Проектирование устройств фильтрации

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Виды аппроксимации частотных характеристик: Чебышева и Баттерворта

 

 

Аппроксимация АЧХ практически сводится к выбору таких коэффициентов полиномов, которые обеспечивают не только аппроксимацию АЧХ, но и физическую реализуемость фильтра.

Известно довольно много аппроксимаций, отвечающих вышеуказанному условию, однако наибольшее распространение получили три из них: Баттерворта, Чебышева ,Золотарёва-Кауэра и Бесселя. Каждый из этих типов имеет свои особенности, которые хорошо видны на графике зависимости рабочего затухания от частоты Рисунок 3.1

При анализе свойств аппроксимаций  для общности используется нормирование по частоте и коэффициенту передачи, который полагают единичным. Следует отметить, что рассматриваемые аппроксимации используются также при проектировании цифровых фильтров. Наиболее простой является аппроксимация Баттерворта. Данная аппроксимация дает максимально плоскую АЧХ в полосе пропускания при заданном n. АЧХ имеет максимум при ω = 0 и монотонно убывает с ростом частоты. Данную аппроксимацию следует применять, если накладывается требование монотонности АЧХ во всем диапазоне частот.

В аппроксимации Чебышева в отличие от предыдущего, допускается некоторая немонотонность АЧХ типа пульсаций в полосе пропускания, т.е. затухание колеблется между нулем и заданным максимальным уровнем. В полосе задерживания пульсации отсутствуют. Иногда данную аппроксимацию называют равноволновой. Число пульсаций увеличивается с ростом порядка фильтра. За счет появления пульсаций крутизна спада АЧХ возрастает по сравнению с фильтром Баттерворта того же порядка.

Аппроксимация Кауэра является логическим развитием идеи равноволнового фильтра и допускает пульсации как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания. За счет этого реализуется еще большая крутизна спада АЧХ, чем у фильтра Чебышева.

В данной курсовой рассмотрим такие  виды аппроксимации частотных характеристик  как Чебышева и Баттерворта и их особенности, которые хорошо видны на графике зависимости рабочего затухания от частоты.

Запишем функцию характеристики рабочего затухания:

 

 

 

Рассмотрим аппроксимацию Чебышева(прямая). Так как по условию нам известно что неравномерность в полосе пропускания 55%  получаем для нормированного вида:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 3.2 - Характеристика рабочего затухания в нормированном  виде(аппроксимация Чебышева(прямая))

 

Для денормированного вида:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 3.3 - Характеристика рабочего затухания в денормированном  виде(аппроксимация Чебышева(прямая))

 

 

Рассмотрим аппроксимацию Баттерворта:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 3.4 - Характеристика рабочего затухания в нормированном виде(аппроксимация Баттерворта)

 

Определим рабочие параметры:

 

  W_s=0,512            a_s=35дБ

  W_d= 1                  a_d=0,98 дБ

 

Для денормированного вида:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 3.5 - Характеристика рабочего затухания в денормированном виде(аппроксимация Баттерворта)

Определим рабочие параметры:

 

W_s=640              a_s=35дБ

W_d= 1230         a_d=1,22 дБ

 

Вывод: Аппроксимация Чебышева обеспечивают высокую крутизну склона АЧХ при переходе от ПП к ПЗ. Иногда данную аппроксимацию называют равноволновой. Число пульсаций увеличивается с ростом порядка фильтра. За счет появления пульсаций крутизна спада АЧХ возрастает по сравнению с фильтром Баттерворта того же порядка.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 Вывод передаточных функций фильтровых звеньев по структуре Рауха

 

В варианте данной курсовой работы предложено спроектировать фильтр нижних частот девятого порядка, используя структуру Рауха.

С целью вывода передаточной функции  фильтра верхних частот по структуре Рауха рассмотрим отдельно фильтр второго порядка и фильтр первого порядка, которые будут соединены каскадно.

