Колебания пластины (пластин)

Рис. 61	Рис. 62

 

 

В силу симметрии нагрузки относительно центральной оси z поперечные силы по радиальным сечениям отсутствуют, а погонные изгибающие моменты М_T одинаковы. На рис. 62 показаны изгибающие моменты, гнущие пластину выпуклостью вниз. Значения моментов приняты положительными.

Для составления уравнения  равновесия элемента изгибающие моменты, действующие по граням элемента, изображаются в виде векторов (рис. 63). Стрелка вектора, перпендикулярного к плоскости действия момента, направлена в ту сторону, с которой вращение момента представляется происходящим по часовой стрелке. Приравняем нулю сумму проекций всех сил, действующих на вырезанный элемент, на ось Т, перпендикулярную к биссектрисе, делящей угол dq пополам.

Рис. 63 

 

При составлении уравнения  моментов можно пренебречь ввиду  малости элемента неравномерностью расположенной на нем нагрузки и моментом, вызванным приращением dQ поперечной силы в радиальном направлении. Поэтому поперечные силы, действующие по граням элемента, сводятся к моменту с плечом dx, который изображается вектором  , параллельным оси Т. Умножение всех погонных усилий на длину грани, по которой они действуют, проектирование этих усилий на ось Т и приравнивание суммы проекции нулю дает выражение

.   (4.33)

В уравнении (4.33) синус  угла    ввиду малости заменен углом  . После сокращения на  , раскрытия скобок и отбрасывания члена dM_r dx высшего порядка малости уравнение (4.33) принимает вид

или, после деления  всех членов на х dx,

 .                                   (4.34)

Подстановка в уравнение (4.34) выражений для М_к, М_Т и   через   по формулам (4.31) и (4.32) приводит к уравнению

 .                                (4.35)

Уравнение (4.35) представляет собой дифференциальное уравнение  равновесия изогнутой срединной  поверхности круглой пластины, выраженное через угол  , составляемый касательной к изогнутой срединной поверхности с осью х.

Если в этом уравнении  на основании (4.28) заменить   на  , можно получить другой вид дифференциального уравнения относительно вертикального перемещения w

 .

Погонная поперечная сила в круговом сечении радиусом х на основании рис. 64 при распределенной нагрузке

.

Рис. 64 

 

Интегрируя дифференциальное уравнение (4.35), можно найти уравнение  углов  , а затем, на основании зависимости (4.28), и уравнение прогибов w в виде функции от х. Произвольные постоянные, входящие в эти уравнения, находятся из граничных условий на контуре пластины или на границе двух соседних участков. При подстановке найденных выражений для   или w в уравнения (4.31) находят выражения для радиального и окружного изгибающих моментов в виде функции от х. По этим выражениям могут быть построены эпюры изгибающих моментов и найдены их наибольшие значения.

Пусть на круглую пластину (рис. 65) действуют направленные вниз равномерно распределенная нагрузка q и центральная сила Р. По наружному контуру радиусом r приложены произвольно направленные распределенные погонные силы Р₀ и погонные изгибающие моменты М₀ .

Рис. 65 

 

Составим уравнения  углов   и прогибов w. Для возможности интегрирования левую часть уравнения (4.35) необходимо преобразовать следующим образом:

.     (4.36)

Приравняв суммарную  поперечную силу по контуру радиусом х, равную Q2px (рис. 66), всей нагрузке, помещающейся на круге радиусом и равной  Р + q×pх², найдем погонную поперечную силу

 .                                              (4.37)

Рис. 66 

 

Замена выражений, стоящих  в левой и правой частях уравнения (4.35) соответствующими выражениями (4.36) и (4.37), приводит к легко интегрируемому дифференциальному уравнению

 .                           (4.38)

Первое интегрирование выражения (4.38) дает

.                  (4.39)

Второе интегрирование выражения (4.39) дает

 .               (4.40)

Уравнение (4.40) называется уравнением углов, составляемых касательной к изогнутой срединной поверхности с осью х или уравнением углов поворота нормали к изогнутой срединной поверхности. После подстановки в уравнение (4.40) вместо j величины   на основании формулы (4.28) и умножения обеих частей уравнения на dx, оно получает вид

.

