Статистический анализ взаимосвязей в массовых явлениях

 

  Примечание: xi-годы (лет); yi-тыс. руб. Принимаем: Σ (уiт-уiФ)2≈100.

   ( Кв = (Nсп + 10)/ 100; прибавить Кв ко всем уiФ)

 

Рис 1.4. График зависимости y = F(x) + ξ (масштаб шкал OX : OY = 1:2).

По шкале Чеддока (Таблица 1.9) коэффициент корреляции r=0.856 определяет корреляционную связь между уiТ и хiф как «высокую».

 

Таблица 1.9.. Шкала Чеддока

Теснота связи	0,1-0,3	0,3-0,5	0,5-0,7	0,7-0,9	0,9-0,99
Сила связи	слабая	умеренная	заметная	высокая	Весьма высокая

 

Общие выводы:

График(Рис.1.4)  – теоретическая прямая линия  уiт = а0 + а1хiф  (3), выражает форму корреляционно-регрессионной зависимости экономического массового процесса  - зависимости затрат предприятия на ремонт оборудования (уiТ) от срока службы (периода эксплуатации) этого оборудования (хiф ). Уравнение (3) является также математической моделью указанного экономического массового процесса и уравнением регрессии корреляционной зависимости между уiТ и хiф , построенного (синтезированного) на основе использования метода наименьших квадратов (МНК) для определения параметров регрессии а0 и а1 .

Синтезированное уравнение регрессии (3) может быть использовано для моделирования и прогнозирования (планирования) затрат предприятия (уiТ) на ремонт эксплуатируемого основного оборудования в зависимости от срока его эксплуатации (хiф ) как в пределах известных статистических данных (хiф от 4-х до 11-ти лет, собранных и зарегистрированных в результате научно организованного статистического наблюдения) методом интерполяции (уравнение уи = а0 + а1хи ) и так и за пределами известных данных статистики (хiф более 11 лет, в предположении сохранения прямолинейной зависимости уiТ) методом экстраполяции (уравнение уэ = а0 + а1хэ ).

5.6. Нормальный закон  распределения. Китерии согласия 

Большинство социально-экономических массовых явлений и процессов, изучаемых с помощью ранжированных рядов распределения, подчиняются нормальному закону распределения. При нормальном распределении, с увеличением величины изучаемого признака единиц статистической

 

Рис.5.4. График нормального закона распределения (уt). Для сииметричного распределения Мо = хср = Ме.

 

совокупности, соответствующие им  частоты вначале возрастают до некоторой максимальной величины и затем убывают, асимптотически приближаясь к минимальным значения относительно их симметричного начального значения (рис.5.4).

Примечание: уt – ордината (частота) кривой нормального распределения;  t – нормальное отклонение.

Для теоретической симметричной кривой нормального распределения всегда величины средней хср, моды (Мо) и медианы (Ме) равны между собой (Мо = хср = Ме), т.е. принадлежат одной и той же варианте, которая расположена в середине ряда - в центре распределения с общей вершиной одновершинной симметричной колоколообразной кривой (рис.5.4).

Замена ломаной эмпирической линии фактического распределения его теоретическим аналогом - функциональной кривой распределения,  имеющей аналитическое выражение (формулу), представляет собой процесс сглаживания или функционального выравнивания (аппроксимации, замены), связанного с возникновением отклонений и ошибок аппроксимации, для учета которых используются различные критерии согласия (К. Пирсона, А.Н.Колмогорова, В.И. Романовского и др.)  и методы оценки характера, величины, направления отличий и асимметричности аналоговой кривой.