Построим принципиальную схему фильтра верхних частот второго порядка на операционном усилителе.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 4.1 – Функциональная схема структуры Рауха второго порядка

 

Найдем передаточную функцию данного звена:

 

 

                    (4.1)

 

Применим первый и  второй законы Кирхгофа:

   

           

                (4.2)

 

                                                (4.3)

Выражая токи через проводимости получим:

 

                                                   (4.4)

 

                                                                                                                  (4.5)

  

                                                       (4.6)

 

                                                                                                                                                            (4.7)   

                                                                                      (4.8)

                                                                      

                                                                     

               (4.9)

 

Ток i₄ протекает через проводимость Y₄ и втекает в ветвь с проводимостью Y₅ без потерь. Подставим (4.7), (4.8), (4.6) в (4.2), а затем получившееся выражение подставим в (4.5):

             (4.10)

 

Подставим (3.4) в (3.10) и преобразуем, чтобы получить окончательное выражение для передаточной функции:

(4.11)

 

            (4.12)

 

Анализируя выражения  передаточной характеристики фильтра, определим типы проводимостей для  обеспечения требуемой степени p. Так, сделаем вывод о том, что проводимости Y₂, Y₅ должны заменить резисторы, а проводимости Y₁,Y₃ и Y₄ – емкости:

          

                                           (4.13)

 

Подставив в выражения передаточной характеристики фильтра в и преобразовав к виду (4.12), получим:

 

         

(4.14)

 

 

Таким образом, коэффициенты нормированного ФВЧ-прототипа для одного звена второго порядка можно представить следующим образом:

 

 

 

 (4.15)

 

 

 

С учётом (4.14) построим принципиальную схему фильтра.

 

 

 

                          

 

 

Рисунок 4.3 – Функциональная схема структуры Рауха второго порядка

.

Данное функциональное звено представляет собой активный фильтр второго порядка, построенный на основе операционного усилителя.

Построим принципиальную схему фильтра верхних частот первого порядка на операционном усилителе по аналогичной схеме.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 4.4 – Функциональная схема структуры Рауха первого порядка

 

Применим первый и  второй законы Кирхгофа:

 (4.16)

(4.17)

 

      (4.18)

 

                   (4.19) 

 

 

Подставим (4.18) и (4.19) в (4.16), а затем получившееся выражение подставим в (4.17):

 

(4.20)

 

Преобразовав (4.20), получим передаточную характеристику:

(4.21)

 

Общая же формула передаточной характеристики фильтра нижних частот имеет вид:

(4.22)

 

Проанализируем эти  два выражения.  Видно, что проводимости Y₁, Y₂, Y₄ должны заменить резисторы, а проводимость Y₃ – емкость:

  

                                                                              (4.23)                                                               

 

  Подставим (4.23) в (4.21) и преобразуем к виду (4.22):

    (4.24)

 

Сравним это выражение с передаточной характеристикой ФВЧ и составим систему:

 

     (4.25)

 

   

С учётом (4.24) построим принципиальную схему фильтра.

 

 

 

 

 

                           

 

 

Рисунок 4.5 – Функциональная схема структуры Рауха первого порядка.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Моделирование разрабатываемого фильтра на функциональном уровне в MathCAD в частотной и временной областях (расчёт АЧХ, ФЧХ, ХРЗ, ХГВЗ, ИХ, ПХ их и в нормированном и денормированном виде)

 

 

 

 

 

 

 

Амплитудно-частотная  характеристика ФВЧ в нормированном  виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Фазово-частотная характеристика ФВЧ в нормированном виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Характеристика рабочего затухания ФВЧ в нормированном  виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Характеристика групового  времени запаздывания в нормированном  виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Импульсная характеристика в нормированном виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Переходная характеристика в нормированном виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Характеристики в денормированном  виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Фазово-частотная характеристика ФВЧ в денормированном виде:

 

 

 

 

 

Характеристика рабочего затухания ФВЧ в денормированном  виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Характеристика группового времени запаздывания в денормированном  виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_{Импульстная характеристика в денормированном виде:}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Переходная характеристика в денормированном виде: