Статистическое изучение и анализ использования основных фондов

 

Данная корреляционная таблица уже при общем знакомстве дает возможность выдвинуть предположение о наличии или отсутствии связи, а также выяснить ее направление. Если частоты в корреляционной таблице расположены на диагонали из левого верхнего угла в правый нижний угол (т.е. большим значениям фактора соответствуют большие значения функции), то можно предположить наличие прямой корреляционной зависимости между признаками. Если же частоты расположены по диагонали справа налево, то предполагают наличие обратной связи между признаками.

Уместно подчеркнуть, что при рассмотрении корреляционной таблицы важно установить расположение основной части частот. Возможны варианты, когда все клетки корреляционной таблицы окажутся заполненными. Однако это обстоятельство еще не означает, что корреляционная связь между признаками отсутствует. Нужно установить, как расположена в таблице основная масса частот. Для того чтобы сделать восприятие корреляционной таблицы более доступным и в целях более четкого выявления основной тенденции связи, можно для каждой строки рассчитать средние значения результативного признака, соответствующие определенному значению признака-фактора (каждая строка таблицы дает условное распределение у при определенном значении х).

Рентабельность продукции для первой группы, состоящей из 9 предприятий, производительность труда   на которых составило в среднем 4,46 млн. руб., будет равно

Для следующей группы, состоящей из 7 предприятий, у которых средняя производительность труда  составляет 5,59 млн. руб.

Третья группа имеет  среднюю рентабельность в размере и т. д. (рассчитанные таким образом средние представлены в графе 7 табл. 2.2).

Итак, увеличение средних значений результативного признака с увеличением значений факторного признака еще раз свидетельствует о возможном наличии прямой корреляционной зависимости среднесписочной численности менеджеров, работающих на фирмах, от среднегодовых объемов продаж.

Корреляционная таблица позволяет сжато, компактно изложить материал, поэтому все последующие расчеты (показателей тесноты связи и параметров уравнения регрессии) можно вести по корреляционной таблице.

Другим возможным приемом обнаружения связи является построение групповой таблицы. Все наблюдения разбиваются на группы в зависимости от величины признака-фактора, и по каждой группе вычисляются средние значения результативного признака (см. табл. 2.3).

 

 

 

Таблица 2.3

Производительность труда, млн руб.	Число предприятий в группе	Рентабельность, %
3,9-5,025	9	10,6
5,025-6,15	7	11,7
6,15-7,275	6	13,7
7,275-8,4	8	15,2
ИТОГО	30	-

 

Сравнив средние значения результативного признака по группам, можно сделать вывод, что рост производительности труда влечет за собой увеличение рентабельности продукции, т.е. в рассматриваемом примере можно предположить наличие прямой корреляционной зависимости между признаками.

Корреляционная зависимость отчетливо обнаруживается только при рассмотрении средних значений результативного признака, соответствующих определенным значениям факторного признака, так как при достаточно большом числе наблюдений в каждой группе влияние прочих случайных факторов при расчете групповой средней будет взаимопогашаться, и четче выступит зависимость результативного признака от фактора, положенного в основу группировки. Иными словами, предполагается, что все прочие причины, если они носят случайный характер, при определении средней по группам взаимопогашаются, т.е. дают в каждой группе один и тот же результат. Следовательно, различия в величине средних будут связаны только с различиями в величине данного факторного признака. Если бы связи между факторным и результативным признаком не было, то все групповые средние были бы приблизительно одинаковыми по величине. Оценка существенности расхождения групповых средних лежит в основе использования методов дисперсионного анализа для выявления наличия и оценки существенности связи.

Для предварительного выявления наличия связи и раскрытия ее характера, а в известной мере и для выбора формы связи применяют графический метод. Используя данные об индивидуальных значениях признака-фактора и соответствующих ему значениях результативного признака, можно построить в прямоугольных координатах точечный график, который называют «полем корреляции». Для нашего примера «поле корреляции» имеет следующий вид (см. рис. 2.1) Имеющийся в нашем распоряжении статистический материал был сгруппирован (табл. 2.3) и по каждому значению определены значения рентабельности продукции в группе (см. гр. 3 табл. 2.3) Нанеся эти средние на график и соединяя последовательно отрезками прямых соответствующие им точки, получим так называемую эмпирическую линию связи.

