Статистическое изучение и анализ использования основных фондов

Рассмотрим следующие критерии, предлагаемые в статистической литературе:

1. При большом объеме выборки, отобранной из исходной нормально распределенной совокупности, можно считать распределение линейного коэффициента корреляции приближенно нормальным со средней, равной r и дисперсией , откуда средняя квадратическая ошибка коэффициента корреляции:

                                              (2.3)

где r - линейный коэффициент корреляции, полученный по данным выборки;

n - объем выборки.

Если величина линейного коэффициента корреляции превышает величину средней квадратической ошибки более, чем в t_a раз, то можно говорить о существенности выборочного коэффициента корреляции, где - уровень значимости 0,01 или 0,05. Если же отношение       окажется меньше , то с вероятностью ( ) следует предполагать отсутствие корреляционной связи в генеральной совокупности.

Доверительный интервал для коэффициента корреляции будет записан так:

                            (2.4)

где -  значение коэффициента корреляции в генеральной совокупности.

2. Для малого объема выборочной совокупности используется тот факт, что величина при условии r=0, распределена по закону Стьюдента с (n-2) степенями свободы.

Полученную величину сравнивают с табличным значением t-критерия (число степеней свободы равно n-2). Если рассчитанная величина превосходит табличное значение критерия t, то практически невероятно, что найденное значение обусловлено только случайными совпадениями х и у в выборке из генеральной совокупности, для которой действительное значение коэффициента корреляции равно нулю. Если же вычисленная величина меньше, чем в таблице, то полагают, что коэффициент корреляции в генеральной совокупности в действительности равен нулю и соответственно эмпирический коэффициент корреляции существенно не отличается от нуля.

Применим указанный метод к оценке существенности корреляции между численность  рабочих и среднегодовой стоимостью основных промышленно-производственных фондов. При объеме выборки, равном 30 и при условии, что величина коэффициента корреляции равна 0,989.

В таблице для числа степеней свободы к=n-2=28 и уровня значимости 1% находим, что t = 4,36.

Таким образом лишь с вероятностью меньшей 1% можно утверждать, что величина t=4,36 могла появиться в силу случайностей выборки. Такое событие является маловероятным, а потому можно считать с вероятностью 99%, что в генеральной совокупности действительно существует прямая зависимость между изучаемыми признаками, т.е. отличие выборочного коэффициента корреляции от нуля является существенным.

3. Проверку гипотезы об отсутствии связи можно сделать и без вычислений, пользуясь таблицей, составленной Р. Фишером. В этой таблице показывается величина коэффициента корреляции, которая может считаться существенной при данном количестве наблюдений. При пользовании этой таблицей величину коэффициента корреляции следует искать для числа степеней свободы, равного n-2.

В решаемой задаче коэффициент корреляции для оценки тесноты связи между признаками был рассчитан по 30 предприятиям. По таблице коэффициентов корреляции  находим, что коэффициент корреляции по данным выборки должен быть по крайней мере не ниже 0,5614 для того, чтобы он мог считаться существенным при уровне значимости а = 0,01.

При уровне значимости =0,05 мы могли бы считать существенной действительную связь при коэффициенте корреляции, равном или более 0,4438. По расчету линейный коэффициент корреляции получился равным 0,989. Сравнение расчетного и табличных значений линейного коэффициента корреляции дает основание предполагать действительное наличие сильной прямой связи между изучаемыми признаками в генеральной совокупности.

Также коэффициент корреляции достаточно точно оценивает степень тесноты связи лишь в случае наличия линейной зависимости между признаками. При наличии же криволинейной зависимости линейный коэффициент корреляции недооценивает степень тесноты связи и даже может быть равен 0, а потому в таких случаях рекомендуется использовать в качестве показателя степени тесноты связи эмпирическое корреляционное отношение .

