Автор работы: Пользователь скрыл имя, 15 Января 2014 в 08:43, реферат
Пластиной называется тело призматической или цилиндриче¬ской формы, у которого один размер (толщина h) значительно меньше других (а и b), измеренных в плоскостях оснований (рис. 39). В технике широко используются круглые и прямо¬угольные пластины; иногда встречаются пластины и других очертаний в плане. Толщина пластины может быть как постоянной, так и переменной.
Пластиной называется тело призматической или цилиндрической формы, у которого один размер (толщина h) значительно меньше других (а и b), измеренных в плоскостях оснований (рис. 39). В технике широко используются круглые и прямоугольные пластины; иногда встречаются пластины и других очертаний в плане. Толщина пластины может быть как постоянной, так и переменной.
Рис. 39
Примером круглой пластины может
служить днище Д цилиндрическог
Плоскость, находящаяся на равных расстояниях от верхнего и нижнего оснований и делящая пополам толщину h пластины постоянной толщины (рис. 39), называется срединной плоскостью. После изгиба срединная плоскость превращается в срединную поверхность изогнутой пластины.
При изучении пластин принимается система координат, при которой начало координат и оси х и у лежат в недеформированной срединной плоскости пластины, а ось z направлена перпендикулярно к срединной плоскости. В общем случае на пластину могут действовать различно направленные силы. Каждую из этих сил можно разложить на две составляющие: действующую в срединной плоскости и перпендикулярную к ней. Совокупность составляющих усилий в срединной плоскости, называемых цепными усилиями, вызывает деформацию только в этой плоскости, а совокупность составляющих, перпендикулярных к срединной плоскости, изгибает пластину. В дальнейшем предполагается, что нагрузка, испытываемая пластиной, перпендикулярна к ее срединной плоскости, т. е. составляющие нагрузки в срединной плоскости равны нулю.
а |
б |
|
|
в |
г |
|
|
Рис. 40
При определении усилий и деформаций для пластин средней толщины принимаются следующие допущения:
1. Перпендикуляр AD к срединной плоскости, опущенный из любой точки D пластины (рис. 41), остается после изгиба прямым и нормальным к изогнутой срединной поверхности (А1D1). Это допущение, называемое допущением о прямых нормалях, соответствует гипотезе плоских сечений, на котором основана теория изгиба балок.
Влияние на величину перемещений некоторого искривления нормали, происходящего вследствие сдвигов, не учитывается. Оно значительно меньше, чем перемещения или , вызываемые поворотом нормали вследствие искривления срединной плоскости при изгибе.
2. Нормальными напряжениями , действующими по площадкам, параллельным срединной плоскости, можно пренебречь по сравнению с другими напряжениями и принять
Это допущение называется допущение
|
|
Рис. 41
Для относительных деформаций можно использовать формулы
.
При изучении поперечного изгиба пластины средней толщины считаем: 1) срединную плоскость свободной от цепных усилий, 2) линейные и угловые деформации в срединной поверхности изогнутой пластины - отсутствующими. Перечисленные допущения применимы только при малом прогибе пластины.
Пластину можно условно отнести к тому или иному виду в зависимости от отношения толщины h к наименьшему размеру а пластины в плане (рис. 39). Существует три вида пластин, принципиально отличающихся друг от друга характером распределения напряжений и способом расчета:
1. Плиты - толстые пластины, имеющие отношение
У этих пластин (рис. 42) высота настолько велика по сравнению с пролетом и они настолько жестки, что касательные напряжения , возникающие по сечениям С - С от перерезывания под действием нагрузки, имеют тот же порядок, что и нормальные напряжения , вызванные изгибом. Плоскость, свободная от цепных усилий и от деформаций, смещается по отношению к срединной плоскости, а нормальные напряжения распределяются по высоте сечения уже не по прямолинейному, а по криволинейному закону.
Рис. 42
Допущения, перечисленные выше, при расчете плит неприменимы.
2. Пластины средней толщины, имеющие отношение
Под действием сил, перпендикулярных к срединной плоскости, пластина изгибается, но вследствие достаточной жесткости прогиб w (рис. 43) не превосходит толщины h и опертая пластина способна нести вертикальную нагрузку. Эпюра нормальных напряжений в сечениях, перпендикулярных к срединной плоскости, прямолинейна. Характерная особенность изгиба пластин нагрузкой, нормальной к срединной плоскости, заключается в том, что он нередко сопровождается кручением.
Рис. 43
3. Мембраны - пласт
Мембраны тонки и гибки, поэтому, чтобы они могли нести нагрузку, нормальную к срединной поверхности, их часто закрепляют на контуре (рис. 44).
Рис. 44
При этом нагрузка поддерживается мембраной в основном не за счет ее изгиба, а за счет растяжения по всей толщине. Таким образом, можно считать, что нормальные напряжения распределяются равномерно по толщине мембраны и срединная поверхность не свободна от напряжений. Прогибы w мембраны велики и могут в несколько раз превышать ее толщину h.