 Асимметричность вершины (отклонение  фактического распределения и  его аналоговой модели относительно  симметричного в теоретическом  распределении) оценивается сравнением  величины средней с величиной  моды или медианы в аналоговой  кривой путем расчета коэффициента асимметрии  As (мо ) = (хср - Мо ) / σ или As (ме ) = (хср – Ме ) / σ . Для асимметричного нормального распределения Мо, хср и Ме не равны между собой.   При Мо < хср  смещение положительно (As>0)  и вершина распределения (мода) смещена влево (на графике средняя справа от моды), при этом правая часть распределения больше левой. Такая асимметрия является (и называется) правосторонней. При  хср < Мо смещение имеет отрицательное значение (As<0) и вершина распределения (мода) смещена влево (на графике средняя слева от моды). При этом левая часть распределения больше правой. Такая асимметрия является левосторонней. При As / σ >3 асимметрия признается существенной с несимметричным распрелделением изучаемого признака в генеральной совокупности.

Согласно теории нормального распределения теоретическая типовая кривая распределения (см. рис. 5.1, утtт ) имеет характеристические точки перегиба, которым соответствуют значения стандартного отклонения и среднего квадратического (стандартного) отклонения σ (t = 1 или tσ = ; t = 2 или tσ = ;  t = 3или tσ = ) и вероятности этих отклонений (Рt = 1 = 0,683; Рt = 2 = 0,954;  Рt = 3 = 0,997). В условиях нормального распределения имеет место взаимосвязь между значениями  t, σ, Рt и количеством единиц совокупности в пределах кратных значений tσ.  При t = 1 и Pt = 0,683  в пределах   хср располагается 0,683 или 68,3% общего количества единиц статистической совокупности исследуемого массового явления. Соответственно, при t = 2 и Pt = 0,954  в пределах   хср располагается 0,954 или 95,4%,а  при t = 3 и Pt = 0,997  в пределах   хср располагается 0,997 или 99,7% общего числа единиц совокупности.

Использование теоретических кривых нормального распределения позволяет осуществлять моделирование, сравнение, анализ, прогнозирование и планирование социально-экономических показателей хозяйственной деятельности.

 

Рис. 5.5. Ассиметричное распределение: а) при As>0 - правосторонняя асимметрия, б) при As<0 - левосторонняя асимметрия.

 

ЗАДАЧА 5.4. Расчет параметров нормального распределения и  показателей критериев согласия.

Дано: Имеются  данные статистического наблюдения о распределении численности рабочих (fi ) предприятия (n = 220 чел) по величине фонда средней заработной платы Фот:  хi = 3-17 тыс руб. (хi мин = 3, хi мин = 17).

Необходимо: Построить интервальный ряд и групповую таблицу распреления. Определить теоретическое выражение (аналитическую формулу), характеризующее закономерность распределения численности рабочих по уровню заработной платы. Проверить гипотезу о том, что данное распределение подчиняется нормальному закону распределения:

уt = 1/Ö2π * ℮ -t2i /2   - функция нормального распределения.

На основе критериев согласия для вывода о сходимости эмпирической и теоретической линий кривой распределения, подтвердить или отвергнуть принятую гипотезу о характере данного распределения. В качестве критериев использовать критерии согласия К.Пирсона (хи-квадрат при χ2 расч < χ2 табл ), В.И. Романовского (при Кр χ < 3), А.Н. Колмогорова (при λрасч < λтабл ), сравнивая их с уровнем, определяющим область достоверности и значимости (типичности) полученных путем расчета параметров распределения.

Критерии согласия это специфические показатели для характеристики рядов распределения, позволяющие определить случайность (несущественность при допустимом значении принятого критерия согласия) или неслучайность (существенность при превышении допустимого значения критерия) расхождения эмпирической и теоретической кривых в рядах распределения изучаемых массовых явлений и процессов.

Для наглядности подтверждения о сходимости эмпирической и теоретической линий кривой распределения,  нужно построить по фактическим  данным график эмпирической зависимости (координаты хi и fi в таблице 15.3) в виде ломаной линии, по характеру которой  высказывается гипотеза о законе данного распределения. Для сравнения и анализа построить график нормального распределения по дискретным значениям расчетных теоретических частот в виде ломаной линии (fi от ), по которой можно построить плавную линию теоретического нормального распределения (уt).

