Статистическое моделирование ВВП на примере ВВП России

Таким образом, получаем уравнение множественной  регрессии.

Корреляционный  анализ используется для определения  тесноты связи между изучаемыми признаками.

Так как, признаки подразделяются на качественные и количественные, а также существуют различные  виды регрессионной зависимости, то для измерения тесноты связи  используют различные коэффициенты корреляции.

Для измерения  взаимосвязи количественных признаков применяются коэффициент Фехнера и коэффициент корреляции рангов Спирмена.

Для определения  коэффициента Фехнера строят вспомогательную  таблицу, а затем рассчитывают по формуле:

где   - число случаев совпадения знаков при отклонении значений признака от значения средней, - число случаев несовпадения знаков.

              

Таблица -3                   Расчет коэффициента Фехнера

 

Коэффициент корреляции рангов Спирмена является наиболее простым показателем измерения тесноты корреляционной зависимости. Для его определения также строят вспомогательную таблицу, после чего коэффициент рассчитывают по формуле:

где d – разница между рангами значений признаков, n – количество значений признаков.

Таблица-4  Расчет коэффициента корреляции рангов Спирмена

 

Коэффициент корреляции рангов Спирмена изменяется от -1 до +1, связь между признаками можно считать статистической значимой, если значение коэффициента ранговой корреляции Спирмена больше.

 

Для измерения тесноты корреляционной связи при многофакторной  (множественной) регрессии рассчитывается множественной коэффициент корреляции, характеризующий интенсивность влияния на результативный признак нескольких факторов:

где - парные коэффициенты корреляции.

Прежде чем  рассчитать множественный коэффициент  корреляции необходимо рассчитать парные коэффициенты корреляции, которые определяются по формулам:

Коэффициент множественной корреляции находится  в пределах от 0 до 1, при  - связь является слабой, при   - связь средняя, при  – связь считается сильной.  Если , то в этом случае установленную зависимость целесообразно использовать при анализе, прогнозировании и в решении других практических вопросов.

При анализе  рядов динамики одной из основных задач является определение общей  тенденции развития изучаемого явления. На развитие явления оказывают влияние  факторы, различные по своему характеру  и силе воздействия, поэтому в  качестве основного фактора при анализе рядов динамики берется время.

Наиболее  совершенным методом выявления  тенденции развития явления в  рядах динамики является метод аналитического выравнивания, суть которого заключается  в выборе уравнения, адекватно выражающего  тенденцию развития динамики (тренда).

Для того чтобы  выбрать уравнение, наиболее точно  выражающее тенденцию развития динамики изучаемого явления, рассчитывают данную тенденцию и которые в той  или иной мере характеризуют данную тенденцию и которые в зависимости от применяемого способа сопоставления рассчитываются на постоянной или переменной базах сравнения.

К базисным и  цепным показателям ряда динамики, характеризующим тенденцию развития динамики изучаемого явления, относятся: абсолютный прирост, темп роста и темп прироста.

При этом уравнение, наиболее точно выражающее тенденцию  развития динамики изучаемого явления, выбирается на основе теоретического анализа базисных и цепных показателей  и внешнего вида графика исходного  ряда динамики.

Уравнение параболы второго порядка      показывает наличие ускоренного развития с различной степенью интенсивности и применяется в случаях, если явление развивается с достаточно стабильными цепными темпами роста или цепные темпы прироста примерно постоянны.

Для вычисления параметров уравнения параболы второго порядка и

, необходимо решить  следующую  систему уравнений:

Используя способ отсчета времени от условного  начала, который заключается в  обозначении периодов времени таким  образом, чтобы их сумма равнялась нулю . Следовательно, получаем следующее:

После чего полученные значения параметров подставляются в уравнение параболы, рассчитываются теоретические уровни ряда динамики и делается прогноз.

 

1. Регрессионный анализ.

    Регрессио́нный (линейный) анализ — статистический метод исследования зависимости между зависимой переменной Y и одной или несколькими независимыми переменными X1,X2,...,Xp. Независимые переменные иначе называют регрессорами или предикторами, а зависимые переменные — критериальными. Терминология зависимых и независимых переменных отражает лишь математическую зависимость переменных, а не причинно-следственные отношения.

   Парная регрессия-уравнение  связи двух переменных у и  х:

где  у - зависимая переменная (результативный признак);

       х  – независимая, объясняющая   переменная (признак-фактор).

Различают линейные и  нелинейные регрессии:

Линейная регрессия:

Нелинейные регрессии  делятся на два класса: регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам.

   Регрессии, нелинейные  по объясняющим переменным:

• Полиномы разных степеней +ε;
• Равносторонняя гипербола

   Регрессии, нелинейные  по оцениваемым параметрам:

• Степенная
• Показательная ;
• Экспоненциальная

   Построение уравнения  регрессии сводится к оценке  ее параметров. Для оценки параметров  регрессий, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от теоретических минимальна, т.е.

min.