Расчет корреляционного отношения основан на использовании известной теоремы сложения дисперсий. Общая дисперсия результативного признака может быть разложена на две составляющие. Первая составляющая - межгрупповая дисперсия , характеризует ту часть колеблемости результативного признака, которая складывается под влиянием изменения признака-фактора, положенного в основу группировки.

Вторая составляющая - средняя из внутригрупповых дисперсий - ² оценивает ту часть вариации результативного признака, которая обусловлена действием других, «случайных» причин.

Зная общую и межгрупповую дисперсии, можно оценить ту долю, которую составляет вариация под действием фактора х в общей вариации результативного признака у.

Извлекая квадратный корень из этого отношения, мы и получим эмпирическое корреляционное отношение

                                                 (2.5)

Величина корреляционного отношения будет равна нулю, когда нет колеблемости в величине средних по выделенным группам. В тех случаях, когда внутригрупповая дисперсия близка к нулю, т.е. практически вся вариация результативного признака обусловлена действием фактора х, величина корреляционного отношения близка к 1. Направление связи мы легко устанавливаем по данным групповой и корреляционной таблиц.

Воспользуемся данными групповой таблицы 2.5 для расчета величины корреляционного отношения.

 

Таблица 2.5

Производительность труда, млн. руб.	Число предприятий в группе	Рентабельность продаж, %
3,9-5,025	9	10,6	39,69
5,025-6,15	7	11,7	7
6,15-7,275	6	13,7	6
7,275-8,4	8	15,2	50,0
ИТОГО	30	12,7	102,69

 

Используем итоговые данные графы 4 таблицы для расчета межгрупповой дисперсии

Средняя рентабельность продукции по всем 30 фирмам составили

Величина общей дисперсии результативного показателя составит:

Следовательно, величина корреляционного отношения, по данным приводимого примера, будет равна 0,895:

Значимость рассчитанного корреляционного отношения оценивается с помощью дисперсионного отношения:

Табличное значение F-критерия при пятипроцентном уровне значимости и числе степеней свободы k₁=4 и k₂=25 равно 5,06. Таким образом расчетное значение F-критерия больше табличного, что позволяет с вероятностью 95% утверждать существенность различий в величине дисперсий и соответственно делать вывод о существенности корреляционной связи между анализируемыми показателями.

Следует отметить, что вычисление корреляционного отношения возможно лишь при наличии достаточно большого числа данных, которые представлены либо в форме корреляционной, либо в форме групповой таблицы. Вычисление корреляционного отношения при большом числе групп и малом числе наблюдений в каждой группе лишается смысла.

При недостаточном количестве данных в выделенных группах к рассчитанной величине корреляционного отношения должна быть внесена поправка на группировку

                                                 (2.6)

Для приведенного примера

, откуда 

Определенный интерес представляет сопоставление величины линейного коэффициента корреляции и корреляционного отношения. Сравнив полученную величину корреляционного отношения с абсолютной величиной линейного коэффициента корреляции , полученной при расчете по несгруппированным данным, можно видеть, что незначительно больше r. Когда связь между переменными уклоняется от линейной формы, то и r несколько отличаются по величине, причем всегда больше r по абсолютной величине.

Сопоставление линейного коэффициента корреляции и эмпирического корреляционного отношения имеет смысл только в случае, если эти показатели вычислены для одинаковым образом сгруппированных данных, т.е. при сравнении и коэффициент корреляции и корреляционное отношение должны быть вычислены либо по данным корреляционной таблицы, либо по первичным данным и групповой таблице, что предпочтительнее.

При проверке возможности использования линейной функции в качестве формы уравнения определяют разность квадратов , и если эта разность менее 0,1, то считается возможным применять линейное уравнение корреляционной зависимости. В нашем случае разность квадратов корреляционного отношения и линейного коэффициента корреляции равна .

Для проверки гипотезы о линейной зависимости более эффективно использовать величину w²:

                                              (2.7)

которая подчиняется закону F-распределения с числом степеней свободы числителя (к-2) и знаменателя (n-k).