Мембраны широко применяются в различных акустических аппаратах и гидравлических устройствах.
В зависимости от характера конструкции любая кромка пластины (рис. 45)
Рис. 45
может быть защемлена (кромка 1), свободно оперта (кромка 2) или свободна от закреплений (кромки 3 и 4). Возможно также упругое закрепление кромки пластины, промежуточное между свободной кромкой и защемлением, которое дает возможность срединной поверхности под действием нагрузки в той или иной степени поворачиваться на упруго защемленной кромке. Примыкание кромки пластины 1 к любому упругому элементу 2 (рис. 46) представляет собой упругое ее закрепление; возможный угол поворота на кромке обратно пропорционален жесткости элемента 2, к которому она прикреплена.
Рис. 46
Указанный выше признак деления пластин на плиты, пластины средней толщины и мембраны следует считать условным. Главное различие между этими классами заключается в соотношении между величиной цепных и изгибных усилий, которое может быть установлено только расчетом. Одна и та же пластина в зависимости от величины отношения продольных сил к изгибающим моментам и от способа закрепления на контуре может быть отнесена к тому или иному классу.
Цепные продольные усилия, вызывающие равномерно распределенные по толщине напряжения, могут появиться при поперечном нагружении пластины, закрепленной на контуре, вследствие препятствий, которые оказывают опоры сближению кромок пластины.
Наличие продольных усилий сказывается на элементах изгиба: прогибы, изгибающие моменты и поперечные силы тем больше, чем меньше отношение . Растягивающие продольные силы уменьшают, а сжимающие увеличивают элементы изгиба от заданной поперечной нагрузки. Это влияние для защемленной на контуре пластины меньше, чем для опертой.
Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластины в прямоугольных координатах
В общем случае изгиба пластины произвольного очертания нагрузкой q (х, у), распределенной на ее поверхности по произвольному закону (рис. 47),
Рис. 47
по граням прямоугольного элемента, имеющего размеры dx и dy в плане, выделенного из пластины двумя парами сечений, действуют погонные изгибающие моменты Мх и Mу, погонные поперечные силы Qx и Qy и погонные крутящие моменты Нx и Нy (рис. 48).
Возникновение крутящих моментов можно объяснить так.
Если рассечь опертую по контуру пластину
на ряд полос 1, 2, 3, .... (рис. 49,а), каждая из которых представляет
собой балку, опертую по концам, то сила Р, приложенная к точке А пластины, вызовет прогиб только той
балки 2, к которой относится точка А. В пластине, не рассеченной на полосы,
полоса 2 поддерживается соседними полосами 1 и 3, которые в свою очередь испытывают со
стороны полосы 2 направленные вниз усилия Р' (рис. 49,б). Со стороны примыкающих к полосам 1 и 3 частей а пластин
Рис. 48
а |
б |
|
|
Рис. 49
Задачу решаем в перемещениях. Из первого допущения теории пластин о возможности пренебречь относительными сдвигами и ,
(
На основании второго
или, так как при z = 0 у нас u = v = 0,
С учетом зависимостей (4.4) относительные
деформации выразятся через перемещение w
.
Так как на основании второго допущения напряжением можно пренебречь, из формул (1.20) закона Гука, полагая = 0 и учитывая выражения (4.5), получаем
,
.
Пользуясь дифференциальными уравнениями равновесия (1.2), можно найти также напряжения . Хотя мы условились считать их малыми, но производные этих напряжений, входящие в уравнения (1.2), не малы, так как по толщине пластины напряжения изменяются резко. Из первых двух уравнений (1.2), пренебрегая проекциями объемных сил и интегрируя по z, получаем
.
Функции f1 и f2 находим из граничных условий, составленных для нижней и верхней граней пластины: при
Тогда
.
Из третьего уравнения (1.2) следует
. (4.9)
Нагрузка интенсивностью q (x, у) приложена к верхней грани пластины и направлена вниз, т. е. напряжение - сжимающее. Поэтому для определения функции f3 (x, у) можем написать граничные условия:
(4.10)
Из первого условия найдем функцию f3 (x,y) и, подставив ее в (4.9), получим
.
Подставив это выражение во второе условие (4.10), получим дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластины
,
где
- цилиндрическая жесткость пластины, аналогичная жесткости EJ балки, характеризующая способность пластины деформироваться. Размерность цилиндрической жесткости представляет собой произведение единицы силы на единицу длины. По величине D >EJ.
Уравнение (4.11) может быть сокращенно записано через оператор Лапласа:
Первый член, стоящий в скобках уравнения (4.11), учитывает прогиб, зависящий от изгиба в плоскости хz, третий член - в плоскости yz, а второй — прогиб, зависящий от кручения.
Решение уравнения (4.11) дает уравнение изогнутой срединной поверхности пластины
Если оно найдено, погонные изгибающие и крутящие моменты и поперечные силы, приходящиеся на единицу длины кромки пластины, определяют исходя из условий равновесия полосы пластины шириной, равной единице (рис. 50).