Оптимальное проектирование трансформатора малой мощности

3 Аналитическое решение задачи классическим методом

 

Решаемая задача относится  к числу задач условной оптимизации  с ограничениями в виде равенства. Сведем решаемую задачу к задаче безусловной оптимизации для этого из уравнения ограничения:

 

.                                              (3.1)

 

         Выразим одну переменную:

 

.                                        (3.2)

 

          Подставим её в целевую функцию. В качестве целевой функции используем массу активных материалов:

 

.               (3.3)

             

         Производим замену :

               

 

    

      (3.4)        

 

 

,                                               (3.5)

 

 

.                                          (3.6)

 

 

 

Так как от константы  исследуемой функции не зависит положение точки экстремума исключаем эту константу из рассмотрения и исследуем функционал .

                          .                   (3.7)

 

 

Найдем частные производные  по и прировняем их к 0.                                                                                                                                                                             

                                                                                                                    (3.8)

 

Умножим (3.8) на :

 

     .     (3.9)

 

           Раскрываем скобки:

 

              .         (3.10)

 

            Приводим подобные члены. Получаем:

 

                                        .                    (3.11)   

                                   .          

                                                                                                                                    (3.12)

Умножим (3.12) на :

 

. (3.13)

 

           Раскрываем скобки:

 

                  .  (3.14)

 

            Приводим подобные члены. Получаем:

 

                                  .                             (3.15)

 

     

.

              

                                                                                                                          (3.16)

 

Умножим (3.16) на :

 

 

.

                                                                                                                       (3.17)

 

         Раскрываем скобки:

 

                   

.    (3.18)

 

Приводим подобные члены. Получаем:

 

                         .                            (3.19)

 

Из равенства (3.15) выражаем :

 

.                    (3.20)

 

Подставляем полученное выражение у в (3.19):

 

.                            (3.21)

 

.             (3.22)

 

                                

.                    (3.23)

 

          Раскрываем скобки, приводим подобные члены. Получаем:

 

                                                    .                                        (3.24)

 

Выражаем  :

 

.                                                  (3.25)

 

Подставляем полученное выражение в (3.19):

 

                                           ,                       (3.26)

 

                                  

,               (3.27)

 

 

 

                                        

                                             

.                        (3.28)

 

           Раскрываем скобки, приводим подобные  члены. Получаем:

 

                                                   

.                                  (3.29)

 

Выражаем  :

 

.                                                  (3.30)

 

Подставляем полученные выражения и в (3.11):

 

,              (3.31)

 

                                        

            (3.32)

 

           Раскрываем скобки:

          

                                               

.            (3.33)

 

           Приводим подобные члены. Получаем:

 

                                                      

.                         (3.34)

 

Решение уравнения (3.34) произведено в среде Mathcad14 (приложение А). Вычисляем значение . Значение подставляем в (3.25) и (3.30), находим оптимальные значения и . Для вычисления оптимального базового размера необходимо подобрать максимально возможное значение плотности тока, при котором среднее значение перегрева внутренней обмотки не превышает предельно допустимое. Расчет произведен в среде Mathcad14 (приложение А).