.), что подтверждает вывод об однородности совокупности банков. Таким образом, найденное среднее значение прибыли (181 млн. руб.) является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности банков.

2.1.4.Вычисление средней арифметической по исходным данным

Для расчета применяется формула средней арифметической простой:

,                (8)

Причина расхождения средних величин, рассчитанных по формулам (8) и (5), заключается в том, что по формуле (8) средняя определяется по фактическим  значениям  исследуемого  признака  для  всех  37 банков, а по формуле (5) средняя вычисляется для интервального ряда, когда в качестве значений признака берутся середины интервалов и, следовательно, значение средней будет менее точным (за исключением случая равномерного распределения значений признака внутри каждой группы).

2.2. Задание 2

По исходным данным:

Установите наличие и характер связи между признаками прибыль и величина собственного капитала, образовав пять групп с равными интервалами по обоим признакам, методами:

а) аналитической группировки;

б) корреляционной таблицы.

Решение:

а)

Таблица 6

Аналитическая группировка.

 Средняя арифметическая простая  по признаку Y (величина собственного капитала) находится по формуле 9

                                  (9)

На основе анализа аналитической таблицы можно сделать вывод, что в среднем на один банк с ростом прибыли от группы к группе собственный капитал также увеличивается; а общая прибыль и общий собственный капитал сначала возрастает, а потом убывает. Следовательно, наличие связи выявить сложно.

б)

Проранжируем исходную таблицу по признаку собственный капитал и определим величины интервала по формуле 10

                                (10)