Статистичне вивчення ринкового попиту

Експерт  5                       1        3        2        5       4        7      6

Сума місць                      9       13      14      18     26      30    31

Розподілів місць            3        5        2        6       4        I

По мінімальній сумі місць кращою визнана модель А. Необходімо встановити, наскільки погоджено діяли експерти, і зробити висновок за наслідками експертизи.

В даному випадку має місце рангова кореляція. Оскільки кількість рівнів оцінки m>2, то для оцінки дій експертів застосовується коефіцієнт конкордации

де  d - величина різниці між сумою рангів (місць) і середнім значенням суми рангів одного об'єкту (моделі) ;

m - число послідовностей (експертів) ;

n - кількість рангів в кожній послідовності (кількість моделей).

Для визначення d обчислюваний середнє значення суми рангів одного об'єкту як середню суму рангів (місць)

Даний результат можна отримати також з виразу

Параметр d  обчислюють як різниця між сумою рангів, виставлених експертами для одного об'єкту, і середньою сумою рангів. По видах моделей відхилення складають наступні величини

Модель:                                 А            Б           В          Г          Д           Е

Сума рангів (місць)              9            13          14        18         26         31

Середня сума

рангів (місць)                       20           20          20        20          20        20

                                              -11          - 7          -6         -2           6         11

                                              121          49          36         4           36       121

Сума квадратів відхилень складає

Для оцінки кореляції рангів обчислюємо коефіцієнт конкордации

Спостережувана величина кореляції рангів по коефіцієнту конкордации складає W=0,6671 >0,6, отже, дії експертів добре узгоджуються, результати експертизи можуть бути прийняті.

Тема 4.  СТАТИСТИЧНА ОЦІНКА УМОВ ПОСТАЧАННЯ І ВИХІДНОГО КОНТРОЛЮ

Завдання 10

Для забезпечення підприємства дефіцитним матеріалом агенти по постачанню прямують до постачальників. Вірогідність успішного забезпечення постачання в результаті одних відвідин  р1=0,45. Необхідно знайти вірогідність постачання матеріалу хоч би одним з постачальників. Скільки необхідно направити агентів по постачанню за умови, що кожен з них може відвідати не більше двох різних постачальників, щоб гарантувати з вірогідністю P(A) u0,85 постачання підприємство необхідного матеріалу?

Вірогідність настання події А в n, незалежних випробуваннях

                           P(A)= 1 – qn = 1 – ( 1 – p1)n

де    р              - вірогідність забезпечення постачання ;

q - вірогідність протилежної події, q = 1- р1 =1-0,45=0,55 ;

n              - кількість незалежних випробувань (подій).

Оскільки для одного агента постачання n12, то для m агентів n 2 m . Визначимо ситуацію, при якій буде дотримано умову даного прикладу Р(А) 0,85.

При m = 1, n = 2, Р1(А)= 1-(1-0,45)2=1-0,5=0,5 < 0,85, тобто, при одному агентові постачання умова не виконується.

При m=2, n = 2*2=4; Р2(А)= 1-(1-0,45)4=1-0,25=0,75 < 0,85, тобто, при двох агентах постачання умова також не виконується.

Отже, з вірогідністю Р1(А)=0,5 и Р2(А)=0,75 агенти постачання не забезпечать постачання матеріалу.

Завдання 11

Відділ вхідного контролю заводу перевіряє тих, що 415 комплектують, що поступили; виробів на брак. За договором вся партія приймається, якщо частка бракованих виробів буде не більше 5%. Вибірковому контролю піддається 10% виробів, що поступили. Визначити з вірогідністю Р(А) =0.95 межі, в яких буде поміщено допустиму кількість бракованих виробів з числа підданих контролю.

Вірогідність Р(А), з якою гарантується відносна частота появи подій в незалежних випробуваннях

                                          P(A)= 2Ф(х)

де Ф(х) - функція Лапласа при

n - кількість незалежних випробувань (виробів, що піддаються контролю)

                            n = * N = *415 = 41,5 шт.

m - шукане число або допустима кількість бракованих              виробів, яке підлягає визначенню;

р - вірогідність появи події, по умові завдання - не більше 5% бракованих виробів

                                Р = 0.05 ;

q -              протилежна вірогідність

              q = 1- р = 1-0,05 = 0,95 ;

e -              позитивне число, що характеризує величину              відхилення відносної частоти появи події               від його вірогідності, визначається розрахунком.

По умові завдання

або

                            .

Визначаємо величину відхилення e. З умови завдання

По таблиці              табульованих значень інтегральної функції Лапласа (прил. 3)              визначуваний 2Ф(х)= 0,95  при х =1,69,  отже

                                     звідки

Оскільки то

або 

0,1075

звідки

тобто, при відборі для контролю 41,5 виробів з 415 по постачанню, кількість бракованих виробів з вірогідністю 0,95 не повинно перевищувати  4,4 - як умова для прийому всієї партії комплектуючих виробів, що поступили на завод.