Задаваясь достаточно малым уровнем значимости (например, а=0,05), находим по таблицам F-распределения значение F_та6л при заданной величине а и соответствующем числе степеней свободы. Для рассматриваемого примера табличное значение F при 5%-ом уровне значимости и числе степеней свободы 3 (к-2=5-2) и 25 (30-5) равно 3,29.

Если w² окажется больше табличного значения F, то гипотезу 
о линейном виде регрессии можно считать статистически необоснованной. 

В нашем примере

 

Сопоставление полученной величины с табличным значением F_0.05(3$15) = 3,29 не позволяет отклонить гипотезу о линейности связи среднесписочной численностью менеджеров и объемах продаж.

Применение линейного коэффициента корреляции для оценки степени тесноты связи между признаками особенно в той части, которая связана с оценкой его существенности, является обоснованным лишь в условиях нормального или близкого к нормальному распределению признаков в изучаемой совокупности. Кроме того, как видно из приводимых выше формул, для определения величины линейного коэффициента корреляции необходимо знать численные значения факторного и результативного признаков. В некоторых же случаях мы можем встретиться с такими качествами, которые не поддаются выражению числом единиц.

Эти обстоятельства заставляют прибегать к использованию так называемых непараметрических методов, позволяющих измерить интенсивность связи как между количественными признаками, форма распределения которых отличается от нормальной, так и между качественными признаками. В основу «непараметрических» методов положен принцип нумерации значений статистического ряда. Каждой единице совокупности присваивается порядковый номер в ряду, который будет упорядочен по уровню признака. Таким образом, ряд значений признака ранжируется, а номер каждой, отдельной единицы будет ее рангом.

Можно получить предварительное представление о наличии или отсутствии связи между признаками, если сопоставить последовательность взаимного расположения рангов факторного и результативного признаков. Для этого ранги индивидуальных значений факторного признака располагают в порядке возрастания, и если ранги результативного признака обнаруживают тенденцию к увеличению, можно предполагать наличие прямой связи; если же с увеличением рангов факторного признака ранги результативного признака уменьшаются, то это свидетельствует о возможном наличии между изучаемыми признаками обратной связи.

Коэффициенты корреляции, основанные на использовании рангов, были предложены К. Спирмэном и М.Кендэлом коэффициент корреляции рангов Спирмэна (был использован им в начале XX в.) основан на рассмотрении разности рангов значений факторного и результативного признаков.

Рассчитаем дисперсию переменной d, соответствующей разности между рангами переменной х и у, т.е. , где 1.2.3…., n.

Как известно, линейный коэффициент корреляции можно определить по формуле

                                             (2.8)

Отсюда дисперсия разности рангов

                              (2.9)

Подставим величины и в формулу 2.8 и получим формулу коэффициента корреляции рангов Спирмэна, который обозначают р:

                                                       (2.10)

 

Таблица 2.6

Номер предприятия п/п	Ранг по производительности труда, млн. руб.	Ранг по рентабельности продукции, %	Разница рангов (гр.2-гр.3)
1	2	3	4	5
1	24	24	0	0
2	3	3	0	0
3	29	29	0	0
4	10	12	2	4
5	17	17	0	0
6	28	28	0	0
7	20	20	0	0
8	23	23	0	0
9	12	10	2	4
10	4	4	0	0
11	19	19	0	0
12	15	15	0	0
13	1	1	0	0
14	22	22	0	0
15	6	5	1	1
16	16	16	0	0
17	8	9	1	1
18	25	25	0	0
19	2	2	0	0
20	14	14	0	0
21	7	7	0	0
22	26	26	0	0
23	27	27	0	0
24	5	6	1	1
25	9	8	1	1
26	21	21	0	0
27	18	18	0	0
28	13	13	0	0
29	11	11	0	0
30	30	30	0	0
Итого		-	-	12