Статистический анализ взаимосвязей в массовых явлениях

На формирование уровня любого массового явления оказывает влияние множество факторов. Некоторые из них являются первостепенно важными, доминирующими, другие - второстепенными, их воздействие незначительно. При этом влияние того или иного фактора может быть незаметным, если оно заслоняется действием других, чтобы его обнаружить, необходимо исследовать связь результативного признака не только с каждым фактором в отдельности, но и с несколькими факторами одновременно. По этой причине в статистике различают однофакторные и многофакторные связи.

Итак, наличие многих факторных признаков, степень влияния которых на результативный признак неизвестен, выступает как одна из характерных особенностей корреляционных связей. Корреляционная связь между результативным признаком и единицей из определенного количества факторных признаков может проявиться лишь в общем, в среднем, при прочих равных условиях. Влияние факторов, которые не являются объектом исследования, устраняется путем замены их средними показателями. Согласно закону больших чисел это достигается на основании взаимопогашение отклонений признаков определенных единиц в той или другую сторону от средней при достаточно большом количестве единиц, которые изучаются. Чем больше статистическая совокупность, тем точнее устанавливаемое соотношение выражает закономерность корреляционных связей.

Следует обращать внимание и на то, что в сложных взаимоотношениях может находиться и результативный фактор - в более общем виде он может выступать как фактор изменения других признаков. Это требует того, что результаты корреляционного анализа имеют значение для данного вида связи, а интерпретация этих результатов требует построения системы корреляционных связей в более общем виде.

Но и на массовом статистическом материале выявлены зависимости не будут носить полного, функционального характера. Они в определенной мере приближаться к функциональной связи, но действие других факторов, которые не учтены исследованиям, приводит к тому, что корреляционная связь будет неполный. Из этого следует, что корреляционная связь не выражается определенной математической формулой, он может быть выражен примерно с помощью аналитических формул.

Важная особенность корреляционных связей состоит в том, что эти связи неполные. Даже на массовых данных обнаруженные зависимости не будут носить полного, т.е. функционального характера. В зависимости от действия функциональных и корреляционных связей их делят на: прямые и обратные.

Прямая связь - направление изменения результативного признака совпадает с направлением изменения признака фактора, т.е. с увеличением факторного признака увеличивается и результативный и наоборот. Обратная связь - направление изменения результативного признака не совпадает с изменением факторного признака, т.е. при увеличении факторного признака результативный уменьшается и наоборот.

По форме связи бывают:

1. Прямолинейные - с возрастанием величины факторного признака происходит непрерывное возрастание результативного признака и наоборот. Математически такая зависимость представляется уравнением прямой. График представлен в виде прямой. Эту зависимость называют линейной.
2. Криволинейные - с возрастанием величины факторного признака изменение результативного признака происходит неравномерно, направление его может даже меняться. Графически этот процесс представлен гиперболой, параболой и ломаной.

При этом следует иметь в виду, что только функциональная связь аналитическим уравнением выражается точно, а корреляционная связь - лишь приблизительно, при абстрагирование от влияния всех других признаков. Поэтому на графике будет иметь место разброс точек вокруг линии.

Если с возрастанием одного признака при любом его исходном значении другой изменяется в среднем на одну и ту же величину, между ними имеется прямолинейная связь. Если же эти изменения сами изменяются (увеличиваются, уменьшаются или даже меняют свой знак), зависимость между признаками криволинейная.

Для корреляционных связей есть различия в том случае, если: исследуется связь между одним признаком - фактором и результативным признаком; исследуется связь между несколькими признаками - факторами и результативным признаком. В первом случае имеет место парная связь и парная корреляция, во втором случае многофакторная связь и множественная корреляция.

Замечу, что многие массовые общественные явления изменяются в одном и том же направлении, но как бы параллельно, независимо друг от друга. Например, в стране увеличивается число компьютеров и число банков, растут доходы населения и уменьшается детская смертность. Здесь отсутствует причинно-следственная связь, хотя и обнаруживается тесная корреляционная зависимость. Иногда это происходит под влиянием какой-то общей причины (например, экономического роста), но чаще всего это мнимые, кажущиеся связи, не подтверждаемые содержательным анализом изучаемых явлений.

Приемы изучения статистических связей зависят от характера явлений, формы показателей и вида связи между ними, задач анализа и имеющейся информации.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Статистика рассматривает всё как существенную и устойчивую связь между определенными явлениями и процессами. Познавая связи, статистика познает законы. А их знание позволяет управлять общественным развитием.