Завдання 12

Експерт виділив десять відтінків кольору тканини, що поступила. Передбачається, що на зміну відтінків тканині впливає процентний зміст один з компонентів пряжі. Отримані наступні дані експертизи:

Необхідно визначити, чи є кореляційна залежність відтінку кольору тканини від процентного вмісту досліджуваного компоненту в пряжі. Зробити висновок за наслідками експертизи.

В даному випадку має місце рангова кореляція. Оскільки кількість рівнів оцінки  m=2 і відсутні зв'язані пари оцінок, то може бути застосований коефіцієнт кореляції рангів Спірмена

де   d - величина різниці між рангами

d=x-y;

n - кількість рангів (об'єктів) в досліджуваній сукупності.

Для обчислення Sd2 визначимо відхилення між рангами:

Ранг відтінку кольору тканини (х):    2      3      6       7       5       8       1      

Ранг процентного змісту

компоненту А в пряжі (у):                0,5    1,5   1,5     2,5    2,0     3,5      1,0

        d                                                  1,5    1,5   4,5     4,5      3       4,5        0

        d2                                            2,25   2,25  20,25  20,25  9   20,25      0

Для даного ряду Sd2 = 74,25

Для оцінки тісноти зв'язку між досліджуваними параметрами обчислимо коефіцієнт кореляції рангів Спірмена

Спостережувана величина коефіцієнта кореляції рангів

0,2>( r=0,116)>0,1 свідчить про те, що має місце кореляційна залежність між процентним змістом компоненту А в пряжі і зміною відтінків кольору тканини. Проте вплив цього компоненту недостатньо сильне. Тому необхідно продовжити обстеження чинників, що впливають на зміну відтінків кольору тканини.

Завдання 13

Поступили чотири партії однієї і тієї ж сировини для текстильного підприємства. З кожної партії відібрано по п'ять зразків пряжі і проведені випробування на визначення величини розривного навантаження. Результати випробувань дали наступні результати

№ партії                   Розривне навантаження, гр

                           I зразок       2 зразок        3 зразок    

        1                  480                 710                550                

        2                  620                  510                810             

        3                  500                  780               590               

        4                  750                  490                630            

Визначити, чи істотний вплив різних партій сировини на величину розривного навантаження?

Рішення виконується за допомогою методу однофакторного дисперсійного аналізу. Перевіряємо нульову гіпотезу про однорідність сировини, що поступила.

Обчислимо середні арифметичні величини для кожної партії пряжі:

                       x1 = * (480 + 710 + 550) = 580 гр.,

                       x2 = * (620 + 510 + 810) = 646,6 гр.,

                       x3 = * (500 + 780 + 590) = 623,3 гр.,

                       x4 = * (750 + 490 + 630) = 623,3 гр.

Обчислимо загальну середню арифметичну для всієї сукупності партій і зразків.

                     гр.

Обчислимо суму квадратів відхилень між групами (партіями)

з кількістю мір свободи k1= m-1 =4-1=3, де m=4  є число   партій сировини.

Обчислимо суму квадратів відхилень усередині груп

= (480 – 580)2 + (710 – 580)2 +(550 – 580)2 +(620 – 646,6)2 +(510 – 646,6)2 +(810 – 646,6)2 +(500 – 623,3)2 +(780 – 623,3)2 +(590 – 623,3)2 +(750 – 623,3)2+(490–623,3)2+(630–623,3)2=10000+16900+900+707,56+18659,56+26699,56+15202,89+24554,89+1108,89+1108,89+16052,89+17768,89+44,89 = 148600

з кількістю мір свободи К2=m*n-m=4*3-4=8, де n=3  є число зразків сировини.

Обчислимо повну суму квадратів відхилень від загальної середньої величини

S2 = (480 – 618,3)2 + (710 – 618,3)2 + (550 – 618,3)2 +(620 – 618,3)2 +(510 – 618,3)2 +(810 – 618,3)2 +(500 – 618,3)2 +(780 – 618,3)2 +(590 – 618,3)2 +(750 – 618,3)2 +(490 – 618,3)2 +(630 – 618,3)2 = 19126,89+8408,89+4664,89+2,89+11728,89+36748,89+13994,89+26146,89+800,89+17344,89+16460,89+136,89= 155566,68

з кількістю мір свободи K=m*n-1 =4*3-l = 11.

Результати обчислень зведемо в однофакторную дисперсійного аналізу:

                                       Число

Компоненти                         Суми          ступенів       Середній

дисперсії                             квадратів      свободи          квадрат

Міжгрупова, S21                   6953,34              3               2317,78

Внутрішньогрупова, S22     148600               8                 18575

Повна, S2                             155566,86           11              14142,4

Примітка:  Середній квадрат обчислюється шляхом ділення          компоненти дисперсії на відповідне число мір свободи.

Обчислюємо спостережуване значення р -критерия розподілу Фішера-снедекора як відношення більшого середнього квадрата до меншого

                                   Fнабл = = 8,014.

По таблиці критичних значень F-распределения Фішера-снедекора (прил. I) знаходимо табличне значення критерію при числі мір свободи K2=8 і К1=3 і рівні значущості  a= 0,05    Fтабл = 4,07.