Интегрирование дает

 .               (4.41)  

Уравнение (4.41) называется уравнением прогибов или уравнением изогнутой срединной поверхности пластины.  

 

4.6 Граничные условия. Наибольшие  напряжения и прогибы.      

Условия прочности

Так как число произвольных постоянных в уравнении (4.41) равно  трем, то для нахождения постоянных С следует составить следующие три граничные условия:

- для защемленной кромки пластины (рис. 67,а) 1) х = r,  w = 0;    2) x = r,    = 0;   3) x = 0,    = 0;	а
- для свободно опертой кромки пластины (рис. 67, б) 1) х = r,  w = 0;    2) x = r,  Mr = 0;   3) x = 0,    = 0;	б
- для свободной кромки (рис. 67,в) 1) х = r,  Mr = 0;    2) x = r,   ;   3) x = 0,    w = 0.	в
	Рис. 67

 

 

Дифференциальное уравнение (4.38) и его интегралы, а также  выражения (4.31) справедливы и для кольцевой пластины в виде круглой пластины с круглым  отверстием  в  середине  (рис. 68,а)  или  в  виде  кольцевой  пластины,

а	б	в

Рис. 68 

 

внутренний контур которой  защемлен (рис. 68,б). Изменяются лишь граничные условия и для центральной силы Р должно быть составлено выражение, отражающее изменение поперечной силы в сечении х [см. формулу (4.37)]. 

Например, для пластины, изображенной на рис. 68, а, граничное условие    х = 0, w = 0 теряет смысл, так как при х = 0 нет пластины. Поэтому следует воспользоваться следующими тремя условиями: 1) х = b; w = 0; 2) х = b,   = 0; 3) x = a, M_r = 0. Для сосредоточенной силы получится выражение

.

В этом выражении первый член представляет собой приложенную в центре и направленную вниз равнодействующую погонных сил P_a, приложенных к контуру радиусом а (сила Р на рис. 65), а второй член - силу, приложенную в центре и направленную вверх, компенсирующую ту распределенную нагрузку, которой надо заполнить круг радиусом а, чтобы привести схему, изображенную на рис, к схеме, показанной на рис. 68,а. При такой замене уравнения остаются в силе и при наличии отверстия, так как координаты х всегда больше а и изменение расчетной схемы прих < а на вывод этих уравнений не влияет.

Для пластины, изображенной на рис. 68,б, следует воспользоваться следующими граничными условиями:

1)          х = а, w = 0; 2) х = а,   = 0; 3) х = b, M_r = 0. Для сосредоточенной силы получится выражение      

 .

Если, в частном случае, одна из нагрузок q или Р отсутствует, то в формулах (4.40) и (4.41) ее следует положить равной нулю. Например, для пластины, показанной на рис. 68,в, выражение для прогиба будет

.

Если для отдельных  участков пластины выражения поперечной силы различны (рис. 69), то для каждого из участков  должно   быть  составлено  свое дифференциальное уравнение. Например, для суммарной поперечной силы на первом участке пластины

,

на втором участке

.

Рис. 69 

 

После интегрирования каждого  дифференциального уравнения получится три произвольных постоянных и общее число произвольных постоянных окажется равным 3п (п - число участков). Для каждой границы между двумя соседними участками могут быть составлены три дополнительных условия, выражающих то обстоятельство, что на границе двух соседних участков прогиб w, угол j и радиальный момент М_r одинаковы: 1) х = a, w₁ = w₂, 2) х = a,  ; 3) х = а, (М_r)₁= (М_r)₂. Таких дополнительных условий оказывается как раз столько, сколько недостает для нахождения всех произвольных постоянных. В разобранном примере при двух участках число произвольных постоянных 2 ´ 3 = 6, число условий 3 + 3 = 6.

Если известны выражения  для изгибающих моментов  М_r  и  М_T  и прогибов w в функции от х, то координаты х, соответствующие наибольшим значениям этих величин, найдутся из условий

.                              (4.42)

В ряде случаев сечения, в которых возникают наибольшие изгибающие моменты или прогибы, известны. Например, в схеме на рис. 68,б наибольший прогиб возникает на наружном контуре при х = b, а наибольший радиальный изгибающий момент (M_r)_max - в защемлении при х = а.

Подставив найденные  из условий (4.42) значения х в выражения для изгибающих моментов, можно получить значения (M_r)_max и (М_Т)_max которые, в общем случае, могут возникнуть в разных сечениях пластины. Опасное сечение может оказаться поэтому там, где погонные изгибающие моменты М_r и M_T одновременно велики.

Главные напряжения на наружной и внутренней поверхностях пластины в опасном сечении вычисляются  по формулам, аналогичным (4.27), путем замены момента инерции на момент сопротивления:

 .

Третье главное напряжение (по площадке, параллельной срединной плоскости) равно нулю. Расчетное напряжение, сравниваемое с допускаемым, вычисляется в зависимости от знаков напряжений  и   по одной из теорий прочности. Например, для пластины, представленной на рис. 68,б, опасное сечение находится в защемлении при х = а; при этом верхние волокна и от момента М_r, и от момента М_T испытывают растяжение, а нижние - сжатие, изгибающий момент М_r в сечении х = а больше, чем М_T. Предполагаем, что пластина выполнена из пластического материала и что применяется третья теория прочности, условие прочности по которой

 .

Волокна в точке на верхней поверхности пластины растянуты, т. е. напряжения   положительны, поэтому следует обозначить:

.

Условие прочности примет вид

. 

 

Температурные напряжения в пластинах

В общем случае температура в какой-либо точке круглой пластины является функцией двух переменных: радиуса х и расстояния z от точки до срединной плоскости. В силу линейности основных уравнений для температурных напряжений напряжения, вызванные радиальным изменением температуры - t_x2 – t_x1 и изменением температуры по толщине t₂ – t₁ можно вычислить отдельно, а затем алгебраически суммировать. Ниже рассматриваются два случая изменения температуры: 1) температура одинакова для всех точек, расположенных на одинаковом расстоянии z от срединной плоскости, но меняется по толщине пластины по прямолинейному закону; 2) температура постоянна по толщине, не зависит от полярного угла  , но меняется в зависимости от расстояния х между точкой и центром пластины.

Случай 1. При одинаковом во всех точках одной окружности изменении температуры по толщине пластины  , подчиняющемся прямолинейному закону (рис. 70), перемещение этих точек пластины, связанное с ее расширением или сжатием, происходит также одинаково по всем направлениям в плане.

В случае повышения температуры  верхняя поверхность пластины получает большее расширение, чем нижняя, и пластина изгибается по шаровой поверхности радиусом r выпуклостью вверх. На основании допущения о прямых нормалях можно считать, что относительная деформация (по отношению к срединному слою), происходящая на наружной поверхности в любом направлении,

 .                                            (4.43) 

 

Рис. 70 

 

С другой стороны, относительная  температурная деформация отрезка  длиной l на наружной поверхности по отношению к срединному слою

 .          (4.44)

Приравняв выражения (4.43) и (4.44), можно получить формулу для  определения кривизны шаровой изогнутой  поверхности

.                                                     (4.45)

Если круглая пластина не имеет закреплений или свободно поворачивается на контуре (свободно оперта), то температурное искривление не вызывает дополнительных усилий. Если же пластина защемлена, на контуре возникнут погонные опорные моменты М_r, уничтожающие кривизну, вызванную неравномерным нагревом.

При сферическом изгибе моментами М_r кривизна