Колебания пластины (пластин)

Составим условие равновесия моментов относительно оси у и подставим в него значение   из формулы (4.6):

 .

Рис. 50 

 

Отсюда, с учетом формулы (4.12), для  погонного изгибающего момента получим

 .                                     (4.13)

Аналогично из условия   найдем погонный изгибающий момент

 .                                     (4.14)

При действии одних только погонных изгибающих моментов М_х и M_у (рис. 51) пластина испытывает чистый изгиб в двух взаимно перпендикулярных

Рис. 51 

 

направлениях. Срединная плоскость  ее превращается в изогнутую поверхность  с главными радиусами кривизны   (в сечении плоскостью, параллельной плоскости х0z) и   (в сечении плоскостью, параллельной плоскости у0z). Соответствующие главные кривизны срединной поверхности

 .                              (4.15)

Составим, учитывая (4.8), условия  равенства крутящих моментов сумме  моментов усилий, возникающих от напряжений  , и найдем погонные крутящие моменты:

 .                        (4.16)

При действии одних только погонных крутящих моментов пластина испытывает чистое кручение.

Составим, учитывая (4.8), условия равенства  проекций поперечных сил сумме проекций усилий, возникающих от напряжений  (рис. 52).

Рис. 52 

 

Найдем погонные поперечные силы:

 .                        (4.17) 

 

Цилиндрический  и сферический изгиб пластины

Цилиндрическим изгибом называется изгиб пластины по цилиндрической поверхности (рис. 53). Чтобы получить такой изгиб, закрепление двух параллельных кромок пластины должно обеспечивать неподвижность пластины, а две другие кромки должны быть свободны. Нагрузка должна иметь постоянную интенсивность в направлении, параллельном закрепленным кромкам (на рис. 53 параллельно оси у), а в перпендикулярном направлении может быть произвольной.

Рис. 53 

 

На рис. 53 представлен  цилиндрический поперечный изгиб под  действием распределенной нагрузки. Интенсивность нагрузки и реакция вдоль линии, параллельной закрепленной кромке (оси у), постоянны, а кромки, параллельные оси х, свободны. На рис. 54 показан цилиндрический чистый изгиб, который происходит под действием моментов М₁ и   постоянной интенсивности, распределенных по кромкам, параллельным оси у.

Рис. 54 

 

Для определения усилий, возникающих при чистом цилиндрическом изгибе, рассматривается пластина, нагруженная по кромкам моментами М₁ и   (рис. 54). Размерность изгибающего момента М₁ приходящегося на единицу длины кромки, т. е. погонного изгибающего момента,

Пластину нужно представить  себе рассеченной на ряд полос  шириной, равной единице, сечениями, параллельными  оси х (рис. 55). Каждую из полос можно рассматривать как балку, опертую своими концами и нагруженную по концам моментами М. Отличие таких балок от полос пластины заключается в том, что у первых поперечные деформации их сечений ничем не стеснены, тогда как поперечной деформации полосы пластины (рис. 56) препятствуют соседние полосы, которые тоже стремятся деформироваться в поперечном направлении.  Для полос, вырезанных на некотором  расстоянии  от  кромок  а,

Рис. 55 

 

можно считать, что относительная линейная деформация e_у равна нулю, т. е. состояние пластины - плоское деформированное. При пользовании формулами подразд. 1.10 следует в соответствии с системой координат, принятой для пластин, заменить в них координату z на у, а координату у - наz.

Рис. 56 

 

Дифференциальное уравнение изогнутой  срединной поверхности и выражения  для изгибающих моментов могут быть получены из соответствующих выражений подразд. 4.2, если учесть, что при цилиндрическом изгибе прогиб w не зависит от координат у и z. Тогда уравнение (4.11) примет вид

.                                              (4.18)

Проинтегрировав выражение (4.18) дважды, получим

 .                                         (4.19)

Уравнение (4.13) для погонного изгибающего  момента примет вид

 .                                             (4.20)

Нормальное напряжение, параллельное оси х,

 ,                                              (4.21)

где  – момент инерции полосы прямоугольного сечения шириной, равной единице.

Так как на некотором  расстоянии от свободных кромок пластина испытывает плоскую деформацию,

.

Напряжение

 .                                          (4.22)

Выражение (4.21) для   ничем не отличается от выражения для нормальных напряжений, возникающих в поперечном сечении балки при ее чистом изгибе. Отличие цилиндрического изгиба пластины от изгиба балки заключается в том, что в пластине, кроме напряжения  , возникает еще напряжение  . Прогибы w пластины при цилиндрическом изгибе вычисляются путем двукратного последовательного интегрирования дифференциального уравнения (4.19). Они оказываются меньше, чем для балки-полосы, так как цилиндрическая жесткость D, стоящая в знаменателе правой части уравнения (4.19), больше, чем жесткость балки EJ.

Если пластина подвергается действию равномерно распределенных моментов по окружности (рис. 57), она изгибается по сферической поверхности.

Рис. 57 

 

Главные радиусы кривизны в любом сечении одинаковы:

 ,

поэтому на основании (4.15)

 .                                           (4.23)

Заменив вторые производные в уравнениях (4.13) и (4.14) кривизной, на основании формулы (4.23) получим изгибающий момент при сферическом изгибе

и выражение для кривизны

 .

Дифференциальное уравнение (4.11) и  выражения для крутящего и изгибающих моментов и для поперечных сил получены в предположении, что в срединной поверхности отсутствуют цепные погонные усилия: продольные N_х и N_у и сдвигающие Т_ху и Т_ух. Дифференциальные уравнения изгиба пластины конечной жесткости при наличии цепных усилий и выражения для усилий М, N, Q, Н и Т получены Карманом:

 .            (4.24)

Эта система может быть сведена  к системе двух совокупных дифференциальных уравнений с помощью введения некоторой непрерывной функции   , называемой функцией напряжений. Если выразить продольные и сдвигающие силы N и Т через функцию напряжений   

,             (4.25)

то можно убедиться, что первые два уравнения системы (4.24) будут тождественно удовлетворены при любом виде функции  .

Подставив выражения (4.25) для цепных усилий N и Т во второе и третье уравнения системы (4.24) и заменив изгибающие и крутящие моменты М и Н их выражениями (4.13), (4.14), (4.16) получим следующую систему дифференциальных уравнений Кармана в частных производных:

 .    (4.26)

Уравнения (4.26) применяют  для расчета гибких пластин большого прогиба   w > h/2. Если цепные усилия оказывают малое влияние на изгиб, то в системе (4.26) следует пренебречь членами, зависящими от  . Первое уравнение системы (4.26) отпадает, а второе принимает вид

.

Этим уравнением мы и пользуемся для расчета плит и пластин средней толщины.

При расчете мембран, обладающих малой жесткостью на изгиб, в системе уравнений (4.26) следует  пренебречь членами, пропорциональными  цилиндрической жесткости. Тогда первое уравнение этой системы остается в силе, а второе уравнение примет вид

 .

В частном случае, когда сдвигающая сила Т равна нулю, продольные силы N_х = N_у = N и для определения w можно составить следующее дифференциальное уравнение:

 .

Решение  дифференциального уравнения (4.11) в конечной форме получено для эллиптической и круглой пластин, защемленных на контуре и нагруженных равномерно распределенной нагрузкой. В остальных случаях пользуются приближенными решениями.

Интеграл дифференциального уравнения (4.11), представляющего собой уравнение четвертой степени в частных производных от двух независимых переменных, должен удовлетворять восьми граничным условиям на контуре. На каждой кромке можно составить по два условия, исходя из равенства нулю соответствующих двух величин из числа следующих: прогиба w, угла  , изгибающих моментов М_х или M_у, обобщенных поперечных сил   или  .

Обобщенные поперечные силы представляют собой поперечные силы на свободных кромках пластины, заменяющие одновременное действие погонных крутящих моментов и поперечных сил

 .

Таким образом, общее число условий  составляет 2 х 4 = 8. Например, для пластины (рис. 58) следует составить следующие  восемь условий:

Рис. 58 

 

- кромка АВ

1)            при 0 < х < а  у = 0, w = 0;

2)            при 0 < х < а  у = 0,   = 0;

- кромка AD

3)            при 0 < y < b  x = 0, w = 0;

4)            при 0 < y < b  x = 0, М_х = 0;

- кромка DC

5)            при 0 < х < а  у = b,   = 0;

6)            при 0 < х < а  у = b, М_у= 0;

- кромка ВС

7)             при 0 < у < b  у = a,   = 0;