 

 

Рисунок 2.1 Зависимость рентабельность продаж (у) от производительности труда (х)

 

Если эмпирическая линия связи по своему виду приближается к прямой линии, то можно предположить наличие прямолинейной корреляционной связи между признаками. Если же имеется тенденция неравномерного изменения значений результативного признака, и эмпирическая линия связи будет приближаться к какой-либо кривой, то это может быть связано с наличием криволинейной корреляционной связи.

Показатели степени тесноты связи дают возможность охарактеризовать зависимость вариации результативного признака от вариации признака-фактора. В известной мере они дополняют и развивают уже отмеченные приемы обнаружения связи.

К простейшим показателям степени тесноты связи относят коэффициент корреляции знаков, который был предложен немецким ученым Г.Фехнером (1801-1887). Этот показатель основан на оценке степени согласованности направлении отклонений индивидуальных значений факторного и результативного признаков от соответствующих средних. Для его расчета вычисляют средние значения результативного и факторного признаков, а затем проставляют знаки отклонений для всех значений взаимосвязанных пар признаков.

Если ввести обозначения: - число совпадений знаков отклонений индивидуальных величин от средней, - число несовпадений знаков отклонений, то коэффициент Фехнера можно записать таким образом:

 

                                             (2.1)

Коэффициент Фехнера может принимать различные значения в пределах от -1до +1. Если знаки всех отклонений совпадут, то =0 и тогда показатель будет равен .1, что свидетельствует о возможном наличии прямой связи. Если же знаки всех отклонений будут разными, тогда =0 и коэффициент Фехнера будет равен -1, что дает основание предположить наличие обратной связи.

Рассмотрим расчет К_ф на примере, приведенном в табл. 2.4. Средняя производительность труда по всем 30 предприятиям составит  5,3 млн. руб., а рентабельность продукции, - 11,0%. В графах 4 и 5 табл. 2.4 указаны знаки отклонений значений признаков от соответствующей средней.

 

Таблица 2.4.

Порядковые номера предприятий	Производительность труда, млн. руб.	Рентабельность продукции, %	Знаки отклонения индивидуальных значений признака от средней		Совпадение (а) или несовпадение (в) знаков
			для Xi	для Yi
1	2	3	4	5	6
1	7,5	14,5	+	+	a
2	4,2	10,6	-	-	a
3	8,2	16,0	+	+	a
4	5,1	11,4	-	+	b
5	6,2	12,9	+	+	a
6	8,0	15,5	+	+	a
7	6,8	13,9	+	+	a
8	7,4	14,4	+	+	a
9	5,2	11,3	-	+	b
10	4,4	10,6	-	-	a
11	6,6	13,7	+	+	a
12	5,9	12,1	+	+	a
13	3,9	9,9	-	-	a
14	7,1	14,2	+	+	a
15	4,6	10,7	-	-	a
16	6,0	12,4	+	+	a
17	4,8	11,2	-	+	b
18	7,5	14,6	+	+	a
19	4,0	10,2	-	-	a
20	5,7	11,9	+	+	a
21	4,7	10,8	-	-	a
22	7,7	14,8	+	+	a
23	7,8	15,0	+	+	a
24	4,5	10,7	-	-	a
25	4,9	11,1	-	+	b
26	7,0	14,0	+	+	a
27	6,4	13,3	+	+	a
28	5,4	11,5	+	+	a
29	5,1	11,3	-	+	b
30	8,4	16,5	+	+	a

 

 

Подсчитав число совпадений знаков n_a=25 и число несовпадений знаков n_b= 5 (см. графу 6 табл. 2.4), рассчитаем коэффициент Фехнера:

 

 

Полученная величина коэффициента Фехнера свидетельствует о том, что можно предполагать наличие прямой зависимости между исследуемыми признаками.

