Оптимальное проектирование трансформатора малой мощности

2 Разработка математической модели для решения задачи оптимального проектирования трансформатора малой мощности с учетом ограничений на плотность тока

 

При оптимизации трансформаторов важное значение имеет выбор критерия оптимизации. Выбор критерия оптимизации зависит от назначения трансформатора и предъявляемых к нему требований. Для трансформаторов общего назначения в качестве критерия оптимизации принимают минимум приведенных затрат. Трансформаторы автономных энергетических систем в большинстве случаев оптимизируются по минимуму массы.

За критерий оптимальности принимают минимум массы активных материалов.

Разработку  математической модели начинают с введения обозначений рисунок 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1 – Эскиз трансформатора

 

За базовый размер принимается толщина навивки стержня, Ау - высота окна, Ах - ширина окна. Относительная ширина окна трансформатора , относительная высота окна и относительная ширина ленты.

Уравнение расчетной  мощности

 

,                                                    (2.1)

 

где - количество фаз трансформатора.

 

 

 

Расчетная мощность первичной обмотки

 

,                                                  (2.2)

 

гдe - коэффициент заполнения пакета сталью;

      - эффективное сечение проводника.

Расчетная мощность вторичной обмотки

 

.                                              (2.3)

 

Проведем следующие  математические преобразования

 

.             (2.4)

 

.                            (2.5)

 

Принимаем .

Общее поперечное сечение меди в окне трансформатора

 

                                      (2.6)

 

где - коэффициент заполнения медью окна трансформатора.

 

.                                     (2.7)

 

Объем магнитопровода

 

                                        

.                              (2.8)

 

Масса стали

 

.                             (2.9)

 

Объем обмотки

 

                                          

.                                          (2.10)

 

Масса меди

 

 

   .                          (2.11)

 

 

Целевая функция

 

                                                    

.                                            (2.12)

 

                (2.13)

 

Целевая функция должна иметь минимально возможное значение. При соблюдении условия .

Представленные уравнения  математической модели достаточны для  решения задачи первой группы, которая может быть решена аналитически.

Для решения задачи второй группы необходимо в математическую модель добавить уравнение, которое учитывает ограничения по нагреву обмотки трансформатора.

        Среднее значение перегрева внутренней обмотки

 

                                                   ,                                                           (2.14)

 

        где  - потери мощности в обмотке;

        - удельное сопротивление меди;

        - площадь охлаждения обмотки;

        - коэффициент, представляющий собой отношение перегрева сечения катушки наиболее нагретой к среднему значению температуры на поверхности;

       - коэффициент пересчета на предельную температуру;

      - коэффициент теплоотдачи с поверхности охлаждения обмотки;

       - коэффициент, определяющий долю полных потерь, которая отводится с поверхности охлаждения.

 

                                 

.                              (2.15)                      

 

Среднее значение перегрева  внутренней обмотки не должно превышать допустимого значения .

            Для определения оптимального значения плотности тока и оптимальных значений x, y, z производим расчет в среде Mathcad14 (приложении А). Внесенные дополнения в математическую модель переводят задачу в разряд задач второй группы. Эта задача может быть решена методом Бокса с использованием ЭВМ.