8)            при 0 < х < b  у = а, М_х= 0;

Обычно геометрические граничные условия, относящиеся  к прогибам w и углам поворота сечений  , выполняются точно, а статические граничные условия, относящиеся к изгибающим моментам М и обобщенным поперечным силам Q⁰, - лишь в интегральной форме. После того как будут найдены погонные изгибающие моменты, поперечные силы и крутящий момент, напряжения можно определить по формулам сопротивления материалов

 .                  (4.27)

Наибольшие нормальные напряжения от изгиба   и   и касательные напряжения   от кручения возникают в точках верхней и нижней граней пластины. Наибольшие касательные напряжения   и   от перерезывания возникают в срединной плоскости. 

 

4.4 Изгибающие моменты при осесимметричном  изгибе круглой пластины

Если круглая пластина (рис. 59,а) подвергается действию нагрузки, симметричной относительно вертикальной оси z, проходящей через центр О пластины и называемой центральной осью, то изогнутая срединная поверхность ее представляет собой поверхность вращения, симметричную относительно оси z. Поэтому сечение пластины любой радиальной вертикальной плоскостью хОz, изображенное на рис. 59,б, окажется также симметричным относительно оси z. На рис.59 через х обозначена любая ось, лежащая в срединной плоскости и совпадающая с радиусом пластины; все точки А, лежащие на окружности радиусом х, испытывают одинаковое усилие, их вертикальные прогибы w (перемещения, параллельные оси z) тоже одинаковы. 

 

а	б

Рис. 59 

 

Если координата х получила приращение dx, то прогиб w получит соответствующее приращение dw. Отношение

                                          (4.28)

представляет собой  приближенно, ввиду малости w, угол наклона, который составляет касательная ТТ, проведенная в точке А, к изогнутой срединой поверхности пластины. При заданном направлении оси z тангенс угла   и, следовательно, и угол    - отрицательны. Как известно, криволинейная поверхность имеет в любой точке А два главных радиуса кривизны   и  , из которых один наибольший, а другой наименьший. Радиусы кривизны в данной точке совпадают с главной нормалью, т. е. с нормалью, лежащей в плоскости кривизны и перпендикулярной к касательной плоскости, проведенной в точке А к криволинейной поверхности.

Для круглой симметрично  нагруженной пластины (рис. 60) главный  радиус кривизны   характеризует собой кривизну изогнутой срединной поверхности в плоскости хОz. Центр C₁ кривизны может находиться выше или ниже плоскости Ох в зависимости от изгиба пластины: выпуклостью вниз или вверх.

Рис. 60 

 

Радиус кривизны   характеризует собой кривизну изогнутой срединной поверхности в направлении, перпендикулярном к плоскости чертежа, и представляет собой образующую конуса, вершина которого C₂ лежит на оси z, а радиус основания равен х. На основании приближенного выражения аналитической геометрии и зависимости (4.28) главная кривизна

 .                                      (4.29)

Из прямоугольного треугольника АВС₂ видно, что

 ,

откуда вторая главная  кривизна

 .                                        (4.30)

Подстановка значений (4.29) и (4.30) в формулы (4.13), (4.14) с учетом (4.15) дает выражения для погонных изгибающих моментов радиального М_r и окружного М_T :

 .                    (4.31)

Для дальнейших выводов  понадобится еще выражение производной погонного радиального изгибающего момента

 .       (4.32) 

 

 

 

4.5 Дифференциальное уравнение изогнутой  срединной поверхности круглой  пластины

Это уравнение может  быть получено из уравнения (4.11) путем преобразования его на основании формул перехода от прямоугольных координат к полярным. Применительно к осесимметричной задаче той же цели можно достигнуть при непосредственном рассмотрении элемента круглой пластины. Для этого выделим из круглой пластины толщиной h, испытывающей распределенную нагрузку, симметричную относительно центральной оси z, двумя радиальными сечениями, составляющими между собой угол  , и двумя окружными сечениями с радиусами х и х + dxэлемент, заштрихованный на   рис. 61 и показанный отдельно на рис. 62. Этот элемент подвергается действию не показанной на рис. 62 распределенной нагрузки, погонных поперечных сил Q и Q + dQ и погонных изгибающих радиальных моментов M_r и М_r + dM_r по окружным сечениям, а также погонных окружных изгибающих моментов М_T по радиальным сечениям.