Колебания пластины (пластин)

.                                       (4.46)

Приравняв выражения (4.45) и (4.46), получим формулу для определения погонного изгибающего момента

,

а разделив это выражение  на момент сопротивления    и подставив вместо цилиндрической жесткости D ее значение из формулы (4.12), определим наибольшее напряжение:

 .                (4.47)

Случай 2. Круглая пластина с центральным отверстием радиусом а подвергается действию температуры, имеющей  радиальный  перепад  (рис. 71).

Рис. 71 

В дальнейшем t_(x) обозначено для краткости t. Напряженное состояние в пластине считаем плоским, т. е. полагаем   = 0. В силу симметрии условий и расчетной схемы перемещения и зависят только от радиуса х, а перемещения v равны нулю. Поэтому относительные деформации

 .                              (4.48)

Если решить первые два  уравнения (4.48) относительно   и  , а в третьем заменить   на  , можно получить

 .                             (4.49)

Подстановка значений (4.49) в уравнение равновесия   плоской задачи в полярных координатах, принимающее в данном случае ( ) вид

,

приводит к следующему дифференциальному уравнению для радиального перемещения:

 .

Для интегрирования этого уравнения  левая его часть записывается так [см. аналогичное решение уравнения (4.36)]:

 .                                   (4.50)

Первое и второе интегрирование (4.50) дает

 .                          (4.51)

В выражении (4.51) через х₁ обозначен переменный радиус, определяющий точки, расположенные между а и х. Если подставить это выражение в формулы (4.49), то получатся следующие выражения для температурных напряжений:

 .                (4.52)

Постоянные С₁ и С₂ определяются из граничных условий на контурах пластины. Если отверстия радиусом а в пластине нет, то интегрирование в формулах (4.52) выполняется в пределах от нуля до х. 

                                                          Список литературы:

Араманович, И. Г. Уравнения  математической физики [Текст] / И. Г. Араманович, В. И. Левин. – М.: Наука, 1969. – С. 114 – 144.

Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции [Текст] / В. Я. Арсенин. – М.: Наука, 1974. – С. 165 – 170.

Архипов, Г. И. Лекции по математическому  анализу: Учеб. для университетов  и пед. вузов [Текст] / Г. И. Архипов, В. А. Садовничий; Под. ред. В. А. Садовничего. – М.: Высшая школа, 1999. – С. 695.