Статистические методы планирования эксперимента

 

Медианы, величины вкладов  и оценка коэффициента b₁₇: 

слева	231,3	224,9	231,3
справа	218,6	224,9	218,6
вклад	-12,7	0,0	-12,7
n	0	2	5

 

Матрица планирования для парного взаимодействия z₂z₃:

	z2	z3	z2z3	yср
1	-1	-1	1	83,6
2	1	-1	-1	248,3
3	-1	1	-1	186,8
4	1	-1	-1	263,1
5	-1	1	-1	205,1
6	1	1	1	479,9
7	1	1	1	175,5
8	1	1	1	350,2
9	-1	-1	1	328,6
10	1	1	1	390,2
11	1	1	1	231,3
12	-1	1	-1	216,0
13	1	-1	-1	265,1
14	1	-1	-1	167,3
15	-1	1	-1	158,3
16	-1	-1	1	218,6

 

Медианы, величины вкладов  и оценка коэффициента b₂₃: 

слева	205,1	248,3	210,5
справа	263,1	216,0	279,9
вклад	58,0	-32,4	69,4
n	5	4	0

Матрица планирования для парного  взаимодействия z₄z₈:

z4	z8	z4z8	Y=Y1+Y2
-1	-1	1	118,6
-1	-1	1	210,8
-1	1	-1	222,7
-1	-1	1	109,6
1	-1	-1	161,9
-1	1	-1	140,5
1	1	1	132,6
1	-1	-1	127,1
1	-1	-1	201,8
-1	1	-1	163,4
-1	-1	1	150,5
1	1	1	105,6
1	1	1	170,4
1	-1	-1	190,6
-1	1	-1	91,2
1	1	1	138,0

 

Медианы, величины вкладов  и оценка коэффициента b₄₈:

слева	162,6
справа	135,3
вклад	-27,3
b48	-13,66

 

 

2.7 Математическая модель

 

В результате проведения эксперимента и обработки данных были выявлены следующие значимые оценки коэффициентов:

b0	247,9594
b2	73,35938
b3	51,16563
b5	48,17

 

Математическая модель будет имеет вид:

y=245,9594 + 73,359* z2 + 51,1656* z3 + 48,17 * z5

 

2.8 Проверка адекватности математического описания

 

z1	z2	z3	z5	z1z7	z2z3	z2z7	Ymod
-1	-1	-1	-1	1	1	1	75,2625
1	1	-1	1	1	-1	1	318,325
1	-1	1	-1	-1	-1	1	177,5938
-1	1	-1	1	1	-1	-1	318,325
-1	-1	1	-1	-1	-1	-1	177,5938
-1	1	1	1	-1	1	1	420,6563
-1	1	1	1	1	1	-1	420,6563
1	1	1	-1	-1	1	-1	324,3125
-1	-1	-1	1	-1	1	-1	171,6063
1	1	1	1	-1	1	-1	420,6563
-1	1	1	-1	-1	1	1	324,3125
1	-1	1	-1	1	-1	-1	177,5938
-1	1	-1	1	1	-1	-1	318,325
1	1	-1	-1	-1	-1	-1	221,9813
-1	-1	1	-1	-1	-1	-1	177,5938
1	-1	-1	1	1	1	-1	171,6063

 

s²_вос= 247,9593

Дисперсия адекватности определяется аналогично ПФЭ:

Так как  > s²_вос, поэтому используем формулу:

F_табл (ν₁ = 12;ν ₂ = 16,q = 0,05) = 2,42.

Гипотезу  об адекватности  отвергают, т.к. F>F_табл, следовательно необходимо переходить к более сложной форме математического описания либо, если это возможно, проводить эксперимент с меньшим интервалом варьирования Dх_i.

 

3 ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ СТАТИКИ СЛОЖНОГО ОБЪЕКТА МЕТОДОМ ПОЛНОГО ФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

 

Полным факторным экспериментом (ПФЭ) называется эксперимент, реализующий все возможные неповторяющиеся комбинации уровней п независимых управляемых факторов, каждый из которых варьируют на двух уровнях [4]. Число этих комбинаций N = 2ⁿ определяет тип ПФЭ.

Процесс нахождения модели (идентификации) методом  ПФЭ состоит из: 1) планирования эксперимента; 2) проведения эксперимента на объекте  исследования; 3) проверки воспроизводимости (однородности выборочных дисперсий  эксперимента; 4) получения математической модели объекта с проверкой статистической значимости оценок выборочных коэффициентов регрессии; 5) проверки адекватности математического описания.

 

 

3.1 Составление матрицы планирования

g	z0	z2	z3	z5	z2z3	z3z5	z2z5	z2z3z5
1	1	-1	-1	-1	1	1	1	-1
2	1	1	-1	-1	-1	1	-1	1
3	1	-1	1	-1	-1	-1	1	1
4	1	1	1	-1	1	-1	-1	-1
5	1	-1	-1	1	1	-1	-1	1
6	1	1	-1	1	-1	-1	1	-1
7	1	-1	1	1	-1	1	-1	-1
8	1	1	1	1	1	1	1	1

3.2    Проведение эксперимента  на объекте исследования

       Так как изменение отклика y носит случайный характер, то в каждой точке приходится проводить т=5 параллельных опытов и результаты наблюдений y_g1, y_g2, ..., y_gm усреднять:

 

3.3 Проверка воспроизводимости эксперимента

Это есть не что иное, как проверка выполнения второй предпосылки регрессионного анализа об однородности выборочных дисперсий  .

Так как все оценки дисперсий  получены по выборкам одинакового объема т = 5, то число степеней свободы для всех них одинаково и составляет

n_1вос = m – 1=4

 

Для проверки гипотезы об однородности оценок дисперсий следует пользоваться критерием Koxpэнa.

Эмпирическое значение G=0,18

Критическое значение, найденное по таблице для n_1вос = 4 и n_2вос = 8 и выбранного уровня значимости q_вос = 0,05 равно G_кр =0,39.

Т.к. G< G_кр, то гипотеза об однородности выборочных дисперсий отвечает результатам наблюдений. При этом всю группу выборочных дисперсий можно считать оценками для одной и той же генеральной дисперсии s²{у} воспроизводимости эксперимента, откуда наилучшая ее оценка имеет вид

=11,08

с числом степеней свободы

n_вос = N(m – 1)=32

 

                     

3.4 Получение математической модели объекта

     

При ПФЭ получаются независимые  оценки b₀, b_i, b_il соответствующих коэффициентов модели b₀, b_i, b_il, т.е. b₀ ® b₀, b_i ® b_i, b_il ® b_il.

В нашем случае получим:

 

b0	b2	b3	b5	b23	b35	b25	b235
45,6	13,5	30,24	10,75	8,298	11,2875	0,5725	0,9025

 

После определения оценок b коэффициентов регрессии проверим гипотезы об их значимости, т.е. соответствующие нуль-гипотезы b = 0. Проверку таких гипотез производят с помощью критерия Стьюдента.

Если  найденная величина параметра t_i превышает значение t_кр, определенное для числа степеней свободы n_зн = N(m – 1)=32, при заданном уровне значимости q_зн (обычно q_зн = 0,05), то проверяемую нуль-гипотезу Н₀: b = 0 отвергают и соответствующую оценку b_i коэффициента признают значимой.  
В нашем случае: