Статистика инвестиций

2. Нахождение моды  и медианы полученного интервального  ряда распределения графическим  методом и путем расчетов

Для определения моды графическим  методом строим по данным табл. 4 (графы 2 и 3) гистограмму распределения  предприятий по изучаемому признаку.

Рис. 1. Определение моды графическим методом

Расчет конкретного значения моды для интервального ряда распределения производится по формуле:

 

где   х_Мo – нижняя граница модального интервала,

h – величина модального интервала,

f_Mo – частота модального интервала,

f_Mo-1 – частота интервала, предшествующего модальному,

f_Mo+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Согласно табл. 4 модальным  интервалом построенного ряда является интервал 200-250 чел., т.к. он имеет наибольшую частоту (f₄=10). Расчет моды:

Вывод. Для рассматриваемой совокупности предприятий наиболее распространенная среднесписочная численность работников характеризуется средней величиной 220 человек.

Для определения медианы  графическим методом строим по данным табл. 5 (графы 2 и 5) кумуляту распределения предприятий по изучаемому признаку.

Рис. 2. Определение медианы  графическим методом

Расчет конкретного значения медианы для интервального ряда распределения производится по формуле

,

где    х_Ме– нижняя граница медианного интервала,

h – величина медианного интервала,

– сумма всех частот,

f_Ме – частота медианного интервала,

S_Mе-1 – кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.

Определяем медианный  интервал, используя графу 5 табл. 5. Медианным интервалом является интервал 200-250 чел., т.к. именно в этом интервале накопленная частота S_j=23 впервые превышает полусумму всех частот ( ).

Расчет медианы:

Вывод. В рассматриваемой совокупности предприятий половина предприятий имеют среднесписочную численность работниковв не более 210 человек, а другая половина – не менее 210 человек.

3. Расчет характеристик  ряда распределения

Для расчета характеристик  ряда распределения  , σ, σ2, V_σ на основе табл. 5 строим вспомогательную таблицу 6 ( – середина интервала).

Таблица 6. Расчетная таблица для нахождения характеристик ряда распределения
Группы предприятий по средней списочной численности  работников, чел., x	Середина интервала	Число предприятий, fj
100-150	125	5	625	-81,667	6669,4444	33347
150-200	175	8	1400	-31,667	1002,7778	8022,2
200-250	225	10	2250	18,333	336,1111	3361,1
250-300	275	7	1925	68,333	4669,4444	32686
Итого		30	6200			77417

 

Рассчитаем среднюю арифметическую взвешенную:

Рассчитаем среднее квадратическое отклонение:

Рассчитаем дисперсию:

σ² = 50,7992² = 2580,5587

 

Рассчитаем коэффициент  вариации:

Вывод. Анализ полученных значений показателей и σ говорит о том, что средняя величина среднесписочной численности работников составляет 207 чел., отклонение от этой величины в ту или иную сторону составляет в среднем 51 чел. (или 24,6%), наиболее характерная среднесписочная численность работников находится в пределах от 156 до 258  чел. (диапазон ). 

Значение V_σ = 24,6% не превышает 33%, следовательно, вариация среднесписочной численности работников в исследуемой совокупности предприятий незначительна и совокупность по данному признаку однородна. Расхождение между значениями , Мо и Ме незначительно ( =207 чел., Мо=220 чел., Ме=210 чел.), что подтверждает вывод об однородности совокупности предприятий. Таким образом, найденное среднее значение среднесписочной численности работников (207 чел.) является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности предприятий.

4. Вычисление средней арифметической по исходным данным о среднесписочной численности работников предприятий

Для расчета применяется  формула средней арифметической простой:

,

Причина расхождения средних  величин, рассчитанных по исходным данным (210 чел.) и по интервальному ряду распределения (207 чел.), заключается в том, что в первом случае средняя определяется по фактическим значениям исследуемого признака для всех 30-ти предприятий, а во втором случае в качестве значений признака берутся середины интервалов и, следовательно, значение средней будет менее точным. Вместе с тем, при округлении обеих рассматриваемых величин их значения совпадают (35 чел.), что говорит о достаточно равномерном распределении численности работников внутри каждой группы интервального ряда.

Задание 2

По исходным данным (табл. 1) с использованием  результатов  выполнения Задания 1 необходимо выполнить  следующее:

1. Установить наличие и характер корреляционной связи между признаками Среднесписочная численность работников и Выпуск продукции, образовав четыре группы с равными интервалами по каждому из признаков, используя методы:

а) аналитической группировки;

б) корреляционной таблицы.

2. Измерить тесноту корреляционной  связи, используя коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

Сделать выводы по результатам выполнения задания 2.

Выполнение задания 2

Целью выполнения данного задания является выявление наличия корреляционной связи между факторным и результативным признаками, а также установление направления связи и оценка ее тесноты.

По условию Задания 2 факторным  является признак Среднесписочная численность работников, результативным – признак Выпуск продукции.

1. Установление  наличия и характера корреляционной  связи между признаками Среднесписочная численность работников и Выпуск продукции методами аналитической группировки и корреляционных таблиц

1а. Применение  метода аналитической группировки

Аналитическая группировка  строится по факторному признаку Х и для каждой j-ой группы ряда определяется среднегрупповое значение результативного признака Y. Если с ростом значений фактора Х от группы к группе средние значения систематически возрастают (или убывают), между признаками X и Y имеет место корреляционная связь.

Используя разработочную  таблицу 3, строим аналитическую группировку, характеризующую зависимость между  факторным признаком Х- Среднесписочная численность работников и результативным признаком Y – Выпуск продукции. Макет аналитической таблицы имеет следующий вид (табл. 7):

Таблица 7. Зависимость объема продаж от среднесписочной численности работников

Номер группы	Группы предприятий по среднесписочной численности работников, чел., x	Число предприятий, fj	Выпуск продукции, млн руб.
			всего	в среднем на одну предприятийу,
1	2	3	4	5=4:3
1
2
3
4
	ИТОГО

 

Групповые средние значения получаем из таблицы 3 (графа 4), основываясь на итоговых строках «Всего». Построенную аналитическую группировку представляет табл. 8:

Таблица 8. Зависимость объема продаж от среднесписочной численности работников

Номер группы	Группы предприятий по среднесписочной численности работников, чел., x	Число предприятий, fj	Выпуск продукции, млн руб.
			всего	в среднем на одну предприятийу,
1	2	3	4	5=4:3
1	100-150	5	135	27
2	150-200	8	288	36
3	200-250	10	420	42
4	250-300	7	357	51
	ИТОГО	30	1200

 

Вывод. Анализ данных табл. 8 показывает, что с увеличением среднесписочной численности работников от группы к группе систематически возрастает и средний выпуск продукции по каждой группе предприятий, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.

1б. Применение метода корреляционных таблиц

Корреляционная таблица  строится как комбинация двух рядов  распределения по факторному признаку Х и результативному признаку Y. На пересечении j-ой строки и k-ой графы таблицы указывается число единиц совокупности, входящих в j-ый интервал по признаку X и в k-ый интервал по признаку Y. Концентрация частот около диагонали построенной таблицы свидетельствует о наличии корреляционной связи между признаками - прямой или обратной. Связь прямая, если частоты располагаются по диагонали, идущей от левого верхнего угла к правому нижнему, обратная - по диагонали от правого верхнего угла к левому нижнему.

Для построения корреляционной таблицы необходимо знать величины и границы интервалов по двум признакам X и Y.  Для факторного  признака Х – Среднесписочная численность работников эти величины известны из табл. 4 Определяем величину интервала для результативного признака Y – Выпуск продукции при k = 4, у_max = 61 млн руб., у_min = 19 млн руб.:

Границы интервалов ряда распределения  результативного признака Y имеют вид:

Таблица 9

Номер группы	Нижняя граница, млн руб.	Верхняя граница, млн руб.
1	19	29,5
2	29,5	40,0
3	40,0	50,5
4	50,5	61,0

Подсчитывая для каждой группы число входящих в нее предприятий с использованием принципа полуоткрытого интервала [ ), получаем интервальный ряд распределения результативного признака (табл. 10).

Таблица 10. Интервальный ряд распределения предприятий по выпуску продукции

Группы предприятий по выпуску продукции, млн руб., у	Число предприятий, fj
19-29,5	4
29,5-40,0	11
40,0-50,5	11
50,5-61,0	4
ИТОГО	30

Используя группировки по факторному и результативному признакам, строим корреляционную таблицу (табл. 11).

Таблица 11. Корреляционная таблица зависимости выпуска продукции

от среднесписочной численности  работников

Группы предприятий по среднесписочной численности работников, чел.	Группы предприятий по выпуску продукции, млн руб.				ИТОГО
	19-29,5	29,5-40,0	40,0-50,5	50,5-61,0
100-150	3	2			5
150-200		6	2		8
200-250	1	2	7		10
250-300		1	2	4	7
ИТОГО	4	11	11	4	30