Проектирование устройств фильтрации

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1.2.1 –Окно программы  Optimization Toolbox.

 

Optimization Toolbox содержит подпрограммы для реализации наиболее широко используемых методов минимизации и максимизации. Toolbox включает в себя алгоритмы для решения многих типов задач оптимизации, таких как:

-современные стандартные алгоритмы оптимизации.

-нелинейная минимизация без ограничений.

-нелинейная минимизация с ограничениями, включая задачи минимакса, -достижения цели и полубесконечной минимизации.

-квадратичное и линейное программирование.

-нелинейный метод наименьших квадратов и подбор кривых с границами.

-решение системы нелинейных уравнений.

-линейный метод наименьших квадратов с ограничениями.

-специализированные крупно-масштабные алгоритмы (большой размерности) для решения больших разреженных задач.

-подбор данных с помощью подбора кривых, нелинейный метод наименьших квадратов, определение нулей нелинейных уравнений и системы нелинейных уравнений.

-гибкая среда, которая обрабатывает ввод скаляра, вектора или матрицы. (Оптимизируемые функции могут быть записаны в виде сохраняемых функций или интерактивно с помощью командной строки MATLAB.)

В Optimization Toolbox реализованы современные алгоритмы оптимизации. Основными алгоритмами минимизации без ограничений являются  Квази-Ньютоновский метод BFGS и метод прямого поиска Нелдера-Мида с линейным поиском. Для задач минимизации с ограничениями, минимакса, достижения цели и полубесконечной оптимизации используются разновидности последовательного квадратичного программирования (SQP). Нелинейная задача наименьших квадратов решается с помощью методов Гаусса-Ньютона или Левенберга-Маркуарда. Подпрограммы для решения задач линейного и квадратичного программирования используют методы из активного набора в сочетании с проекционными методиками.

Стандартные алгоритмы  обладают следующими особенностями:

-Градиенты рассчитываются автоматически с помощью адаптированного метода конечных разностей (за исключением случая, когда они прилагаются как функции).

-Прилагаемые градиенты могут быть проверены путем сравнения с расчетом посредством конечных разностей.

-Аргументы опций для нелинейного метода наименьших квадратов и нелинейной минимизации допускают введение границ в виде переменных.

-Ограничения могут быть в виде равенств или неравенств, линейными или нелинейными.

-Зависимые от задачи параметры могут быть переданы непосредственно в функции, что устраняет необходимость использования глобальных переменных.

Optimization Toolbox также включает в себя алгоритмы для крупно-масштабных (большой размерности) задач с разреженными матрицами или структурой. Крупно-масштабные методы вобрали в себя все преимущества возможностей MATLAB работы с разреженными матрицами.

Toolbox включает в себя алгоритмы решения крупно-масштабных задач, таких как:

-линейное программирование.

-нелинейный метод наименьших квадратов с границей.

-нелинейная минимизация без ограничений.

-нелинейная минимизация с ограничениями в виде границ.

-нелинейная минимизация с линейными равенствами.

-решение систем нелинейных уравнений.

-квадратичная минимизация с ограничениями в виде границ.

-квадратичная минимизация с линейными равенствами.

-линейный метод наименьших квадратов с ограничениями в виде границ.

Новый крупно-масштабный алгоритм линейного программирования основан на методе Жин-Занга LIPSOL (Линейное программирование с расчетом внутренних точек), алгоритм одновременного решения прямой и двойственной задач с внутренними точками на основе метода Мерота предиктор-корректор.

Также для крупно-масштабного  метода доступны некоторые формулировки квадратичного программирования и  нелинейных объектов с ограничениями  в виде границ или ограничениями  в виде линейных равенств. Эти методы основаны на разработанных Томасом  Ф. Колеманом алгоритмах крупно-масштабных доверительных областей и используют методы отражения Ньютона и проекционными методы для оперирования с ограничениями.

Крупно-масштабные алгоритмы  обладают следующими особенностями:

Матрицы Якобиана и Гессе  рассчитываются автоматически с использованием метода конечных разностей (за исключением случая, когда они вводятся вместе с целевыми функциями).

Образ разреженности  матриц Якобиана или матрицы Гессе  может обеспечить повышение эффективности  использования конечных разностей.

Принимаемые по умолчанию параметры оптимизации могут быть изменены посредством структуры параметров опций.

Зависимые от задачи параметры  могут быть переданы непосредственно  в функции, что устраняет необходимость  использования глобальных переменных.

Выбор типа программы обработки разреженности, непосредственно или итеративно, задается в алгоритме оптимизации, а выбор типа предварительной обработки для решения систем линейных уравнений задается в алгоритме оптимизации.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3 Итоги обзора

 

На сегодняшний день ряд ToolBox'ов предоставляют широкие возможности для приближения и интерполяции одномерных и многомерных данных. Причем эти возможности реализованы на различных уровнях: от достаточно простых средств графического окна для приближения уже визуализированных данных, до специальных функций MATLAB и ToolBox'ов, включая среды с графическим интерфейсом пользователя, которые позволяют импортировать данные, производить их предварительную обработку и сглаживание, приближать и интерполировать данные различными методами. В состав MATLAB входят функции для решения некоторых задач вычислительной геометрии.

Пакет прикладных программ для работы со сплайнами. Поддерживает одномерную, двумерную и многомерную  сплайн-интерполяцию и аппроксимацию. Обеспечивает представление и отображение сложных данных и поддержку графики.