Теоретической кривой распределения называется линия, которой заменяют ломаную линию на графике фактического распределения, и  аналитическое выражение (формула) которой и  форма ее на графике отражают закономерность изучаемого (реально существующего) процесса распределения по частотной характеристике в «чистом виде» без учета влияния совокупности случайных факторов.

Расчет параметров нормального распределения.

Размах вариации признака (уровень оплаты труда рабочих по группам оплаты ) Rв = хmax – хmin = 17 – 3 = 14 млн. руб.

Оптимальное количество групп (формула Стерджесса):

 кгр.опт = 1 + 3.32 * lg n;   lg 74 = 1,9;   кгр = 1 + 3.32 * 1.9 = 7.31;

 принимаем  кгр = 7. Величина группового интервала:

игр = Rв /кгр = 14/7 =2 тыс. руб.

Величины нижней и верхней границ первого интервала интервального ряда распределения составляют хmin1 = 3, хmax1 = хmin1 + игр = 3 + 2 =5 и т.д. по всем интервальным группа. Данные расчета сведены в таблицу 5.3.

 

Таблица 5.3. Группы рабочих (fi ) по уровню заработной платы (Фот)

Фот,  хi	3-5	5-7	7-9	9-11	11-13	13-15	15-17	Итого
fi	26	29	31	44	37	28	25	220
№ п\п	1	2	3	4	5	6	7	8

 

(для вариантного решения задачи Кв = (Nсп +10) /10; fвi = fi +Кв  в гр.3; значение частот округлить до целого)

 

 

Критерий согласия К.Пирсона: χ2 расч = Σ (fi -fi от )2 / fi от ;

 χ2 расч < χ2 табл (при n > 50).

Критерий согласия В.И. Романовского на основе критерия Пирсона

Кр χ  = [χ2 - (m – 3)] / Ö 2 * (m – 3)] < 3  (m – 3 –  по характеру и условиям решаемой задачи; m =7 – число групп рабочих).

Критерий согласия А.Н.Колмогорова: lк = Dmax / Ön (Dmax – максимальное различие накопленных эмпирических и теоретических частот; n = Σ fi -  сумма эмпирических частот; для уровня значимости α = 0,05 и n = 200 (220); lк табл = 1,015 [5, c. 386])

 Для расчета χ2 расч необходимо построить таблицу 12.2.

Теретическое значение частот для критерия согласия Пирсона определяется по фармуле

fi т = [(n* игр ) / σ ] * {1/Ö2π * ℮ --- t2i /2   ];

ti = (хi - хi ср ) / σ – величина нормированного (стандартного) отклонения (доверительного интервала) кривой нормального распределения;

основание натуральных логарифмов (экспонента) ℮ и число π – постоянные математические величины.

хi ср определяется как средняя  арифметическая взвешенная

хi ср = Σ (хi  fi ) / Σ fi =2210/ 220 =10.04 тыс руб.

Среднее квадратической отклонение

σ = Ö [(хi ц - хi ср )2 *fi ] / Σ fi = Ö 3232 / 220 = Ö 8,95 =2,99, принимаем σ=3.

Постоянный множитель Кf :

Кf = (n* игр ) / σ = (220 * 2) / 3 =146,6;

игр = 2 величина группового интервала (см. гр. 2).

 

 

 

 

 

Таблица 5.4. Расчет теоретических частот нормального распределения (ты сруб.)

№ п\п	хi	fi	хi ц	хi ц *fi	ti	yt	fi т	fi от	fi - fi от	(fi - fi от )2 / fi от
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	3-5	26	4	104	- 2,0	0,0540	22,66	23	2	1,33
2	5-7	29	6	174	-1,33	0,1647	28,12	28	0	0
3	9-7	32	8	256	-0,66	0.3209	35,82	32	5	1,56
4	9-11	44	10	440	0	0,3989	39,67	45	4	0,84
5	11-13	37	12	444	0,66	0,3209	35,82	36	0	0
6	13-15	28	14	392	1,33	0.1647	28,12	29	1	0,13
7	15-17	25	16	400	2	0,0540	22,66	23	1	0,33
-	Итого	220	-	2210	-	-	-	216	-	4,19