Как видно из приведенной формулы для расчета коэффициента Фехнера, величина этого показателя не зависит от величины отклонений факторного и результативного признака от соответствующей средней величины. Поэтому нельзя говорить о степени тесноты корреляционной связи, а тем более об оценке ее существенности на основании только коэффициента Фехнера. При малом объеме исходной информации коэффициент Фехнера практически решает ту же задачу, которая ставится при построении групповых и корреляционных таблиц, т.е. отвечает на вопрос о наличии и направлении корреляционной связи между признаками. В том случае, если построена корреляционная или же групповая таблица, дополнительный расчет коэффициента Фехнера не имеет практической ценности.

Более совершенным показателем степени тесноты связи является линейный коэффициент корреляции (r).

При расчете этого показателя учитываются не только знаки отклонений индивидуальных значений признака от средней, но и сама величина таких отклонений, т.е. соответственно для факторного и результативного признаков величины и . Однако непосредственно сопоставлять между собой полученные абсолютные величины нельзя, так как сами признаки могут быть выражены в разных единицах (как это имеет место в представленном примере), а при наличии одних и тех же единиц измерения средние могут быть различны по величине.

В этой связи сравнению могут подлежать отклонения, выраженные в относительных величинах, т.е. в долях среднего квадратического отклонения (их называют нормированными отклонениями). Так, для факторного признака будем иметь совокупность величин а для результативного .

Полученные нормированные отклонения можно сравнивать между собой. Для того чтобы на основе сопоставления рассчитанных нормированных отклонений получить обобщающую характеристику степени тесноты связи между признаками для всей совокупности, рассчитывают среднее произведение нормированных отклонений. Полученная таким образом средняя и будет являться линейным коэффициентом-корреляции r

                              (2.2)

или поскольку о_х и а_у для данных рядов являются постоянными и могут быть вынесены за скобку, то формула линейного коэффициента корреляции приобретает

                                  (2.2а)

Вычисление коэффициента корреляции по формуле (2.2) является достаточно трудоемкой операцией. Выполнив несложные преобразования, можно получить следующую формулу для расчета линейного коэффициента корреляции:

            (2.2б)

При пользовании этой формулой отпадает необходимость вычислять отклонения индивидуальных значений признаков от средней величины, что исключает ошибку в расчетах при округлении средних величин.

Линейный коэффициент корреляции может принимать любые значения в пределах от -1 до +1. Чем ближе коэффициент корреляции по абсолютной величине к 1, тем теснее связь между признаками. Знак при линейном коэффициенте корреляции указывает на направление связи - прямой зависимости соответствует знак плюс, а обратный зависимости - знак минус.

Если с увеличением значений факторного признаках, результативный признак у имеет тенденцию к увеличению, то величина коэффициента корреляции будет находиться между 0 и 1. Если же с увеличением значений х результативный признак у имеет тенденцию к снижению, коэффициент корреляции может принимать значения в интервале от 0 до -1.

Используем данные табл. 2.1 и рассчитаем линейный коэффициент корреляции.

   

   

Полученная величина линейного коэффициента корреляции свидетельствует о возможном наличии достаточно высокой прямой зависимости между рассматриваемыми признаками.

Квадрат коэффициента корреляции (г²) носит название коэффициента детерминации. Для рассматриваемого примера его величина равна 0,989, а это означает, что 98,9% вариации производительности труда,  объясняется вариацией рентабельности продукции.

Принципиально возможны случаи, когда отклонение от нуля полученной величины выборочного коэффициента корреляции оказывается целиком обусловленным неизбежными случайными колебаниями тех выборочных данных, на основании которых он вычислен. Особенно осторожно следует подходить к истолкованию полученных коэффициентов корреляции при незначительных объемах выборочной совокупности.

В этой связи и возникает необходимость оценки существенности линейного коэффициента корреляции, дающая возможность распространить выводы по результатам выборки на генеральную совокупность. В зависимости от объема выборочной совокупности предлагаются различные методы оценки существенности линейного коэффициента корреляции. В отношении приводимых ниже критериев существенности можно сделать общее замечание, касающееся свойств исходной совокупности. Этим свойством является нормальное распределение значений признака в генеральной совокупности.