  Пакет позволяет выполнять интерполяцию, аппроксимацию и преобразование сплайнов из В-формы в кусочно-полиномиальную, интерполяцию кубическими сплайнами и сглаживание, выполнение операций над сплайнами: вычисление производной, интеграла и отображение.

Optimization Toolbox расширяет  среду MATLAB, обеспечивая доступ  к сервисным средствам обычной  и крупномасштабной (большой размерности)  оптимизации. Дополнительные средства  обеспечивают решение задач линейного программирования, квадратичного программирования, нелинейного метода наименьших квадратов и решения нелинейных уравнений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Метод проектирования устройств фильтрации по рабочим параметрам

 

 

Одним из способов проектирования фильтров является каскадный способ. Его преимуществом является простота реализации, возможность индивидуальной настройки отдельных звеньев и хорошее согласование по входу и выходу за счет применения ОУ. Проектирование фильтра на основе способа каскадной реализации независимо от типа фильтра содержит ряд этапов:

1. Расчет структурной схемы устройства.
2. Выбор аппроксимации.
3. Определение порядка фильтра.
4. Выбор структуры фильтра.
5. Схемная реализация.
6. Расчет и выбор элементов схемы.
7. Связь фильтра с источником сигнала (ИС) и нагрузкой.
8. Схемотехническое моделирование устройства и его оптимизация.

По результатам моделирования  может быть принято решение о возврате на один из ранних этапов проектирования, т.е. данная процедура носит итерационный характер.

На рисунке 2.1 показан фильтр, с коэффициентом передачи К(p). K(p) определяется следующим образом:     

(2.1)

 

 

 

Если в K(p) заменить и преобразовать: ,то можно получить зависимости для частотных и временных характеристик фильтра:

• выражение под знаком модуля – АЧХ;
• выражение – ФЧХ;
• импульсную характеристику (ИХ);
• переходную характеристику (ПХ);
• характеристику рабочего затухания (ХРЗ);
• характеристику группового времени задержки (ХГВЗ).

Представим коэффициент передачи фильтра с помощью полиномов

, , порядком фильтра n называют наибольшую степень р в знаменателе. G(p)-полином степени m, корни которого могут лежать, где угодно на комплексной плоскости. V(p)-полином Гурвица, степени n с вещественными коэффициентами. Его корни могут лежать только в левой полуплоскости мнимой оси.

, (2.2)

,   ,   .

 

Фильтр физически реализуем, если выполнены следующие условия:

• полюсы должны иметь отрицательные действительные части;
• степень полинома в числителе должна быть равна или меньше
• степени полинома в знаменателе.

При проектировании фильтров следует иметь ввиду, что идеальные АЧХ физически не реализуемы. Можно лишь стремиться к наилучшему приближению (или аппроксимации), совместимому с требованиями, предъявляемыми к фильтру. Из рисунка 2.2 следует, что реальная АЧХ лишь приближенно представляет (аппроксимирует) идеальную АЧХ.

Фильтрующие свойства часто оцениваются  величиной  относительного затухания, определяемой в децибелах как

 (2.3)

 

Если она равна 0, то , если ∞, то на выходе фильтра ничего нет.

Примерный вид реальных характеристик затухания для ФВЧ и ФНЧ приведен на рисунке 2.3.

Рисунок 2.3 - Характеристика затухания

ФНЧ(а) и ФВЧ(б)

Область частот пропускаемых колебаний, для которых АЧХ изменяется незначительно, называется полосой пропускания. Область частот задерживаемых колебаний для которых АЧХ не превосходит некоторого малого заданного значения, называется полосой задерживания. Условная граница между этими полосами называется частотой среза ω_c и находится в пределах переходной полосы. A_p – максимальное затухание в полосе пропускания; A_a – минимальное затухание в полосе задерживания.

В данной курсовой работе будет проектироваться ФВЧ, со структурой на операционных усилителях - Рауха. Порядок фильтра –  седьмой, с аппроксимацией частотных характеристик – Чебышева и Баттерворта. Частотой среза 0.2 кГц. Неравномерность в полосе пропускания 55%.

Исходные данные:

Коэффициенты операторной передаточной функции нормированного ФНЧ- прототипа:  

 

с = 4.21473775422783*10¹             а= 1.72990133076610*10^-1

β₀ = 9.89408023899159*10^-1          α₀ = 3.84939259774342*10^-2

β₁= 7.93443630473121*10^-1          α₁= 1.07857583795521*10^-1    

β₂= 4.40327995083862*10^-1               α₂= 1.55858724356449*10^-1

 

Коэффициент передачи ФВЧ в нормированном виде можно записать следующим образом:  

 

 

 

          (2.4)

 

 

 

Построим k1(ω):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 2.4 - Передаточная характеристика k1(ω)

 

Для фильтра верхних  частот коэффициенты α,β и С  будут  иметь иные значения, они будут  выражены через коэффициенты K(p) фильтра прототипа нижних частот:                         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку в задании по курсовому  проекту даны коэффициенты c, α_i, β_i, в нормированном виде, то необходимо осуществить денормирование.

Проведем денормировку коэффициентов:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Получаем новые коэффициенты:

 

 

Структура фильтра 7-го порядка будет состоять из 3 каскадов фильтров второго порядка и одного каскада первого порядка:

 

 

 

                         Вход

      

 

 

Рисунок 2.5 – Каскадное  соединение звеньев первого(K0(p)) и второго (K1(p), K2(p), K3(p)) порядков ФВЧ