Теория статистических методов нацелена на решение реальных задач. Поэтому в ней постоянно возникают новые постановки математических задач анализа статистических данных, развиваются и обосновываются новые методы. Обоснование часто проводится математическими средствами, то есть путем доказательства теорем. Большую роль играет методологическая составляющая - как именно ставить задачи, какие предположения принять с целью дальнейшего математического изучения. Велика роль современных информационных технологий, в частности, компьютерного эксперимента.

Актуальной является задача анализа истории статистических методов с целью выявления тенденций развития и применения их для прогнозирования.

Всё это имеет высокую значимость во всех формах хозяйствования, как для получения данных о рентабельности и эффективности, так и давать объективную оценку становления экономики по прошествии временного интервала.

Статистика как наука, всегда будет оставаться востребованной, иметь различные направления развития и применения, как на уровне международной статистике - макроуровне, так и в самой малой форме - микроуровне, в связи с постоянно возникающими в ней новыми постановками математических задач и необходимости анализа статистических данных.

 

ЗАДАЧА 1.16.  Моделирование и прогнозирование экономических массовых процессов с использованием метода наименьших квадратов (МНК).

Дано: Имеются данные статистического наблюдения о средних затратах ряда предприятий города на капитальный ремонт оборудования (уiф – тыс. руб.) в зависимости от срока службы (периода эксплуатации) этого оборудования (хiф – лет). Данные наблюдения приведены в Приложении в таблице 1. (графы 2 и 3).

Необходимо: 1) Разработать (синтезировать) и построить с обоснованием практической значимости адекватную математическую модель массового экономического процесса в хозяйственной деятельности предприятий – зависимость затрат предприятия на ремонт производственного оборудования (уi) и его срока службы (хi).

2) Для построения и обоснования  математической модели использовать корреляционно-регрессионный анализ исследуемой зависимости и метод наименьших квадратов (МНК).

3) Построить линейный график  корреляционной зависимости типа y=f(x) в виде ломаной линии (по фактическим данным хiф и уiф) и ее теоретического аналога (модели) – прямой линии (Рис. 1).

4) Аналитически и графически  определить время начала необходимости  капитального ремонта оборудования (значение хнач. рем. при ух=0).

5) Методами интерполяции (и) и экстраполяции (э), с целью нормирования и планирования затрат предприятия на ремонт оборудования (хит и уэт), дать прогноз затрат по заданному времени эксплуатации оборудования в области фактической (известной) статистики (данные наблюдения), например, при хи=6,5 лет и вне этой области – при хэ=12 лет.

6) Построить макет сложной аналитической  таблицы 1 и внести в нее фактические  данные статистического наблюдения  – хiф и уiф (графы 2 и 3).

7) Построить линейный график (Рис. 1) корреляционной зависимости (связи) хiф и уiф вида y=f(x)+ ξ (1), где ξ – величина влияния на ух суммы случайных факторов. Нанести на график (используя шкалы осей координат у и х и «сетку графика») соответствующие координатам хiф и уiф и соединить их прямыми линиями в непересекающуюся ломаную линию (ухф).

8) По характеру построенной ломаной линии определить предполагаемую теоретическую линию аппроксимации (выравнивания ломаной); в данной задаче – принимаем прямую линию и ее аналитическое  выражение ух = а0 + а1х (2). Преобразовать (синтезировать) уравнение прямой (2) в теоретическую зависимость затрат на ремонт оборудования от его срока службы подставив в (2) фактические значения хiф : уiт = а0 + а1хiф   (3).

 

Решение: Уравнение (3) есть уравнение регрессии , т.е. синтезированная математическая модель исследуемого экономического массового процесса – зависимости затрат предприятия на ремонт оборудования от его срока эксплуатации, параметры которого определяются по формулам (4) (см лекцию …):

;      (4).

Параметры a0 и а1 можно определить также и путем подстановки соответствующих сумм в уравнение (4) по данным таблицы 1.

2) Рассчитаем  a0 и а1 по уравнениям (4). По уравнению регрессии (3) определим теоретические значения затрат на ремонт оборудования (ут) и другие показатели таблицы 1 и внесем результаты расчетов в соответствующие графы таблицы 1.  По данным таблицы 1: xср = Σхi / n = 70 / 10 = 7 лет;

  ; ; ; ;

; ;  Σ (уiт - уiф)2 = 100.