Для линейных и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, решается следующая система относительно a и b:

   Можно воспользоваться  готовыми формулами, которые вытекают  из этой системы:

  

   2. Корреляционный анализ — метод обработки статистических данных, с помощью которого измеряется теснота связи между двумя или более переменными. Корреляционный анализ тесно связан с регрессионным анализом (также часто встречается термин «корреляционно-регрессионный анализ», который является более общим статистическим понятием), с его помощью определяют необходимость включения тех или иных факторов в уравнение множественной регрессии, а также оценивают полученное уравнение регрессии на соответствие выявленным связям (используя коэффициент детерминации).

   Значительная корреляция между двумя случайными величинами всегда является свидетельством существования некоторой статистической связи в данной выборке, но эта связь не обязательно должна наблюдаться для другой выборки и иметь причинно-следственный характер. Часто заманчивая простота корреляционного исследования подталкивает исследователя делать ложные интуитивные выводы о наличии причинно-следственной связи между парами признаков, в то время как коэффициенты корреляции устанавливают лишь статистические взаимосвязи. Например, рассматривая пожары в конкретном городе, можно выявить весьма высокую корреляцию между ущербом, который нанес пожар, и количеством пожарных, участвовавших в ликвидации пожара, причём эта корреляция будет положительной. Из этого, однако, не следует вывод «бо́льшее количество пожарных приводит к бо́льшему ущербу», и тем более не имеет смысла попытка минимизировать ущерб от пожаров путем ликвидации пожарных бригад.

   Тесноту связи  изучаемых явлений оценивает  линейный коэффициент парной  корреляции  для линейной регрессии (-1≤≤1):

и индекс корреляции  - для линейной регрессии (0≤ ≤1):

   У качества  построенной модели даст коэффициент  (индекс) детерминации, а также средняя  ошибка аппроксимации.

   Средняя ошибка  аппроксимации – среднее отклонение расчетных значений от фактических:

допустимый предел значений – не более 8-10%.

   Средний коэффициент  эластичности  показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат y от своей средней величины при изменении фактора х на 1% от своего среднего значения:

   3.Дисперсионный анализ — метод в статистической математике, направленный на поиск зависимостей в экспериментальных данных путём исследования значимости различий в средних значениях. Задача этого анализа состоит в анализе дисперсии зависимой переменной:

где  – общая сумма квадратов отклонений;

       – сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией;

       - остаточная сумма квадратов отклонений.

   Долю дисперсии,  объясняемую регрессией, в общей  дисперсии результативного признака  у характеризует коэффициент  (индекс) детерминации :

   Коэффициент детерминации  – квадрат коэффициента или индекса корреляции.

   F-тест – оценивание качества уравнения регрессии – состоит в проверке гипотезы о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического  и критического (табличного)  значений F-критерия Фишера.  определяется из соотношения значений факторной и остаточной  дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы:

 

где n – число единиц совокупности;

      m – число параметров при переменных х.

  - это максимально  возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости α. Уровень значимости α – вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно α принимается равной 0,05 или 0,01.

   Если <  - гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если  > , то гипотеза не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.

2.3. Методы прогнозирования ВВП

   При анализе  рядов динамики одной из основных  задач, является определение общей  тенденции развития изучаемого  явления. На развитие явления  оказывают влияние факторы, различные  по своему характеру и силе  воздействия, поэтому в качестве основного факторного признака при анализе рядов динамики берется время.

   Рассмотрим динамику изменения ВВП в России с 2002 г. по 2010 г. и сделаем ее прогноз на 2011 г.

 

 

 

 

 

   Действия в Microsoft Exel:

1. Для начала строится таблица с исходными данными : в первом столбце поместим года, во втором – производство ВВП тыс. руб.
2. Строится график исходных данных.
3. На данном графике добавляем линию тренда, а также покажем уравнение на диаграмме и величину достоверности аппроксимации.

В итоге получаем график, на котором ломаная линия показывает динамику изучаемого явления, а прямая – изображает тенденцию динамики, выраженную линейным уравнением, которое отображено на графике, как и значение коэффициента детерминации ( ), которое характеризует адекватность линейного уравнения тренда: чем ближе к 1 значение коэффициента детерминации, тем точнее уравнение тренда отображает динамику изучаемого явления.

   Если уравнение не точно отображает динамику изучаемого явления, то нужно выбрать другое уравнение тренда для более точного отображения динамики.

   Далее для оценки значимости данного уравнения тренда и его параметров необходимо воспользоваться режимом Регрессия, затем рассчитываем уравнение тренда и получаем таблицы с результатами регрессионного анализа.

   В первой таблице видна связь между факторным и результативным признаком.

   В следующей таблице представлены результаты дисперсионного анализа.