3) Подставим рассчитанные суммы  из таблицы 1 в уравнения системы (4): 

 

 

Принимаем: а0=25.3; а1=2,5:  у1,2т= а0 + а1х1ф= 25.3+2.5*4= 35.3 тыс. руб., т.д.

у10т= а0 + а1х10ф= 25.3+2,5*11=52.8 тыс. руб.

 

4) В поле графика (рис.1) построим  теоретическую прямую линию исследуемой  зависимости уiт (3) по координатам уiт хiф.

5) По tкр – критерию Стьюдента необходимо обосновать практическую значимость синтезированной по уравнению прямой (2) регрессионной модели (3) и ее параметров а0=25.3 (без учета знака); а1=2,63 с учетом условия ta0 > tкр < ta (5). По вероятностной таблице для коэффициента значимости α =0,05 и количества степеней свободы  ксв = n – 2 = 10 – 2 = 8  tкр=28 (с вероятностью Pt=0,95). Фактические значения t-критерия определить по формулам:

(6);   7)

; .

 

Вывод: условие типичности выполняется:   ta0=22.62>tкр=28<ta1=5.19 

Следовательно, уравнение регрессии (3) и его параметры a0 и a1 являются (признаются) типичными, т. к. с достаточной степенью вероятности (P=0.95) определяют корреляционную зависимость затрат предприятия на ремонт оборудования уiT от его срока службы хiф.

6) Для определения показателя  тесноты и характеристики силы  корреляционной связи между уiТ и хiф определить коэффициент  корреляции (r) и коэффициент детерминации (r2) для прямолинейной зависимости:

(8)

Соответственно:           (9)

7) Оценить значимость вычисленного  коэффициента корреляции r=0.856 по t-критерию Стьюдента   при условии tr>tкр=2.3 и по шкале Чеддока (табл.2). Фактическое значение t-критерия r: (10)

Следовательно, условие значимости r выполняется: tr=5,24>tкр=2.3

 

8) По шкале Чеддока коэффициент  корреляции r=0.856 определяет корреляционную связь между уiТ и хiф как «высокую».

 

Вывод: величина r=0.856 является существенной, а связь между уiТ и хiф - «высокой». На основании коэффициент детерминации r2=0,734 с высоким уровнем доверительной вероятности (Р = 0.95) можно утверждать, что 73,4% общей вариации результативного признака уi (затрат на ремонт оборудования) объясняется (детерминировано) изменением факторного признака хi (срока службы оборудования). При этом 22,6% общей вариации (100% - 74,4%) уi вызвано влиянием суммы случайных факторов, т.е. ξ = 26,6% [ уi = f(x) + ξ)].

9) Следовательно, синтезированная  по уравнению прямой линии  математическая модель(3) - утi = 25.3+2,5хф является типичной и может быть использована для практических целей прогнозирования и планирования затрат предприятия на ремонт оборудований (уi) в зависимости от его срока службы (хi).

10) Теоретически и графически  определим время начала необходимости  капитального ремонта оборудования (хнач. рем.) по уравнению (3) при уx=0:

   , откуда   года.

Нанесем на график (рис 1) пунктирными линиями вычисленные координаты уит хи и уэт хэ..

 

        Таблица 1. 8. Данные для расчета показателей  уравнения регрессии.

 

№ п/п	хiф	уiФ	xiּ*yi	xi2	yi2	÷xi- ÷	(xi - )2	уiт	÷уiт- уiФ÷	(уiт- уiФ)2
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	4	37	141	16	1369	(-)3	9	34.1	2.99	8.94
2	4	34	136	16	1156	3	9	34.01	0.01	0.0001
3	5	40	200	25	1600	2	4	36.64	3.34	11.15
4	6	39	234	36	1521	1	1	39.27	0.27	0.073
5	6	41	246	36	1681	1	1	39.27	1.73	2.99
6	7	42	294	49	1764	0	0	41.90	0.10	0.001
7	8	44	352	64	1936	1	1	45.53	0.47	0.22
8	9	42	378	81	1764	2	4	47.16	5.16	26.6
9	10	49	490	100	2401	3	9	46.79	3,79	14.36
10	11	60	660	121	3600	4	16	56.42	3,58	12.81
Σ :	70	428	3131	544	17051	-	54	-	-	77.14